Apa itu arcsin⁡, arccos⁡, arctan⁡? — Matematika

Definisi 4.9 Matematika Universitas — Tahun 1 · Bab 4 — Fungsi Baku

Pembatasan

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

adalah bijeksi yang monoton tegas. Pemetaan inversnya ditulis $\arcsin$ , $\arccos$ dan $\arctan$ . Jadi, misalnya, $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) adalah satu-satunya sudut di $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ yang sinusnya $x$ .

Dari kiri ke kanan: , , . Masing-masing mewarisi grafiknya dari fungsi langsung yang dibatasi lewat pencerminan pada garis y = x. — Dari kiri ke kanan: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Masing-masing mewarisi grafiknya dari fungsi langsung yang dibatasi lewat pencerminan pada garis $y = x$ .

Contoh

Contoh 4.11 (Mengenali konstanta yang tersembunyi)

Pelajari $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ pada $\intoo{-1} {+\infty}$ . Aturan rantai dan sedikit perhitungan:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

karena $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Jadi $g' = -\arctan'$ : fungsi $g + \arctan$ berturunan nol pada selang $\intoo{-1}{+\infty}$ , sehingga konstan di sana; nilainya di $x = 0$ adalah $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Kesimpulannya:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

Pada $\intoo{-\infty}{-1}$ perhitungan turunan yang sama berlaku tetapi konstantanya berbeda ( $-\frac{3\pi}4$ : hitung limitnya ketika $x \to -\infty$ ). Inti gagasannya: “turunan nol berarti konstan” adalah pernyataan selang demi selang — persis kehalusan yang dimanfaatkan pada Latihan 4.6 dan Latihan 4.10.

Contoh 4.14 (Melipat kembali ke selang utamanya)

Hitunglah

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{dan}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

Resepnya: gantilah sudut itu dengan satu-satunya sudut di $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ yang tangennya sama, yakni kurangkan kelipatan $\pi$ yang tepat (yaitu periode $\tan$ ). Pertama: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , jadi jawabannya $-\frac\pi4$ . Kedua: $\frac{17\pi} 5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , jadi jawabannya $\frac{2\pi}5$ . Perhitungan itu sesungguhnya pembagian Euclid sudut itu oleh $\pi$ yang menyamar — dan resep analognya untuk $\arcsin$ (cerminkan ke dalam $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , dengan periode $2\pi$ ) dan $\arccos$ (cerminkan ke dalam $\intcc0\pi$ ) menggerakkan Latihan 4.1 dan jawaban sepotong-sepotong pada Latihan 4.10.

Contoh 4.15 (Menjumlahkan arkus tangen dengan aman)

Mari kita buktikan

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Dua bahannya: rumus penjumlahan tangen, dan — langkah yang dilupakan pemula — pelokalan jumlahnya. Pertama, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ dengan $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ memberikan

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{lalu}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Kedua, masing-masing dari ketiga sudut itu terletak di $\intoo0{\frac\pi4}$ (karena argumennya kurang dari $1$ ), jadi jumlahnya terletak di $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; satu-satunya sudut di sana yang bertangen $1$ adalah $\frac\pi4$ . Tanpa pelokalan itu kesimpulannya hanya akan berbunyi “ $\frac\pi4$ sampai kelipatan $\pi$ ” — yaitu setengah bukti. Disiplin dua langkah yang sama menggerakkan Latihan 4.8 dan Latihan 4.12.

Baca dalam konteks →

Contoh

Istilah terkait