Matemática universitária — Graduação 2 · Grado — Año 2

18Curvas

A geometria agora se torna diferencial. Uma curva é um ponto que se move pelo espaço; o cálculo nos dá sua velocidade e sua aceleração, e a geometria pergunta o que é intrínseco — independente da rapidez com que percorremos a trajetória. As respostas são o comprimento de arco, que mede a própria trajetória, e a curvatura, que mede quanto ela se dobra. Em dimensão $3$ um segundo invariante, a torção, mede quanto a curva se torce para fora de seu plano. O dispositivo de contabilidade de tudo isso é o referencial de Frenet móvel.

18.1 Arcos parametrizados

Definição 18.1 (Arco parametrizado)

Um arco parametrizado de classe $\mathcal{C}^k$ ( $k \geq 1$ ) é uma aplicação $\gamma \colon I \to \R^n$ de classe $\mathcal{C}^k$ num intervalo $I$ . Um ponto $\gamma(t)$ é regular se $\gamma'(t) \neq 0$ , e o arco é regular se todos os seus pontos o são. A reta por $\gamma(t)$ dirigida por $\gamma'(t)$ é a reta tangente num ponto regular.

Definição 18.2 (Mudança de parâmetro)

Uma mudança de parâmetro de classe $\mathcal{C}^k$ é um difeomorfismo $\theta \colon J \to I$ de classe $\mathcal{C}^k$ entre intervalos ( $\theta' \neq 0$ em toda parte). Os arcos $\gamma$ e $\gamma \circ \theta$ dizem-se equivalentes; um arco geométrico (ou curva) é uma classe de equivalência. As noções invariantes por mudança de parâmetro — a trajetória, a reta tangente, o comprimento de arco, a curvatura — são ditas geométricas.

Observação 18.3

A trajetória sozinha não determina o arco geométrico: as parametrizações $t \mapsto (\cos t, \sin t)$ em $[0, 2\pi]$ e em $[0, 4\pi]$ têm a mesma imagem, mas percorrem o círculo uma e duas vezes. Um arco geométrico lembra a multiplicidade e a orientação do percurso, não sua velocidade.

Exemplo 18.4 (A velocidade nada muda de geométrico)

Parametrize o círculo unitário por

\gamma(t) = (\cos t^2,\ \sin t^2), \qquad t \in \intcc0{\sqrt{2\pi}} .

A velocidade escalar $\norm{\gamma'(t)} = 2t$ cresce linearmente, e no entanto

L = \int_0^{\sqrt{2\pi}}2t\,\dd t = 2\pi ,

o mesmo comprimento que a velocidade constante — como o Teorema 18.7 promete, via a mudança de parâmetro $t \mapsto t^2$ . A reta tangente, a curvatura calculada a partir de Proposição 18.17 e toda outra quantidade geométrica também coincidem; só $t = 0$ merece um olhar, onde $\gamma'(0) = 0$ torna esta parametrização irregular embora a trajetória seja um círculo perfeito. Os enunciados geométricos toleram mal as más parametrizações: reparametrize primeiro, conclua depois.

Exemplo 18.5

O arco $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ é $\mathcal{C}^\infty$ mas não é regular: $\gamma'(0) = (0, 0)$ . Sua trajetória, a parábola semicúbica $y^2 = x^3$ , tem uma cúspide na origem: a suavidade da parametrização não impede uma singularidade geométrica onde a velocidade se anula. É por isso que a hipótese de regularidade $\gamma' \neq 0$ não é cosmética.

18.2 Comprimento de arco

Definição 18.6 (Comprimento de arco)

Seja $\gamma \colon [a, b] \to \R^n$ um arco $\mathcal{C}^1$ . Seu comprimento é

L(\gamma) = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\, \dd t ,

em que $\norm{\cdot}$ é a norma euclidiana. A função comprimento de arco com base em $t_0$ é $s(t) = \int_{t_0}^t \norm{\gamma'(u)}\,\dd u$ .

Teorema 18.7 (O comprimento é geométrico; caracterização poligonal)

Se $\theta \colon [c, d] \to [a, b]$ é uma mudança de parâmetro $\mathcal{C}^1$ , então $L(\gamma \circ \theta) = L(\gamma)$ .
$L(\gamma)$ é o supremo dos comprimentos das poligonais inscritas:

$L(\gamma) = \sup\Bigl\{\, \sum_{i=1}^{m} \norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \;:\; a = t_0 < t_1 < \dots < t_m = b \,\Bigr\}.$

Demonstração. 1. Pela mudança de variáveis $t = \theta(u)$ (volume do primeiro ano de graduação, válida pois $\theta$ é $\mathcal{C}^1$ monótona),

\int_c^d \norm{(\gamma\circ\theta)'(u)}\,\dd u = \int_c^d \norm{\gamma'(\theta(u))}\,\abs{\theta'(u)}\,\dd u = \int_a^b \norm{\gamma'(t)}\,\dd t ,

em que usamos $(\gamma\circ\theta)' = \theta'\cdot (\gamma'\circ\theta)$ e, se $\theta$ é decrescente, o sinal de $\theta'$ é absorvido pela inversão dos limites.

2. Para qualquer subdivisão, $\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t$ , de modo que, pela desigualdade triangular para integrais, $\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \leq \int_{t_{i-1}}^{t_i}\norm{\gamma'}$ : toda poligonal é mais curta que $L(\gamma)$ , logo $\sup \leq L(\gamma)$ .

Para a desigualdade recíproca, seja $\varepsilon > 0$ . Como $\gamma'$ é contínua no compacto $[a,b]$ , ela é uniformemente contínua: existe $\delta > 0$ com $\norm{\gamma'(t) - \gamma'(u)} \leq \varepsilon$ sempre que $\abs{t - u} \leq \delta$ . Tome uma subdivisão de passo $\leq \delta$ . Em cada pedaço, para $t \in [t_{i-1}, t_i]$ ,

\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1}) = \int_{t_{i-1}}^{t_i}\gamma'(t)\,\dd t = (t_i - t_{i-1})\,\gamma'(t_{i-1}) + R_i, \qquad \norm{R_i} \leq \varepsilon\,(t_i - t_{i-1}),

pois $R_i = \int_{t_{i-1}}^{t_i}(\gamma'(t) - \gamma'(t_{i-1}))\,\dd t$ . Logo

\norm{\gamma(t_i) - \gamma(t_{i-1})} \geq (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})} - \varepsilon (t_i - t_{i-1}) .

Somando e comparando $\sum (t_i - t_{i-1})\norm{\gamma'(t_{i-1})}$ com $\int_a^b\norm{\gamma'}$ (uma soma de Riemann da função contínua $\norm{\gamma'}$ , a menos de $\varepsilon(b - a)$ da integral para $\delta$ pequeno o bastante, de novo pela continuidade uniforme), obtemos uma poligonal de comprimento $\geq L(\gamma) - 2\varepsilon(b - a)$ . Fazendo $\varepsilon \to 0$ prova-se a afirmação. ∎

Exemplo 18.8 (Arquimedes e as poligonais inscritas)

Para o círculo unitário, o $n$ -ágono regular inscrito tem comprimento $L_n = 2n\sin\frac\pi n$ , e o desenvolvimento $\sin x = x - \frac{x^3}6 + O(x^5)$ dá

L_n = 2\pi - \frac{\pi^3}{3n^2} + O\Bigl(\frac1{n^4}\Bigr) :

os comprimentos poligonais do Teorema 18.7 convergem quadraticamente. Numericamente: $L_6 = 6$ (o hexágono, dando o rústico $\pi > 3$ ), enquanto $L_{96} = 192\sin\frac{\pi}{96} \approx 6.28206$ contra $2\pi \approx 6.28319$ — o erro $0.00113$ concorda com o previsto $\pi^3/(3\cdot96^2) \approx 0.00112$ . É por isso que Arquimedes, dobrando o hexágono cinco vezes até $96$ lados, conseguiu enquadrar $\pi$ com três algarismos à mão: cada duplicação divide o erro por quatro. O supremo da caracterização poligonal não é apenas atingido no limite; ele é atingido rápido, porque uma curva suave se separa de suas cordas apenas em segunda ordem.

Teorema 18.9 (Parametrização por comprimento de arco)

Seja $\gamma \colon I \to \R^n$ um arco $\mathcal{C}^k$ regular ( $k \geq 1$ ). A função comprimento de arco $s$ é um difeomorfismo $\mathcal{C}^k$ de $I$ sobre um intervalo $J$ , e $\tilde\gamma = \gamma \circ s^{-1}$ satisfaz $\norm{\tilde\gamma'} = 1$ em toda parte. A menos de translação do parâmetro e de orientação, essa parametrização por comprimento de arco (ou de velocidade unitária) é única.

Demonstração. $s'(t) = \norm{\gamma'(t)} > 0$ e $s'$ é $\mathcal{C}^{k-1}$ (composição da aplicação $\gamma'$ de classe $\mathcal{C}^{k-1}$ com a norma, suave fora de $0$ ), de modo que $s$ é $\mathcal{C}^k$ , estritamente crescente, uma bijeção sobre $J = s(I)$ , e sua inversa é $\mathcal{C}^k$ pelo teorema da função inversa em dimensão $1$ (volume do primeiro ano de graduação). Então

\tilde\gamma'(\sigma) = \frac{\gamma'(t)}{s'(t)} = \frac{\gamma'(t)}{\norm{\gamma'(t)}}, \qquad t = s^{-1}(\sigma),

um vetor unitário. Se $\hat\gamma = \gamma\circ\theta$ é outra parametrização de velocidade unitária, então $\abs{\theta'} = 1$ , logo $\theta' = \pm 1$ é constante (continuidade), isto é, $\theta(u) = \pm u + c$ . ∎

Observação 18.10

O comprimento de arco é o parâmetro que separa a geometria da dinâmica. Uma trajetória pode ser percorrida com qualquer perfil de velocidade — a física do movimento — mas toda questão invariante por parametrização (forma, dobramento, osculação) tem um relógio canônico, a distância percorrida. É por isso que todas as fórmulas de curvatura abaixo são definidas com velocidade unitária e depois traduzidas para parametrizações arbitrárias pela regra da cadeia: os fatores de tradução são potências de $v = s'$ , e acompanhá-los corretamente é todo o conteúdo da Proposição 18.17.

Exemplo 18.11 (Círculo e hélice)

Para o círculo $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , $\norm{\gamma'} = R$ , de modo que $s = Rt$ e o comprimento de uma volta completa é $2\pi R$ . Para a hélice $\gamma(t) = (a\cos t,\ a\sin t,\ bt)$ com $a > 0$ , $\norm{\gamma'(t)} = \sqrt{a^2 + b^2}$ é constante: a hélice é percorrida com velocidade constante, e $s = t\sqrt{a^2 + b^2}$ .

Exemplo 18.12 (Comprimento de arco em coordenadas polares)

Uma curva polar $r = r(\theta)$ é o arco $\gamma(\theta) = (r\cos\theta,\ r\sin\theta)$ , com

\gamma'(\theta) = (r'\cos\theta - r\sin\theta,\ r'\sin\theta + r\cos\theta), \qquad \norm{\gamma'(\theta)}^2 = r'^2 + r^2

(os termos cruzados se cancelam): o elemento polar de comprimento é $\sqrt{r^2 + r'^2}\,\dd\theta$ . Para a cardioide $r = 1 + \cos\theta$ :

r^2 + r'^2 = (1 + \cos\theta)^2 + \sin^2\theta = 2 + 2\cos\theta = 4\cos^2\tfrac\theta2,

e em $\intcc{-\pi}{\pi}$ o cosseno do arco metade é não negativo, logo

L = \int_{-\pi}^{\pi}2\cos\tfrac\theta2\,\dd\theta = \Bigl[4\sin\tfrac\theta2\Bigr]_{-\pi}^{\pi} = 4 - (-4) = 8 :

como o arco de cicloide do Exercício 18.1, uma curva construída a partir de círculos tem comprimento racional, sem $\pi$ em lugar algum. A fatoração pelo arco metade é o truque padrão para comprimentos de curvas geradas por círculos; quando ele falha (a elipse), o comprimento é uma função genuinamente nova — uma integral elíptica, além das formas fechadas elementares.

18.3 Curvatura no plano

Em toda esta seção, os arcos são $\mathcal{C}^2$ e regulares no plano euclidiano orientado. Parametrizamos por comprimento de arco e escrevemos $T(s) = \tilde\gamma'(s)$ para a tangente unitária e $N(s)$ para o vetor unitário diretamente ortogonal a $T(s)$ (rotação de $T$ por $+\pi/2$ ).

Teorema 18.13 (Fórmulas de Frenet no plano)

Seja $\tilde\gamma$ um arco $\mathcal{C}^2$ de velocidade unitária no plano orientado. Existe uma função contínua $\kappa$ , a curvatura (algébrica), tal que

T'(s) = \kappa(s)\, N(s), \qquad N'(s) = -\kappa(s)\, T(s).

Demonstração. Como $\norm{T(s)}^2 = 1$ para todo $s$ , derivar o produto escalar dá $2\langle T'(s), T(s)\rangle = 0$ : $T'(s)$ é ortogonal a $T(s)$ , logo colinear com $N(s)$ (dimensão $2$ ); escreva $T'(s) = \kappa(s) N(s)$ com $\kappa(s) = \langle T'(s), N(s)\rangle$ , contínua. Do mesmo modo, $N' \perp N$ , logo $N' = \lambda T$ ; e derivar $\langle T, N\rangle = 0$ dá $\langle T', N\rangle + \langle T, N'\rangle = \kappa + \lambda = 0$ . ∎

Definição 18.14

Quando $\kappa(s) \neq 0$ , o raio de curvatura é $R(s) = 1/\abs{\kappa(s)}$ e o centro de curvatura é $\tilde\gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)} N(s)$ ; o círculo com esse centro e raio $R(s)$ é o círculo osculador, a melhor aproximação circular da curva em $\tilde\gamma(s)$ .

Exemplo 18.15 (O círculo osculador da exponencial)

Para $y = \eu^x$ no ponto $(0, 1)$ : $f'(0) = f''(0) = 1$ , de modo que, pela fórmula do gráfico adiante,

\kappa(0) = \frac{1}{(1 + 1)^{3/2}} = \frac1{2\sqrt2}, \qquad R = 2\sqrt2 .

A tangente unitária é $T = \frac{(1, 1)}{\sqrt2}$ , a normal direta $N = \frac{(-1, 1)}{\sqrt2}$ , e o centro de curvatura é

(0, 1) + 2\sqrt2\cdot\frac{(-1, 1)}{\sqrt2} = (-2,\ 3) :

o círculo osculador tem equação $(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = 8$ . Como verificação da afirmação “melhor aproximação circular”: resolver a equação do círculo em $y$ perto de $(0,1)$ e desenvolver dá $y = 1 + x + \frac{x^2}2 + O(x^3)$ — exatamente o desenvolvimento de Taylor de segunda ordem de $\eu^x$ . O círculo osculador casa valor, inclinação e segunda derivada; um círculo tangente comum casaria apenas os dois primeiros.

Exemplo 18.16 (A evoluta de um círculo é seu centro)

Para o círculo de raio $R$ percorrido no sentido anti-horário, $\kappa = 1/R$ e $N$ aponta para o centro, de modo que o centro de curvatura $\tilde\gamma + \frac1\kappa N$ é o centro do círculo, para todo $s$ : o círculo osculador de um círculo é o próprio círculo, e o lugar dos centros de curvatura colapsa num ponto. Esse caso degenerado calibra o Exercício 18.6: ali a velocidade da evoluta é $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ , que se anula identicamente precisamente quando $\kappa$ é constante.

Proposição 18.17 (Curvatura numa parametrização arbitrária)

Para um arco plano $\gamma(t) = (x(t), y(t))$ regular de classe $\mathcal{C}^2$ ,

\kappa(t) = \frac{x'(t)\,y''(t) - y'(t)\,x''(t)} {\bigl(x'(t)^2 + y'(t)^2\bigr)^{3/2}} ,

em particular $\kappa = \dfrac{y''}{(1 + y'^2)^{3/2}}$ para um gráfico $y = f(x)$ .

Demonstração. Escreva $v(t) = \norm{\gamma'(t)} = s'(t)$ , de modo que $\gamma' = vT$ (compondo os dados de velocidade unitária com $s$ ). Derivando,

\gamma'' = v'T + v\,T'\cdot s' = v'T + v^2\kappa N .

Tome agora o determinante (na base canônica orientada) de $(\gamma', \gamma'')$ : como $\det(T, T) = 0$ e $\det(T, N) = 1$ ,

\det(\gamma', \gamma'') = \det(vT,\ v'T + v^2\kappa N) = v^3\kappa .

O membro da esquerda é $x'y'' - y'x''$ , e $v^3 = (x'^2 + y'^2)^{3/2}$ . O caso do gráfico é a parametrização $t \mapsto (t, f(t))$ . ∎

Exemplo 18.18 (Círculo, reta, parábola)

Uma reta tem $\kappa = 0$ (e reciprocamente: $T' = 0$ significa $T$ constante, logo $\tilde\gamma(s) = \tilde\gamma(0) + sT$ , uma reta). O círculo de raio $R$ percorrido no sentido anti-horário tem $\kappa = 1/R$ : com $\gamma(t) = (R\cos t, R\sin t)$ , a fórmula dá $\kappa = R^2/R^3$ . Para a parábola $y = x^2/2$ : $\kappa(x) = 1/(1 + x^2)^{3/2}$ , máxima no vértice — a parábola é mais fortemente dobrada onde ela dá a volta.

Observação 18.19 (Armadilhas comuns em torno da curvatura)

(i) A curvatura algébrica de um arco plano muda de sinal quando se inverte a orientação do arco ou do plano: só $\abs\kappa$ e $R = 1/\abs\kappa$ são puramente geométricos. Um círculo percorrido no sentido horário tem $\kappa = -1/R$ . (ii) A fórmula do gráfico $\kappa = f''/(1 + f'^2)^{3/2}$ escolhe silenciosamente a parametrização por $x$ ; aplicá-la a uma curva que não é gráfico perto do ponto (tangente vertical) é o erro clássico. (iii) Num ponto em que $\gamma' = 0$ nada está definido — nem $T$ nem $\kappa$ — e a trajetória pode realmente quebrar (Exemplo 18.5); verifique sempre a regularidade antes de derivar a tangente unitária. (iv) No espaço, $\kappa = \norm{T'} \geq 0$ por convenção: não há sinal a errar, mas também não há sinal a explorar — a informação do tipo inflexão migra para a torção. (v) Por fim, $\kappa$ é uma derivada em relação ao comprimento de arco: para uma parametrização que não é de velocidade unitária, esquecer o fator $v^3$ em Proposição 18.17 é o erro mais frequente na prática.

A parábola y = x2/2, seu referencial de Frenet móvel (T, N) e o círculo osculador no vértice (raio 1, pois (0) = 1). O referencial gira à medida que o ponto se move; a curvatura é a taxa desse giro por unidade de comprimento de arco. — **Figura 18.1.** A parábola $y = x^2/2$ , seu referencial de Frenet móvel $(T, N)$ e o círculo osculador no vértice (raio $1$ , pois $\kappa(0) = 1$ ). O referencial gira à medida que o ponto se move; a curvatura é a taxa desse giro por unidade de comprimento de arco.

Teorema 18.20 (A curvatura determina a curva)

Seja $\kappa \colon J \to \R$ contínua. Existe um arco $\mathcal{C}^2$ de velocidade unitária no plano com curvatura $\kappa$ , e ele é único a menos de uma isometria direta (rotação seguida de translação).

Demonstração. Existência. Fixe $s_0 \in J$ e ponha $\varphi(s) = \int_{s_0}^s \kappa(u)\,\dd u$ , depois

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\int_{s_0}^s \cos\varphi(u)\,\dd u,\ \int_{s_0}^s \sin\varphi(u)\,\dd u\Bigr).

Então $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ é um vetor unitário, $N(s) = (-\sin\varphi, \cos\varphi)$ e

T'(s) = \varphi'(s)\,(-\sin\varphi, \cos\varphi) = \kappa(s)\,N(s) :

o arco tem velocidade unitária e curvatura $\kappa$ .

Unicidade. Sejam $\gamma_1, \gamma_2$ arcos de velocidade unitária com a mesma curvatura. Cada tangente unitária se levanta a uma função ângulo, por uma construção explícita: veja $T_j$ como o número complexo $z_j = a_j + \iu b_j$ de módulo $1$ , escolha $\varphi_j(0)$ com $z_j(0) = \eu^{\iu\varphi_j(0)}$ e ponha

\varphi_j(s) = \varphi_j(0) + \int_0^s\det\bigl(T_j, T_j'\bigr)(u)\,\dd u .

De $\abs{z_j} = 1$ : $\operatorname{Re}(\conj{z_j}\,z_j') = 0$ , logo $\conj{z_j}\,z_j' = \iu\det(T_j, T_j') = \iu\,\varphi_j'$ , isto é, $z_j' = \iu\varphi_j'z_j$ ; então

\bigl(z_j\,\eu^{-\iu\varphi_j}\bigr)' = \eu^{-\iu\varphi_j}\bigl(z_j' - \iu\varphi_j'z_j\bigr) = 0,

de modo que $z_j = \eu^{\iu\varphi_j}$ em toda parte: $T_j = (\cos\varphi_j, \sin\varphi_j)$ com $\varphi_j$ de classe $\mathcal C^1$ . Além disso, $\det(T_j, T_j') = \det(T_j, \kappa N_j) = \kappa$ , logo $\varphi_j' = \kappa$ . Portanto $\varphi_2 = \varphi_1 + c$ para uma constante $c$ : $T_2$ é $T_1$ girado pelo ângulo fixo $c$ , de modo que, integrando, $\gamma_2 = \rho(\gamma_1) + w$ , em que $\rho$ é a rotação de ângulo $c$ e $w$ um vetor constante. ∎

Observação 18.21

Esse é o protótipo unidimensional de um teorema fundamental da geometria: um conjunto completo de invariantes locais (aqui, uma função) classifica o objeto a menos de movimento rígido. A versão tridimensional adiante precisa de dois invariantes.

Exemplo 18.22 (Curvatura constante significa círculo)

Tome $\kappa \equiv \kappa_0 > 0$ na fórmula de existência: $\varphi(s) = \kappa_0 s$ e

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\frac{\sin\kappa_0s}{\kappa_0},\ \frac{1 - \cos\kappa_0s}{\kappa_0}\Bigr) :

o círculo de raio $1/\kappa_0$ centrado em $(0, 1/\kappa_0)$ , percorrido com velocidade unitária. Pela metade de unicidade do teorema, todo arco de velocidade unitária de curvatura constante $\kappa_0$ é um pedaço de círculo de raio $1/\kappa_0$ (ou uma reta se $\kappa_0 = 0$ ) — a recíproca do cálculo do Exemplo 18.18, e o caso plano do Exercício 18.9.

Exemplo 18.23 (Reconstruir uma curva a partir de sua curvatura)

Que curva de velocidade unitária tem raio de curvatura $R(s) = 1 + s^2$ ? Seguindo a demonstração de existência com $\kappa(s) = \frac1{1+s^2}$ e $s_0 = 0$ : $\varphi(s) = \arctan s$ , logo

T(s) = (\cos\arctan s,\ \sin\arctan s) = \Bigl(\frac{1}{\sqrt{1+s^2}},\ \frac{s}{\sqrt{1+s^2}}\Bigr),

e, integrando,

\tilde\gamma(s) = \Bigl(\ln\bigl(s + \sqrt{1 + s^2}\bigr),\ \sqrt{1 + s^2} - 1\Bigr).

Pondo $x = \ln(s + \sqrt{1+s^2})$ , isto é, $s = \sinh x$ , a segunda coordenada é $\cosh x - 1$ : a curva é a catenária $y = \cosh x - 1$ . Isso fecha o círculo com o Exercício 18.3, em que calculamos $R = \cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x = 1 + s^2$ diretamente: o teorema fundamental garante que a catenária é a única curva com esse perfil de curvatura, a menos de isometria direta.

Observação 18.24 (Onde a curvatura é usada em seguida)

A decomposição $\gamma'' = v'T + v^2\kappa N$ obtida na demonstração da Proposição 18.17 é a cinemática de todo movimento curvo: aceleração tangencial contra aceleração centrípeta. A curvatura volta para superfícies (Capítulo 19) pela curvatura das curvas nelas desenhadas, e o cálculo de envoltórias do problema de fim de semana deste capítulo — evolutas, cáusticas — é a ótica geométrica das frentes de onda. O volume do terceiro ano de graduação retoma o ponto de vista intrínseco para subvariedades de $\R^n$ .

18.4 Referencial de Frenet no espaço

Seja agora $\tilde\gamma \colon J \to \R^3$ um arco $\mathcal{C}^3$ de velocidade unitária que seja birregular: $T'(s) \neq 0$ para todo $s$ . Então $\kappa(s) = \norm{T'(s)} > 0$ define a curvatura (sem sinal no espaço: não há orientação normal preferida), e pomos:

N(s) = \frac{T'(s)}{\kappa(s)} \quad\text{(normal principal)}, \qquad B(s) = T(s) \wedge N(s) \quad\text{(binormal)} ,

de modo que $(T, N, B)$ é um referencial ortonormal direto, o referencial de Frenet. O plano por $\tilde\gamma(s)$ gerado por $T, N$ é o plano osculador.

Teorema 18.25 (Fórmulas de Frenet no espaço)

Existe uma função contínua $\tau$ , a torção, com

T' = \kappa N, \qquad N' = -\kappa T + \tau B, \qquad B' = -\tau N .

Demonstração. A primeira fórmula é a definição de $N$ . Cada um dos vetores $T, N, B$ tem norma constante $1$ e eles são dois a dois ortogonais; derivar as seis relações $\langle X, Y\rangle = \delta_{XY}$ mostra que a matriz de $(T', N', B')$ na base $(T, N, B)$ é antissimétrica: de fato, $\langle X', Y\rangle + \langle X, Y'\rangle = 0$ e $\langle X', X\rangle = 0$ . Sua entrada $(N, T)$ vale $\langle N', T\rangle = -\langle N, T'\rangle = -\kappa$ , e a entrada da coluna $(T, B)$ vale $\langle T', B\rangle = \kappa\langle N, B\rangle = 0$ . Chamar a entrada livre restante de $\tau = \langle N', B\rangle$ dá exatamente as três fórmulas exibidas: a antissimetria preenche $\langle B', N\rangle = -\tau$ e $\langle B', T\rangle = 0$ . A continuidade de $\tau = \langle N', B\rangle$ é clara, pois $N'$ e $B$ são contínuas ( $\tilde\gamma$ é $\mathcal{C}^3$ , logo $N = T'/\kappa$ é $\mathcal{C}^1$ ). ∎

Exemplo 18.26 (O vetor de Darboux)

As três fórmulas de Frenet se comprimem numa só. Ponha $\omega(s) = \tau\,T + \kappa\,B$ (o vetor de Darboux). Usando $B \wedge T = N$ , $T \wedge N = B$ , $N \wedge B = T$ :

\omega \wedge T = \kappa\,N = T', \qquad \omega \wedge N = \tau\,B - \kappa\,T = N', \qquad \omega \wedge B = -\tau\,N = B' :

cada vetor do referencial evolui por $X' = \omega \wedge X$ , a assinatura cinemática de uma rotação instantânea de vetor velocidade angular $\omega$ . O referencial gira à taxa $\norm\omega = \sqrt{\kappa^2 + \tau^2}$ em torno do eixo móvel $\omega$ ; a curvatura é a componente do giro em torno da binormal, a torção a componente em torno da tangente. Para a hélice, $\omega$ é um vetor constante ao longo do eixo do cilindro — que é exatamente por que o referencial da hélice precessa uniformemente. A antissimetria da matriz de Frenet, explorada no Exercício 18.7, é a forma matricial desse único fato geométrico.

Proposição 18.27 (A torção mede a planaridade)

Um arco birregular está contido num plano se e somente se $\tau \equiv 0$ ; nesse caso o plano é o plano osculador (constante).

Demonstração. Se $\tau \equiv 0$ , então $B' = 0$ , de modo que $B$ é um vetor unitário constante $B_0$ , e

\frac{\dd}{\dd s}\langle \tilde\gamma(s), B_0\rangle = \langle T(s), B_0\rangle = 0 :

$\langle \tilde\gamma, B_0\rangle$ é constante, logo o arco está num plano ortogonal a $B_0$ . Reciprocamente, se o arco está num plano $P$ , então $T$ e $T'$ (logo $N$ ) são paralelos à direção de $P$ para todo $s$ ; assim $B = T \wedge N$ é uma das duas normais unitárias de $P$ e, sendo contínua, é constante; então $0 = B' = -\tau N$ com $N \neq 0$ força $\tau \equiv 0$ . ∎

Exemplo 18.28 (Um círculo inclinado tem torção nula)

O arco $\gamma(t) = \bigl(\cos t,\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2},\ \tfrac{\sin t}{\sqrt2}\bigr)$ está no plano $y = z$ e é o círculo unitário desse plano (confira: $\norm{\gamma(t)} = 1$ , e a base ortonormal $(1,0,0)$ , $(0, \tfrac1{\sqrt2}, \tfrac1{\sqrt2})$ do plano exibe a parametrização padrão). Sem cálculo de Frenet algum, a Proposição 18.27 prevê $\tau \equiv 0$ , e a binormal fixa tem de ser a normal unitária do plano $\pm(0, \tfrac1{\sqrt2}, -\tfrac1{\sqrt2})$ . A torção não mede estar “inclinado no espaço”; ela mede sair de um plano. Só o $b$ não nulo da hélice, adiante, produz torção genuína.

Exemplo 18.29 (A hélice)

Para a hélice $\gamma(t) = (a\cos t, a\sin t, bt)$ , $a > 0$ , calculamos $s = ct$ com $c = \sqrt{a^2 + b^2}$ . Então

T = \frac1c(-a\sin t,\ a\cos t,\ b), \qquad T' \cdot \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{1}{c^2}(-a\cos t, -a\sin t, 0),

logo $\kappa = a/c^2 = a/(a^2 + b^2)$ e $N = (-\cos t, -\sin t, 0)$ : a normal principal aponta horizontalmente para o eixo. Em seguida, $B = T \wedge N = \frac1c(b\sin t, -b\cos t, a)$ , e $B' \frac{\dd t}{\dd s} = \frac{b}{c^2}(\cos t, \sin t, 0) = -\tau N$ dá

\boxed{\ \kappa = \frac{a}{a^2 + b^2}, \qquad \tau = \frac{b}{a^2 + b^2}. \ }

Os dois invariantes são constantes — e pode-se mostrar, reciprocamente, que as únicas curvas birregulares com $\kappa > 0$ constante e $\tau$ constante são hélices (círculos quando $\tau = 0$ ). Note os sinais: $b > 0$ dá uma hélice destra de torção positiva.

Exemplo 18.30 (Curvatura e torção sem comprimento de arco; a cúbica reversa)

Reparametrizar por comprimento de arco é em geral impossível em forma fechada, de modo que os invariantes precisam ser extraídos das derivadas brutas. Escreva $v = \norm{\gamma'} = s'$ ; então $\gamma' = vT$ e, como na demonstração da Proposição 18.17,

\gamma'' = v'T + v^2\kappa N, \qquad \gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa\,(T \wedge N) = v^3\kappa\,B .

Tomando normas ( $\kappa \geq 0$ no espaço):

\kappa = \frac{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}}{v^3} .

Derivando $\gamma''$ mais uma vez e convertendo $N' = v(-\kappa T + \tau B)$ (regra da cadeia via $s$ ), a única componente em $B$ vem do último termo:

\gamma''' = \bigl(v'' - v^3\kappa^2\bigr)T + \bigl(v'v\kappa + (v^2\kappa)'\bigr)N + v^3\kappa\tau\,B,

de modo que, emparelhando com $\gamma' \wedge \gamma'' = v^3\kappa B$ ,

\det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = \langle\gamma' \wedge \gamma'',\ \gamma'''\rangle = v^6\kappa^2\tau, \qquad\text{i.e.}\qquad \tau = \frac{\det(\gamma', \gamma'', \gamma''')}{\norm{\gamma' \wedge \gamma''}^2} .

Aplicação à cúbica reversa $\gamma(t) = (t,\ t^2,\ t^3)$ em $t = 0$ : $\gamma' = (1, 0, 0)$ , $\gamma'' = (0, 2, 0)$ , $\gamma''' = (0, 0, 6)$ , logo $v = 1$ ,

\gamma' \wedge \gamma'' = (0, 0, 2), \qquad \kappa(0) = 2, \qquad \det(\gamma', \gamma'', \gamma''') = 12, \qquad \tau(0) = \frac{12}{4} = 3 .

Lição final: as duas fórmulas são razões em que a velocidade $v$ se cancela exatamente no grau necessário — $\kappa$ escala como uma derivada segunda por unidade de comprimento, $\tau$ como o volume misto de três derivadas por área ao quadrado — e é por isso que elas são geométricas enquanto o próprio $\gamma''$ não é.

Observação 18.31 (Teorema fundamental para curvas no espaço)

Como no plano, o par $(\kappa, \tau)$ com $\kappa > 0$ determina um arco birregular a menos de isometria direta de $\R^3$ : as fórmulas de Frenet formam um sistema diferencial linear para o referencial $(T, N, B)$ , ao qual se aplica a teoria de Cauchy–Lipschitz do Capítulo 16; a ortonormalidade do referencial solução é preservada porque a matriz de coeficientes é antissimétrica (mesmo argumento da matriz de Gram do Exercício 18.7), e a curva é recuperada integrando $T$ . Deixamos os detalhes ao leitor como um exercício substancial mas instrutivo.

18.5 Estudo local: posição em relação à tangente

Proposição 18.32 (Forma local num ponto regular)

Seja $\gamma$ um arco plano de classe $\mathcal{C}^k$ em $t_0$ , com $p$ o menor índice tal que $\gamma^{(p)}(t_0) \neq 0$ e $q$ o menor índice $> p$ com $\gamma^{(q)}(t_0)$ não colinear com $\gamma^{(p)}(t_0)$ (supondo que ambos existam, $q \leq k$ ). Na base $(u, v) = (\gamma^{(p)}(t_0), \gamma^{(q)}(t_0))$ centrada em $\gamma(t_0)$ , Taylor–Young dá as coordenadas

X(t) \sim \frac{(t - t_0)^p}{p!}, \qquad Y(t) \sim \frac{(t - t_0)^q}{q!} .

O retrato local depende apenas das paridades de $p$ e $q$ :

$p$ ímpar, $q$ par	ponto ordinário	a curva fica de um só lado da tangente
$p$ ímpar, $q$ ímpar	ponto de inflexão	a curva cruza sua tangente
$p$ par, $q$ ímpar	cúspide de primeira espécie	os dois ramos em lados opostos
$p$ par, $q$ par	cúspide de segunda espécie	os dois ramos do mesmo lado

Demonstração. Taylor–Young na ordem $q$ (a função $\gamma$ é $\mathcal{C}^q$ perto de $t_0$ ):

\gamma(t) - \gamma(t_0) = \sum_{j=p}^{q} \frac{(t-t_0)^j}{j!}\,\gamma^{(j)}(t_0) + o\bigl((t-t_0)^q\bigr).

Pela escolha de $p$ e $q$ , cada $\gamma^{(j)}(t_0)$ com $p \leq j < q$ é colinear com $u$ ; recolhendo as componentes na base $(u, v)$ : $X(t) = \frac{(t-t_0)^p}{p!}(1 + o(1))$ e $Y(t) = \frac{(t-t_0)^q}{q!}(1 + o(1))$ . A tabela de sinais de $X$ e $Y$ para $t \gtrless t_0$ — governada exatamente pelas paridades — dá os quatro retratos: por exemplo, se $p$ é par, $X > 0$ dos dois lados (os dois ramos partem na direção $+u$ : uma cúspide), e o lado da reta tangente ( $\operatorname{sign} Y$ ) se inverte com $q$ ímpar. ∎

Exemplo 18.33

Para $\gamma(t) = (t^2, t^3)$ em $t_0 = 0$ (Exemplo 18.5): $\gamma'' (0)= (2, 0)$ , $\gamma'''(0) = (0, 6)$ , logo $p = 2$ , $q = 3$ : uma cúspide de primeira espécie, o retrato familiar da parábola semicúbica. Para $\gamma(t) = (t, t^3)$ em $0$ : $p = 1$ , $q = 3$ : inflexão — a cúbica cruza sua tangente.

Observação 18.34 (Perspectivas dentro deste volume)

As curvas alimentam os capítulos seguintes de três maneiras. Desenhadas numa superfície, elas definem seus planos tangentes e sua primeira forma fundamental (Capítulo 19), e seus comprimentos são calculados restringindo a métrica ambiente — o capítulo adiante é em grande parte este capítulo relativizado. O cálculo de envoltórias do problema de fim de semana encontra as integrais duplas no Capítulo 20, em que a área do astroide é recalculada pela fórmula de Green (Exercício 20.5) — uma curva, duas teorias, respostas coincidentes. E o sistema de Frenet já usou as equações diferenciais lineares do Capítulo 16 (existência, unicidade e o argumento de preservação da ortogonalidade do Exercício 18.7): o teorema fundamental das curvas é um teorema de equações diferenciais vestido de geometria.

