Wat is arcsin⁡, arccos⁡, arctan⁡? — Wiskunde

Definitie 4.9 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 1 · Hoofdstuk 4 — Standaardfuncties

De beperkingen

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

zijn strikt monotone bijecties. Hun inverse afbeeldingen worden $\arcsin$ , $\arccos$ en $\arctan$ genoteerd. Zo is bijvoorbeeld $y = \arcsin x$ (met $x \in \intcc{-1}{1}$ ) dé hoek in $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ waarvan de sinus $x$ is.

Van links naar rechts: , , . Elk erft zijn grafiek van de beperkte directe functie door spiegeling in de rechte y = x. — Van links naar rechts: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Elk erft zijn grafiek van de beperkte directe functie door spiegeling in de rechte $y = x$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 4.11 (Een verborgen constante herkennen)

Bestudeer $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ op $\intoo{-1} {+\infty}$ . De kettingregel en een korte berekening geven

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

want $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Dus $g' = -\arctan'$ : de functie $g + \arctan$ heeft afgeleide nul op het interval $\intoo{-1}{+\infty}$ en is daar dus constant; haar waarde in $x = 0$ is $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Besluit:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

Op $\intoo{-\infty}{-1}$ geldt dezelfde berekening van de afgeleide, maar is de constante een andere ( $-\frac{3\pi}4$ : bereken de limiet voor $x \to -\infty$ ). Het inzicht: “afgeleide nul, dus constant” is een uitspraak per interval — precies de subtiliteit die in Oefening 4.6 en Oefening 4.10 uitgebuit wordt.

Voorbeeld 4.14 (Terugvouwen naar het hoofdinterval)

Bereken

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{en}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

Het recept: vervang de hoek door de unieke hoek uit $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ met dezelfde tangens, dat wil zeggen trek het juiste veelvoud van $\pi$ af (de periode van $\tan$ ). Eerst: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , dus het antwoord is $-\frac\pi4$ . Dan: $\frac{17\pi}5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , dus het antwoord is $\frac{2\pi}5$ . De berekening is een vermomde euclidische deling van de hoek door $\pi$ — en de analoge recepten voor $\arcsin$ (vouw terug naar $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , periode $2\pi$ ) en $\arccos$ (vouw terug naar $\intcc0\pi$ ) sturen Oefening 4.1 en het stuksgewijze antwoord van Oefening 4.10.

Voorbeeld 4.15 (Boogtangenten veilig optellen)

We bewijzen

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Twee ingrediënten: de somformule voor de tangens en — de stap die beginners vergeten — een lokalisering van de som. Ten eerste geeft $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ met $u = \arctan\frac12$ en $v = \arctan\frac15$

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79,

en vervolgens

\tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Ten tweede ligt elk van de drie hoeken in $\intoo0{\frac\pi4}$ (hun argumenten zijn kleiner dan $1$ ), zodat de som in $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ligt; de enige hoek daar met tangens $1$ is $\frac\pi4$ . Zonder de lokalisering zou de conclusie “ $\frac\pi4$ op een veelvoud van $\pi$ na” luiden — een half bewijs. Dezelfde tweestapsdiscipline stuurt Oefening 4.8 en Oefening 4.12.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen