¿Qué es arcsin⁡, arccos⁡, arctan⁡? — Matemáticas

Definición 4.9 Matemáticas universitarias — Grado 1 · Capítulo 4 — Funciones usuales

Las restricciones

\sin \colon \intcc{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \cos \colon \intcc{0}{\pi} \to \intcc{-1}{1}, \qquad \tan \colon \intoo{-\tfrac\pi2}{\tfrac\pi2} \to \R

son biyecciones estrictamente monótonas. Sus aplicaciones inversas se escriben $\arcsin$ , $\arccos$ y $\arctan$ . Así, por ejemplo, $y = \arcsin x$ ( $x \in \intcc{-1}{1}$ ) es el ángulo de $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ cuyo seno vale $x$ .

De izquierda a derecha: , , . Cada una hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la recta y = x. — De izquierda a derecha: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ . Cada una hereda su gráfica de la función directa restringida por reflexión en la recta $y = x$ .

Ejemplos

Ejemplo 4.11 (Reconocer una constante escondida)

Estúdiese $g(x) = \arctan\dfrac{1 - x}{1 + x}$ en $\intoo{-1}{+\infty}$ . Regla de la cadena y un cálculo breve:

g'(x) = \frac{1}{1 + \bigl(\frac{1-x}{1+x}\bigr)^2}\cdot \frac{-(1+x) - (1-x)}{(1+x)^2} = \frac{-2}{(1+x)^2 + (1-x)^2} = \frac{-1}{1 + x^2} ,

puesto que $(1+x)^2 + (1-x)^2 = 2 + 2x^2$ . Así pues, $g' = -\arctan'$ : la función $g + \arctan$ tiene derivada nula en el intervalo $\intoo{-1}{+\infty}$ y, por tanto, es constante ahí; su valor en $x = 0$ es $\arctan 1 + \arctan 0 = \frac\pi4$ . Conclusión:

\arctan\frac{1 - x}{1 + x} = \frac\pi4 - \arctan x \qquad (x > -1) .

En $\intoo{-\infty}{-1}$ vale el mismo cálculo de la derivada, pero la constante es otra ( $-\frac{3\pi}4$ : evalúese el límite cuando $x \to -\infty$ ). La idea clave: «derivada nula implica constante» es un enunciado intervalo por intervalo — exactamente la sutileza que explotan los Ejercicio 4.6 y Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.14 (Volver al intervalo principal)

Calcúlense

\arctan\Bigl(\tan\frac{3\pi}4\Bigr) \qquad\text{y}\qquad \arctan\Bigl(\tan\frac{17\pi}5\Bigr).

La receta: sustitúyase el ángulo por el único ángulo de $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ con la misma tangente, es decir, réstese el múltiplo adecuado de $\pi$ (el período de $\tan$ ). Primero: $\frac{3\pi}4 - \pi = -\frac\pi4$ , luego la respuesta es $-\frac\pi4$ . Segundo: $\frac{17\pi}5 - 3\pi = \frac{2\pi}5 \in \intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , luego la respuesta es $\frac{2\pi}5$ . El cálculo es una división euclídea del ángulo por $\pi$ disfrazada — y las recetas análogas para $\arcsin$ (llevar por reflexión a $\intcc{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ , período $2\pi$ ) y $\arccos$ (llevar a $\intcc0\pi$ ) mueven el Ejercicio 4.1 y la respuesta a trozos del Ejercicio 4.10.

Ejemplo 4.15 (Sumar arcotangentes sin riesgos)

Demostremos que

\arctan\frac12 + \arctan\frac15 + \arctan\frac18 = \frac\pi4 .

Dos ingredientes: la fórmula de la tangente de una suma y — el paso que olvidan los principiantes — una localización de la suma. Primero, $\tan(u + v) = \frac{\tan u + \tan v}{1 - \tan u\tan v}$ con $u = \arctan\frac12$ , $v = \arctan\frac15$ da

\tan(u + v) = \frac{\frac12 + \frac15}{1 - \frac1{10}} = \frac{7/10}{9/10} = \frac79, \qquad\text{y después}\qquad \tan\Bigl(u + v + \arctan\frac18\Bigr) = \frac{\frac79 + \frac18}{1 - \frac7{72}} = \frac{65/72}{65/72} = 1 .

Segundo, cada uno de los tres ángulos está en $\intoo0{\frac\pi4}$ (sus argumentos son menores que $1$ ), luego la suma está en $\intoo0{\frac{3\pi}4}$ ; el único ángulo de ahí con tangente $1$ es $\frac\pi4$ . Sin la localización, la conclusión sería « $\frac\pi4$ salvo múltiplos de $\pi$ » — media demostración. La misma disciplina en dos pasos mueve los Ejercicio 4.8 y Ejercicio 4.12.

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