Observação 18.35 (Método: executando o estudo local)

Na prática, a classificação é uma rotina de quatro passos. Um, derive em $t_0$ até aparecer a primeira derivada não nula: seu índice é $p$ , seu valor o vetor $u$ . Dois, continue derivando até aparecer uma derivada não colinear com $u$ : índice $q$ , vetor $v$ . Três, leia as paridades $(p, q)$ na tabela. Quatro, desenhe: a curva parte ao longo de $+u$ se $p$ é ímpar (ao longo de $u$ e depois de volta por $u$ se $p$ é par), do lado de $v$ ditado pelo sinal de $Y$ . Duas advertências. O referencial $(u, v)$ em geral não é ortonormal — a tabela descreve posições relativas à reta tangente, não ângulos nem distâncias, de modo que não leia a curvatura no desenho. E derivadas intermediárias colineares com $u$ são permitidas entre os postos $p$ e $q$ (elas só deslocam o desenvolvimento de $X$ ); o que não pode acontecer é parar na primeira derivada não nula e chutar $q = p + 1$ : para $\gamma(t) = (t^2, t^4 + t^5)$ o palpite ingênuo $q = 3$ está errado, pois $\gamma^{(3)}(0)$ ainda é colinear com $\gamma''(0)$ — isso é precisamente o Exercício 18.5.

18.6 Exercícios

Exercício 18.1 ★

Calcule o comprimento de um arco da cicloide $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in [0, 2\pi]$ . (Use $1 - \cos t = 2\sin^2(t/2)$ .)

Solução

Solução de Exercício 18.1.

$\gamma'(t) = (1 - \cos t,\ \sin t)$ , logo

\norm{\gamma'(t)}^2 = (1 - \cos t)^2 + \sin^2 t = 2 - 2\cos t = 4\sin^2\tfrac t2 ,

e $\norm{\gamma'(t)} = 2\sin\frac t2$ (não negativo em $[0, 2\pi]$ ). Portanto

L = \int_0^{2\pi} 2\sin\tfrac t2\,\dd t = \Bigl[-4\cos\tfrac t2\Bigr]_0^{2\pi} = 8 :

um arco da cicloide tem comprimento $8$ (para uma roda de raio $1$ ) — um resultado célebre de Wren, sem $\pi$ algum à vista.

Exercício 18.2 ★

Calcule a curvatura da elipse $\gamma(t) = (a\cos t,\ b\sin t)$ ( $a > b > 0$ ) e localize os pontos de curvatura máxima e mínima.

Solução

Solução de Exercício 18.2.

Com $x = a\cos t$ , $y = b\sin t$ : $x' = -a\sin t$ , $y' = b\cos t$ , $x'' = -a\cos t$ , $y'' = -b\sin t$ , logo, pela Proposição 18.17

\kappa(t) = \frac{x'y'' - y'x''}{(x'^2 + y'^2)^{3/2}} = \frac{ab\sin^2 t + ab\cos^2 t} {(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} = \frac{ab}{(a^2\sin^2 t + b^2\cos^2 t)^{3/2}} .

O denominador é mínimo quando $\sin t = 0$ (valor $b^3$ , pontos $(\pm a, 0)$ ) e máximo quando $\cos t = 0$ (valor $a^3$ , pontos $(0, \pm b)$ ), pois $a > b$ . Portanto $\kappa$ é máxima nas extremidades do eixo maior, $\kappa_{\max} = a/b^2$ , e mínima nas extremidades do eixo menor, $\kappa_{\min} = b/a^2$ : a elipse se dobra mais acentuadamente nas pontas de seu eixo longo.

Exercício 18.3 ★

Mostre que o comprimento de arco do gráfico de $f(x) = \cosh x$ em $[0, x]$ vale $\sinh x$ e calcule a curvatura dessa curva (a catenária). Verifique que $R(x) = 1/\kappa(x) = \cosh^2 x$ .

Solução

Solução de Exercício 18.3.

Para o gráfico $\gamma(x) = (x, \cosh x)$ : $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + \sinh^2 x} = \cosh x$ , logo o comprimento de arco de $0$ a $x$ vale $\int_0^x \cosh u\,\dd u = \sinh x$ . Curvatura de um gráfico (Proposição 18.17):

\kappa(x) = \frac{f''(x)}{(1 + f'(x)^2)^{3/2}} = \frac{\cosh x}{\cosh^3 x} = \frac{1}{\cosh^2 x} ,

logo $R(x) = \cosh^2 x$ , como anunciado. Note a bela coincidência $R(x) = 1 + s(x)^2$ com $s = \sinh x$ o comprimento de arco: o raio de curvatura da catenária cresce com o quadrado do comprimento de arco medido a partir do vértice.

Exercício 18.4 ★★

(Espiral logarítmica) Sejam $\gamma(t) = e^{t}(\cos t,\ \sin t)$ , $t \in \R$ . Mostre que o ângulo entre $\gamma(t)$ e $\gamma'(t)$ é constante, calcule o comprimento de arco de $\gamma$ em $(-\infty, 0]$ (finito!) e a curvatura.

Solução

Solução de Exercício 18.4.

$\gamma'(t) = e^t(\cos t - \sin t,\ \sin t + \cos t)$ , logo

\langle \gamma(t), \gamma'(t)\rangle = e^{2t} \bigl(\cos t(\cos t - \sin t) + \sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = e^{2t},

enquanto $\norm{\gamma(t)} = e^t$ e $\norm{\gamma'(t)} = e^t\sqrt 2$ . Portanto

\cos\angle\bigl(\gamma, \gamma'\bigr) = \frac{e^{2t}}{e^t \cdot e^t\sqrt2} = \frac{1}{\sqrt2} :

a tangente faz sempre o ângulo $\pi/4$ com o raio — a propriedade equiangular da espiral logarítmica. Comprimento de arco em $(-\infty, 0]$ :

\int_{-\infty}^0 \norm{\gamma'(t)}\,\dd t = \sqrt2\int_{-\infty}^0 e^t\,\dd t = \sqrt 2 ,

finito embora a espiral dê infinitas voltas em torno da origem. Curvatura: com $x'y'' - y'x''$ calculado a partir de $\gamma'' = e^t(-2\sin t,\ 2\cos t)$ ,

x'y'' - y'x'' = e^{2t}\bigl(2\cos t(\cos t - \sin t) + 2\sin t(\sin t + \cos t)\bigr) = 2e^{2t},

logo $\kappa(t) = \dfrac{2e^{2t}}{(e^t\sqrt2)^3} = \dfrac{1}{e^t\sqrt2}$ : a curvatura vale $1/(\sqrt2\, \norm{\gamma})$ , decaindo à medida que a espiral cresce.

Exercício 18.5 ★★

Determine $p$ , $q$ e a forma local (ordinário, inflexão, cúspide) de $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ em $t = 0$ , e de $\gamma(t) = (t^3,\ t^4)$ em $t = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 18.5.

Primeiro arco: $\gamma(t) = (t^2,\ t^4 + t^5)$ . Derivadas em $0$ : $\gamma'' = (2, 0) \neq 0$ , logo $p = 2$ . Em seguida $\gamma^{(3)}(0) = (0, 0)$ , $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ , não colinear com $(2, 0)$ : $q = 4$ . Ambos pares: cúspide de segunda espécie — os dois ramos partem na direção $+u = (1,0)$ e ficam do mesmo lado da tangente. (De fato $y = x^2 \pm x^{5/2}$ nos dois ramos: mesmo sinal para $x$ pequeno.)

Segundo arco: $\gamma(t) = (t^3, t^4)$ . $\gamma'(0) = \gamma''(0) = 0$ , $\gamma^{(3)}(0) = (6, 0)$ : $p = 3$ , ímpar. Em seguida $\gamma^{(4)}(0) = (0, 24)$ : $q = 4$ , par. Ímpar–par: ponto ordinário — apesar da velocidade nula, a trajetória $y = x^{4/3}$ atravessa a origem suavemente, mantendo-se acima de sua tangente $y = 0$ .

Exercício 18.6 ★★

Seja $\gamma$ um arco plano de velocidade unitária com $\kappa(s) > 0$ para todo $s$ , e seja $c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa(s)}N(s)$ o centro de curvatura (a curva $c$ é a evoluta). Supondo $\kappa$ de classe $\mathcal{C}^1$ , mostre que $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s)$ : a evoluta é tangente às retas normais de $\gamma$ .

Solução

Solução de Exercício 18.6.

Derive $c(s) = \gamma(s) + \dfrac{1}{\kappa(s)}N(s)$ usando as fórmulas de Frenet no plano (Teorema 18.13):

c'(s) = T(s) - \frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) + \frac{1}{\kappa(s)}\,\bigl(-\kappa(s)T(s)\bigr) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}\,N(s) ,

os termos tangenciais se cancelando exatamente. Assim a velocidade da evoluta é carregada por $N(s)$ , que dirige a reta normal de $\gamma$ em $\gamma(s)$ — e o ponto $c(s)$ está sobre essa mesma reta normal: a evoluta é a envoltória das normais. (Onde $\kappa' = 0$ a evoluta tem um ponto singular; é isso que produz as cúspides da evoluta de uma elipse.)

