arcsin⁡, arccos⁡, arctan⁡ क्या है? — गणित

परिभाषा 4.9 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 1 · अध्याय 4 — मानक फलन

प्रतिबंधन

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

कठोरतः एकदिष्ट एकैकी आच्छादन हैं। उनके प्रतिलोम प्रतिचित्रण $\arcsin$ , $\arccos$ और $\arctan$ लिखे जाते हैं। अतः उदाहरणार्थ $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वही कोण है जिसकी ज्या $x$ है।

बाएँ से दाएँ: , , । प्रत्येक अपना आलेख प्रतिबंधित सीधे फलन से रेखा y = x में परावर्तन द्वारा पाता है। — बाएँ से दाएँ: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ । प्रत्येक अपना आलेख प्रतिबंधित सीधे फलन से रेखा $y = x$ में परावर्तन द्वारा पाता है।

उदाहरण

उदाहरण 4.11 (एक छिपे हुए अचर को पहचानना)

$\intoo{-1} {+\infty}$ पर $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ का अध्ययन कीजिए। शृंखला नियम और एक छोटी संगणना:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

क्योंकि $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ । अतः $g' = -\arctan'$ : फलन $g + \arctan$ का अवकलज अंतराल $\intoo{-1}{+\infty}$ पर शून्य है, अतः वह वहाँ अचर है; $x = 0$ पर उसका मान $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ है। निष्कर्ष:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

$\intoo{-\infty}{-1}$ पर वही अवकलज संगणना सत्य है, पर अचर भिन्न है ( $-\frac{3\pi}4$ : $x \to -\infty$ पर सीमा का मान लीजिए)। सार: “शून्य अवकलज का अर्थ अचर” अंतराल-दर-अंतराल कथन है — ठीक वही सूक्ष्मता जिसका उपयोग अभ्यास 4.6 और अभ्यास 4.10 में होता है।

उदाहरण 4.14 (मुख्य अंतराल पर लौटना)

संगणना कीजिए

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{और}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

विधि: कोण के स्थान पर $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ का वही अद्वितीय कोण रखिए जिसकी स्पर्शज्या वही हो, अर्थात् $\pi$ ( $\tan$ का आवर्तकाल) का उचित गुणज घटा दीजिए। पहला: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , अतः उत्तर $-\frac\pi4$ है। दूसरा: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , अतः उत्तर $\frac{2\pi}5$ है। यह संगणना वेश बदले हुए $\pi$ से कोण का यूक्लिडीय भाग ही है — और $\arcsin$ ( $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ में परावर्तित, आवर्तकाल $2\pi$ ) तथा $\arccos$ ( $\intcc0\pi$ में परावर्तित) के लिए अनुरूप विधियाँ अभ्यास 4.1 और अभ्यास 4.10 के खंडशः उत्तर को चलाती हैं।

उदाहरण 4.15 (प्रतिलोम स्पर्शज्याओं का सुरक्षित योग)

आइए सिद्ध करें

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

दो सामग्रियाँ: स्पर्शज्या का योग-सूत्र, और — वह पद जो आरंभिक विद्यार्थी भूल जाते हैं — योग का स्थानीकरण। पहले, $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ के साथ $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ देता है

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{फिर}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

दूसरे, तीनों कोणों में से प्रत्येक $\intoo0{\frac\pi4}$ में है (उनके प्रांतिक $1$ से कम हैं), अतः योग $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ में है; वहाँ स्पर्शज्या $1$ वाला एकमात्र कोण $\frac\pi4$ है। स्थानीकरण के बिना निष्कर्ष “ $\pi$ के गुणज तक $\frac\pi4$ ” होता — अर्थात् आधी उपपत्ति। यही दो-पदीय अनुशासन अभ्यास 4.8 और अभ्यास 4.12 को चलाता है।

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उदाहरण

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