ما معنى arcsin⁡ و arccos⁡ و arctan⁡؟

مثال 4.11 (التعرف على ثابت مستتر)

ادرس $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ على $\intoo{-1} {+\infty}$. قاعدة السلسلة وحساب قصير يعطيان:

لأن $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$. إذن $g' = -\arctan'$: أي أن الدالة $g + \arctan$ لها مشتقة معدومة على المجال $\intoo{-1}{+\infty}$، فهي ثابتة هناك؛ وقيمتها عند $x = 0$ هي $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$. والخلاصة:

وعلى $\intoo{-\infty}{-1}$ يبقى حساب المشتقة نفسه صالحًا لكن الثابت مختلف ($-\frac{3\pi}4$: احسب النهاية عندما $x \to -\infty$). والفكرة النافذة: عبارة «المشتقة المعدومة تستلزم الثبات» عبارةٌ تصحّ مجالًا مجالًا — وهي بالضبط الدقة المستثمَرة في التمرين 4.6 و التمرين 4.10.

مثال 4.14 (العودة إلى المجال الرئيس)

احسب

والوصفة: استبدل بالزاوية الزاويةَ الوحيدة من $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ التي لها الظل نفسه، أي اطرح المضاعف المناسب للعدد $\pi$ (وهو دور $\tan$). أولًا: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$، فيكون الجواب $-\frac\pi4$. وثانيًا: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$، فيكون الجواب $\frac{2\pi}5$. والحساب قسمةٌ إقليدية للزاوية على $\pi$ متنكرةً — والوصفتان المماثلتان للدالة $\arcsin$ (بالانعكاس إلى $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$، والدور $2\pi$) وللدالة $\arccos$ (بالانعكاس إلى $\intcc0\pi$) تحرّكان التمرين 4.1 و الجوابَ المتشعّب في التمرين 4.10.

مثال 4.15 (جمع أقواس الظل بأمان)

لنبرهن على أن

والمكوّنان اثنان: صيغة جمع الظل، و — وهي الخطوة التي ينساها المبتدئون — تحديد موضع المجموع. أولًا، تعطي $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ مع $u = \arctan\frac12$ و $v = \arctan\frac15$

وثانيًا، تقع كل زاوية من الزوايا الثلاث في $\intoo0{\frac\pi4}$ (فوسائطها أصغر من $1$)، فيقع المجموع في $\intoo0{\frac{3\pi}4}$؛ والزاوية الوحيدة هناك التي ظلها $1$ هي $\frac\pi4$. ودون تحديد الموضع لكان الاستنتاج «$\frac\pi4$ بمضاعف للعدد $\pi$» — أي نصف برهان. وهذا الانضباط ذو الخطوتين نفسه يشغّل التمرين 4.8 و التمرين 4.12.