Exercício 18.7 ★★★

Seja $A(s)$ uma família contínua de matrizes antissimétricas $3 \times 3$ e $F' = F A$ uma solução matricial com $F(s_0)$ ortogonal. Mostre que $F(s)$ é ortogonal para todo $s$ . (Derive $G = F F^{\mathsf T}$ e use a unicidade em Cauchy–Lipschitz.) Explique a relevância para o sistema de Frenet.

Solução

Solução de Exercício 18.7.

Seja $G(s) = F(s)F(s)^{\mathsf T}$ . Então, usando $F' = FA$ e $(F^{\mathsf T})' = (F')^{\mathsf T} = A^{\mathsf T}F^{\mathsf T}$ ,

G' = F'F^{\mathsf T} + F(F^{\mathsf T})' = FAF^{\mathsf T} + FA^{\mathsf T}F^{\mathsf T} = F(A + A^{\mathsf T})F^{\mathsf T} = 0

por antissimetria. Logo $G$ é constante no intervalo, igual a $G(s_0) = F(s_0)F(s_0)^{\mathsf T} = I$ : $F(s)$ é ortogonal para todo $s$ . (Alternativamente, sem calcular $G'$ até zero: tanto $G$ quanto a constante $I$ resolvem o sistema linear $Y' = YA + A^{\mathsf T}Y$ com o mesmo valor inicial, e a unicidade de Cauchy–Lipschitz para sistemas lineares, Capítulo 16, força $G \equiv I$ .)

Relevância: o sistema de Frenet $(T, N, B)' = (T, N, B)\,A(s)$ tem a matriz de coeficientes antissimétrica

A = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

(colunas exprimindo $T', N', B'$ ). O cálculo acima mostra que um referencial solução que começa ortonormal permanece ortonormal — o passo-chave do teorema fundamental que reconstrói uma curva a partir de $(\kappa, \tau)$ .

Exercício 18.8 ★★★

(Curvatura total de uma curva convexa fechada) Seja $\tilde\gamma$ um arco plano fechado $\mathcal{C}^2$ de velocidade unitária e comprimento $L$ (de modo que $\tilde\gamma(s + L) = \tilde\gamma(s)$ ), percorrido uma vez no sentido anti-horário. Usando a função ângulo $\varphi$ com $T = (\cos\varphi, \sin\varphi)$ do Teorema 18.20, explique por que $\varphi(L) - \varphi(0)$ é múltiplo de $2\pi$ e mostre que $\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0)$ . (Para um círculo de raio $R$ : $\int \kappa = \frac1R \cdot 2\pi R = 2\pi$ . O teorema das tangentes girantes afirma o valor $2\pi$ para toda curva fechada simples; não se pede que você o demonstre.)

Solução

Solução de Exercício 18.8.

Pelo Teorema 18.20 (parte de unicidade), existe uma função ângulo $\varphi$ de classe $\mathcal{C}^1$ com $T(s) = (\cos\varphi(s), \sin\varphi(s))$ e $\varphi' = \kappa$ . Portanto

\int_0^L \kappa(s)\,\dd s = \varphi(L) - \varphi(0) .

Como o arco é fechado de período $L$ , $T(L) = T(0)$ : $(\cos\varphi(L), \sin\varphi(L)) = (\cos\varphi(0), \sin\varphi(0))$ , logo $\varphi(L) - \varphi(0) \in 2\pi\Z$ . A curvatura total de uma curva fechada é portanto sempre um múltiplo inteiro de $2\pi$ — sendo o inteiro o número de voltas da tangente (a quantidade de voltas completas que $T$ dá). Para o círculo de raio $R$ : $\kappa = 1/R$ e $L = 2\pi R$ , curvatura total $2\pi$ , número de voltas $1$ ; o teorema das tangentes girantes afirma que esse valor vale para toda curva fechada simples.

Exercício 18.9 ★★★

Mostre que uma curva espacial birregular com $\kappa > 0$ constante e $\tau = 0$ é (um arco de) um círculo de raio $1/\kappa$ . (Use Proposição 18.27 e depois mostre que o centro $\gamma + \frac1\kappa N$ é constante.)

Solução

Solução de Exercício 18.9.

Como $\tau \equiv 0$ , a curva está num plano (Proposição 18.27); trabalhe nesse plano. Considere o centro candidato

c(s) = \gamma(s) + \frac{1}{\kappa}N(s) \qquad (\kappa \text{ constante}).

Derivando com as fórmulas de Frenet ( $N' = -\kappa T + \tau B = -\kappa T$ aqui):

c'(s) = T + \frac1\kappa(-\kappa T) = 0 ,

logo $c$ é um ponto constante $\Omega$ . Então $\norm{\gamma(s) - \Omega} = \norm{-\frac1\kappa N(s)} = \frac1\kappa$ para todo $s$ : a curva está no círculo de centro $\Omega$ e raio $1/\kappa$ (em seu plano) e, sendo um arco não constante dele, é um arco desse círculo.

Exercício 18.10 ★

Calcule o comprimento de arco da parábola $y = x^2/2$ em $\intcc0a$ e mostre que ele vale

\tfrac12\Bigl(a\sqrt{1 + a^2} + \ln\bigl(a + \sqrt{1 + a^2}\bigr)\Bigr).

Solução

Solução de Exercício 18.10.

Para o gráfico $\gamma(x) = (x, x^2/2)$ , $\norm{\gamma'(x)} = \sqrt{1 + x^2}$ , logo $L = \int_0^a\sqrt{1+x^2}\,\dd x$ . Substituindo $x = \sinh u$ ( $\dd x = \cosh u\,\dd u$ , $u$ indo de $0$ a $u_a = \ln(a + \sqrt{1+a^2})$ ):

L = \int_0^{u_a}\cosh^2 u\,\dd u = \frac12\bigl[u + \sinh u\cosh u\bigr]_0^{u_a} = \frac12\Bigl(\ln\bigl(a + \sqrt{1+a^2}\bigr) + a\sqrt{1+a^2}\Bigr),

usando $\cosh^2 u = \frac{1 + \cosh 2u}2$ e $\sinh u_a = a$ , $\cosh u_a = \sqrt{1 + a^2}$ .

Exercício 18.11 ★★

Seja $\gamma$ um arco $\mathcal C^2$ regular em $\R^n$ cujas retas tangentes passam todas por um ponto fixo $P$ . Prove que a trajetória de $\gamma$ está contida numa reta. (Parametrize por comprimento de arco, escreva $\gamma(s) + \lambda(s)T(s) = P$ e derive.)

Solução

Solução de Exercício 18.11.

Parametrize por comprimento de arco (Teorema 18.9) e ponha $\lambda(s) = \langle P - \gamma(s), T(s)\rangle$ , uma função $\mathcal C^1$ ; como $P$ está sobre a reta tangente em $\gamma(s)$ , o vetor $P - \gamma(s)$ é colinear com $T(s)$ , logo $P = \gamma(s) + \lambda(s)T(s)$ . Derivando,

0 = T(s) + \lambda'(s)T(s) + \lambda(s)T'(s) = \bigl(1 + \lambda'(s)\bigr)T(s) + \lambda(s)T'(s),

e $T'(s) \perp T(s)$ (derive $\norm T^2 = 1$ ), de modo que ambas as componentes se anulam: $\lambda' = -1$ e $\lambda T' = 0$ . Ora, $\lambda(s) = c - s$ se anula no máximo uma vez, logo $T' = 0$ num conjunto denso e, por continuidade, em toda parte: $T$ é um vetor unitário constante e $\gamma(s) = \gamma(s_0) + (s - s_0)T$ : uma reta (passando por $P$ , como deve ser).

Exercício 18.12 ★★★

(Teorema fundamental para curvas no espaço) Sejam $\kappa > 0$ e $\tau$ funções contínuas num intervalo $J$ . Execute o programa da observação que segue a Exemplo 18.29: (a) mostre que o sistema linear $F' = FA(s)$ , com $A(s)$ a matriz antissimétrica de Frenet construída a partir de $\kappa, \tau$ e $F(s_0)$ um referencial ortonormal direto, tem solução global única, que permanece um referencial ortonormal direto; (b) construa uma curva birregular de velocidade unitária com curvatura $\kappa$ e torção $\tau$ ; (c) demonstre a unicidade a menos de uma isometria direta de $\R^3$ .

Solução

Solução de Exercício 18.12.

(a) A matriz de Frenet

A(s) = \begin{pmatrix} 0 & -\kappa & 0\\ \kappa & 0 & -\tau\\ 0 & \tau & 0\end{pmatrix}

tem entradas contínuas, logo o sistema linear $F' = FA(s)$ , $F(s_0) = F_0$ (uma matriz ortogonal direta) tem solução única em todo $J$ (Teorema 16.4). Pelo Exercício 18.7, $F(s)$ é ortogonal para todo $s$ ; $\det F$ é contínua com valores em $\{\pm1\}$ e vale $1$ em $s_0$ , logo $F(s)$ é direta para todo $s$ .

(b) Leia as linhas $T, N, B$ de $F$ (de modo que $T' = \kappa N$ , $N' = -\kappa T + \tau B$ , $B' = -\tau N$ ) e ponha $\gamma(s) = \gamma_0 + \int_{s_0}^s T(u)\,\dd u$ . Então $\gamma' = T$ é um vetor unitário: velocidade unitária; $T' = \kappa N$ com $\kappa > 0$ e $N$ unitário ortogonal a $T$ , logo $\gamma$ é birregular com curvatura $\norm{T'} = \kappa$ e normal principal $N$ ; a binormal é $T \wedge N = B$ (referencial ortonormal direto), e $B' = -\tau N$ identifica a torção como $\tau$ .

(c) Sejam $\gamma_1, \gamma_2$ curvas birregulares de velocidade unitária com os mesmos $(\kappa, \tau)$ . Existe uma única isometria direta $\Phi = \rho + w$ ( $\rho \in SO(3)$ ) levando $\gamma_1(s_0)$ em $\gamma_2(s_0)$ e o referencial de Frenet de $\gamma_1$ em $s_0$ no de $\gamma_2$ em $s_0$ . A curva $\Phi\circ\gamma_1$ tem velocidade unitária e os mesmos invariantes (seu referencial é $\rho$ aplicada ao de $\gamma_1$ , e $\rho$ preserva produtos vetoriais, por ser direta). Ora, os referenciais de $\Phi\circ\gamma_1$ e de $\gamma_2$ resolvem ambos $F' = FA(s)$ com o mesmo valor inicial, logo coincidem por unicidade; em particular as tangentes coincidem e, integrando a partir do ponto comum $s_0$ : $\Phi\circ\gamma_1 = \gamma_2$ .

18.7 Problema: envoltórias — o astroide, duas evolutas e uma cáustica

Uma escada de comprimento 1 escorregando por uma parede (posições em azul) nunca cruza o astroide x2/3 + y2/3 = 1 (vermelho): o astroide é a envoltória da família de segmentos, tangente a cada um deles. — Uma escada de comprimento $1$ escorregando por uma parede (posições em azul) nunca cruza o astroide $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (vermelho): o astroide é a *envoltória* da família de segmentos, tangente a cada um deles.

Problema 18.1

Problema de fim de semana — a máquina das envoltórias e quatro curvas clássicas

Uma família de retas a um parâmetro geralmente não cobre o plano uniformemente: as retas se acumulam ao longo de uma curva tangente a todas elas, sua envoltória. Os raios de luz tornam as envoltórias visíveis como cáusticas — a curva luminosa com cúspides numa xícara de café. Este problema constrói a máquina geral das envoltórias e depois a roda quatro vezes: a escada que escorrega (astroide), as normais da parábola e da cicloide (evolutas, com o pêndulo de Huygens no fim) e a cáustica da xícara de café (nefroide). Em todo o problema, $D_t$ designa a reta de equação $a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)$ , em que $a, b, c$ são funções $\mathcal C^2$ com $(a(t), b(t)) \neq (0,0)$ , e $\Delta(t) = a(t)b'(t) - a'(t)b(t)$ .

Parte I — A máquina das envoltórias.

Suponha $\Delta(t) \neq 0$ . Mostre que o sistema característico

$\begin{cases} a(t)\,x + b(t)\,y = c(t)\\ a'(t)\,x + b'(t)\,y = c'(t)\end{cases}$

tem solução única $E(t) = (x(t), y(t))$ , dada por $x = \dfrac{cb' - c'b}{\Delta}$ , $y = \dfrac{ac' - a'c}{\Delta}$ .
Suponha além disso que $E$ é $\mathcal C^1$ perto de $t$ com $E'(t) \neq 0$ . Derivando a primeira equação do sistema, mostre que $a(t)\,x'(t) + b(t)\,y'(t) = 0$ e conclua que a curva $E$ passa por um ponto de $D_t$ com a direção de $D_t$ : a família é tangente a $E$ , que se chama sua envoltória.
Verificação de bom senso: as retas tangentes da parábola $y = x^2/2$ nos pontos $(t, t^2/2)$ são $tx - y = t^2/2$ . Verifique que a máquina das envoltórias devolve a própria parábola.
(Envoltória das normais) Seja $\gamma$ de velocidade unitária com $\kappa(s) \neq 0$ . A reta normal em $\gamma(s)$ é $\{M : \langle M - \gamma(s), T(s) \rangle = 0\}$ . Mostre que seu sistema característico força $\langle M - \gamma(s), N(s)\rangle = 1/\kappa(s)$ , logo que o ponto característico é o centro de curvatura: a envoltória das normais é a evoluta, recuperando o Exercício 18.6. Confira $\Delta(s) = \kappa(s)$ .
Duas degenerações. Para o feixe $D_\theta : x\cos \theta + y\sin\theta = 0$ , mostre que o ponto característico é a origem para todo $\theta$ (a “envoltória” colapsa num ponto, e $E' = 0$ : a questão 2 não se aplica). Para uma família de retas paralelas ( $a, b$ constante), mostre que $\Delta \equiv 0$ e que o sistema característico é em geral incompatível: não há envoltória.

Parte II — A escada que escorrega e o astroide. Um segmento de comprimento $1$ escorrega com uma ponta $P_t = (\cos t, 0)$ no chão e a outra $Q_t = (0, \sin t)$ na parede, $t \in \intoo0{\pi/2}$ .

Mostre que a reta $(P_tQ_t)$ tem equação $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ e que a máquina das envoltórias dá o ponto característico

$E(t) = (\cos^3 t,\ \sin^3 t) :$

o astroide, de equação implícita $x^{2/3} + y^{2/3} = 1$ (estendida aos outros quadrantes por simetria).
Mostre que $E'(0) = 0$ e, usando a classificação local (Proposição 18.32), que o astroide tem uma cúspide de primeira espécie em $(1, 0)$ — e do mesmo modo em seus quatro pontos sobre os eixos.
Calcule $\norm{E'(t)} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ e deduza que o comprimento total do astroide é $6$ .
Onde a escada toca o astroide? Mostre que $E(t) = P_t + \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ : o ponto de contato divide a escada na razão $\sin^2 t : \cos^2 t$ , varrendo-a de uma ponta à outra à medida que a escada escorrega.
Calcule a área encerrada pelo astroide: mostre que a área no primeiro quadrante é $3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t$ , avalie a integral por linearização ( $\sin^2 2t = \tfrac{1 - \cos 4t}2$ ) e conclua que a área total é $3\pi/8$ .

Parte III — A evoluta da parábola. Seja $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ .

Mostre que a reta normal em $\gamma(t)$ tem equação $x + t\,y = t + t^3/2$ .
Rode a máquina das envoltórias: mostre que a envoltória das normais é

$E(t) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32 t^2\Bigr),$

de equação implícita $x^2 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : uma parábola semicúbica.
Confira com a questão 4: calcule o centro de curvatura $\gamma(t) + \frac1{\kappa(t)}N(t)$ a partir de $\kappa(t) = (1 + t^2)^{-3/2}$ (Exemplo 18.18) e recupere o mesmo ponto.
Mostre que a evoluta tem uma cúspide de primeira espécie em $(0, 1)$ , o centro de curvatura no vértice — o ponto em que $\kappa$ é extremal, como prevê a fórmula $c' = -\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ do Exercício 18.6.
Quantas normais da parábola passam por um dado ponto $(x_0, y_0)$ ? Mostre que a resposta é governada pela cúbica $\tfrac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0$ ; trate completamente o caso do eixo $x_0 = 0$ (uma normal para $y_0 < 1$ , três para $y_0 > 1$ ) e interprete a evoluta como a curva de transição.

Parte IV — A cáustica da xícara de café. Raios paralelos de direção $(1, 0)$ atingem o interior do espelho circular $x^2 + y^2 = 1$ ; o raio que atinge $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ se reflete segundo a lei da reflexão.

Pela simetria especular em relação à normal (o raio), justifique que a direção refletida é $v = u - 2\langle u, n\rangle n$ com $u = (1,0)$ , $n = (\cos\theta, \sin\theta)$ , e calcule $v = -(\cos2\theta, \sin2\theta)$ .
Mostre que o raio refletido está na reta

$x\sin 2\theta - y\cos 2\theta = \sin\theta .$
Rode a máquina das envoltórias ( $\Delta = 2$ ): mostre que a cáustica é

$E(\theta) = \Bigl(\tfrac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\ \tfrac{3\sin\theta - \sin3\theta}4\Bigr),$

a nefroide.
Calcule $E'(\theta) = \tfrac32\sin\theta\, (\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; confira que a direção tangente é a direção do raio refletido (questão 16), localize as duas cúspides $(\pm\tfrac12, 0)$ e mostre que o raio refletido cruza o eixo $y = 0$ em $x = \frac1{2\cos\theta}$ — de modo que raios quase axiais focalizam em $x = \tfrac12$ : a distância focal $R/2$ de um espelho de raio $R$ .
Mostre que a nefroide tem comprimento total $6$ e que, perto de $\theta = 0$ ,

$E(\theta) - \bigl(\tfrac12, 0\bigr) = \bigl(\tfrac34\theta^2 + o(\theta^2),\ \theta^3 + o(\theta^3)\bigr) :$

uma cúspide de primeira espécie, apontando ao longo do eixo.
Explique num parágrafo por que a cáustica é brilhante: por cada ponto logo fora da cáustica passam dois raios refletidos, e por cada ponto sobre ela os raios estão “infinitamente concentrados” (a aplicação $(\theta, \text{distância ao longo do raio}) \mapsto \R^2$ tem ponto crítico exatamente na envoltória).

Parte V — Huygens: a cicloide é sua própria evoluta. Sejam $\gamma(t) = (t - \sin t,\ 1 - \cos t)$ , $t \in \intoo0{2\pi}$ , um arco da cicloide.

Calcule $\kappa(t) = -\dfrac1{4\sin(t/2)}$ e o centro de curvatura; mostre que a evoluta é

$c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1),$

e que a substituição $t = u + \pi$ a exibe como a cicloide original transladada por $(\pi, -2)$ : a evoluta de uma cicloide é uma cicloide congruente (Huygens).
Verifique que o raio de curvatura no ápice $t = \pi$ vale $4$ , que é metade do comprimento $8$ de um arco (Exercício 18.1); localize a cúspide da evoluta diretamente abaixo do ápice, à distância $4$ .
(A propriedade do fio) Seja $\gamma$ de velocidade unitária com $\kappa > 0$ , $\kappa$ de classe $\mathcal C^1$ e $R = 1/\kappa$ estritamente monótona. Usando $c' = R'N$ , mostre que o comprimento de arco da evoluta entre $c(s_0)$ e $c(s_1)$ vale $\abs{R(s_1) - R(s_0)}$ . Interprete: um fio esticado desenrolado da evoluta, de comprimento $R(s_0)$ no início, tem sua ponta livre traçando a curva original — de modo que um pêndulo oscilando entre duas faces cicloidais do relógio de Huygens descreve uma cicloide.
Síntese. A máquina da Parte I produziu o astroide, uma parábola semicúbica, uma nefroide e uma cicloide. Para cada uma das quatro famílias, diga em uma frase onde as hipóteses $\Delta \neq 0$ e $E' \neq 0$ valeram ou falharam, e que evento geométrico (cúspide, foco, degeneração) cada falha de $E' \neq 0$ sinalizou. Onde devem aparecer os extremos de curvatura na envoltória das normais, e por quê?

Solução

Solução de Problema 18.1.

1. O sistema é linear em $(x, y)$ com determinante $\Delta(t) = a b' - a'b \neq 0$ : a regra de Cramer dá a solução única

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta}, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta}.

2. Como $a(t)x(t) + b(t)y(t) = c(t)$ identicamente, derivar dá $a'x + b'y + ax' + by' = c'$ ; a segunda equação característica mata $a'x + b'y - c'$ , logo $a(t)x'(t) + b(t)y'(t) = 0$ : $E'(t)$ é ortogonal a $(a, b)$ , portanto paralelo a $(-b, a)$ , a direção de $D_t$ . Como $E(t) \in D_t$ (primeira equação) e $E'(t) \neq 0$ , a reta $D_t$ é exatamente a reta tangente da curva $E$ em $E(t)$ .

3. Aqui $(a, b, c) = (t, -1, t^2/2)$ , logo $\Delta = t\cdot0 - 1\cdot(-1) = 1$ e

x = \frac{c b' - c' b}{\Delta} = \tfrac{t^2}2\cdot 0 + t = t, \qquad y = \frac{a c' - a' c}{\Delta} = t\cdot t - \tfrac{t^2}2 = \tfrac{t^2}2 :

a envoltória das retas tangentes da parábola é a parábola, como devia ser.

4. A reta normal é $\langle M, T(s)\rangle = \langle\gamma(s), T(s)\rangle$ : coeficientes $a = T_1$ , $b = T_2$ , $c = \langle\gamma, T\rangle$ . Derivando com Frenet ( $T' = \kappa N$ ): $a' = \kappa N_1$ , $b' = \kappa N_2$ e $c' = \langle T, T\rangle + \langle\gamma, \kappa N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ . A segunda equação característica $\kappa\langle M, N\rangle = 1 + \kappa\langle\gamma, N\rangle$ dá $\kappa\langle M - \gamma, N\rangle = 1$ . A primeira diz $M - \gamma \perp T$ , logo $M - \gamma = \mu N$ com $\mu = 1/\kappa$ : o ponto característico é $\gamma + \frac1\kappa N$ , o centro de curvatura, e a envoltória das normais é a evoluta de Exercício 18.6. Por fim, $\Delta = T_1\kappa N_2 - \kappa N_1 T_2 = \kappa\det(T, N) = \kappa \neq 0$ .

5. Feixe: o sistema $x\cos\theta + y\sin\theta = 0$ , $-x\sin\theta + y\cos\theta = 0$ tem determinante $1$ e solução $(0,0)$ para todo $\theta$ : $E \equiv (0,0)$ , $E' \equiv 0$ , e não há curva alguma — apenas o ponto comum a todas as retas. Família paralela: $a' = b' = 0$ dá $\Delta \equiv 0$ e a segunda equação $0 = c'(t)$ , que falha assim que a família de fato se move: nenhum ponto característico e, de fato, uma família de retas paralelas não toca curva alguma ao longo de todos os seus membros.

6. A reta por $(\cos t, 0)$ e $(0, \sin t)$ é $\frac x{\cos t} + \frac y{\sin t} = 1$ , isto é, $x\sin t + y\cos t = \sin t\cos t$ . Com $(a, b, c) = (\sin t, \cos t, \sin t\cos t)$ : $a' = \cos t$ , $b' = -\sin t$ , $c' = \cos 2t$ , $\Delta = -\sin^2 t - \cos^2 t = -1$ . Cramer:

\begin{align*} x &= \frac{cb' - c'b}{-1} = \sin^2 t\cos t + \cos 2t\cos t = \cos t\,(\sin^2 t + \cos^2 t - \sin^2 t) = \cos^3 t,\\ y &= \frac{ac' - a'c}{-1} = \sin t\cos^2 t - \sin t\cos 2t = \sin t\,(\cos^2 t - \cos^2 t + \sin^2 t) = \sin^3 t . \end{align*}

E $(\cos^3t)^{2/3} + (\sin^3t)^{2/3} = 1$ : o astroide.

7. $E'(t) = 3(-\cos^2 t\sin t,\ \sin^2 t\cos t)$ se anula em $t = 0$ . Ali, $E''(0) = (-3, 0) \neq 0$ dá $p = 2$ ; a componente em $x$ de $E$ é par em $t$ , logo $E'''(0) = (0, 6)$ , não colinear: $q = 3$ . Par–ímpar: cúspide de primeira espécie em $(1, 0)$ (Proposição 18.32), com tangente ao longo do eixo $x$ . As simetrias $x \mapsto -x$ , $y \mapsto -y$ , $(x, y) \mapsto (y, x)$ do astroide transportam a cúspide para $(-1, 0)$ e $(0, \pm1)$ .

8. $E'(t) = 3\sin t\cos t\,(-\cos t, \sin t)$ , logo $\norm{E'(t)} = 3\abs{\sin t\cos t} = \tfrac32\abs{\sin 2t}$ . Um quadrante: $\int_0^{\pi/2}\tfrac32\sin 2t\,\dd t = \tfrac32$ , e por simetria o comprimento total é $4 \cdot \tfrac32 = 6$ .

9. $E(t) - P_t = (\cos^3 t - \cos t,\ \sin^3 t) = \sin^2 t\,(-\cos t,\ \sin t) = \sin^2 t\,(Q_t - P_t)$ . Assim o ponto de contato é o baricentro de $(P_t, \cos^2 t)$ e $(Q_t, \sin^2 t)$ : quando $t$ vai de $0$ a $\pi/2$ , ele desliza da ponta no chão à ponta na parede da escada.

10. No primeiro quadrante a região sob o astroide tem área $\int_0^1 y\,\dd x$ com $x = \cos^3 t$ decrescendo de $1$ a $0$ quando $t$ vai de $0$ a $\pi/2$ :

\int_0^1 y\,\dd x = \int_{\pi/2}^{0}\sin^3 t\,(-3\cos^2 t\sin t)\,\dd t = 3\int_0^{\pi/2}\sin^4 t\cos^2 t\,\dd t .

Linearize: $\sin^4 t\cos^2 t = (\sin t\cos t)^2\sin^2 t = \tfrac18\bigl(\sin^2 2t - \sin^2 2t\cos 2t\bigr)$ , e $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\,\dd t = \tfrac\pi4$ enquanto $\int_0^{\pi/2}\sin^2 2t\cos 2t\,\dd t = \bigl[\tfrac{\sin^3 2t}6\bigr]_0^{\pi/2} = 0$ . Logo a integral vale $\tfrac\pi{32}$ , a área do quadrante $\tfrac{3\pi}{32}$ e a área encerrada $4 \cdot \tfrac{3\pi}{32} = \tfrac{3\pi}8$ .

11. A tangente em $\gamma(t) = (t, t^2/2)$ é dirigida por $(1, t)$ , logo a reta normal é $\{(x, y) : (x - t) + t\,(y - t^2/2) = 0\}$ , isto é, $x + t\,y = t + \tfrac{t^3}2$ .

12. $(a, b, c) = (1, t, t + t^3/2)$ : $a' = 0$ , $b' = 1$ , $c' = 1 + \tfrac32 t^2$ , $\Delta = 1$ . Então $y = ac' - a'c = 1 + \tfrac32t^2$ e

x = cb' - c'b = t + \tfrac{t^3}2 - t\Bigl(1 + \tfrac32t^2\Bigr) = -t^3 .

Eliminando $t$ : $t^2 = \tfrac23(y - 1)$ e $x^2 = t^6 = \tfrac8{27}(y - 1)^3$ : uma parábola semicúbica de vértice $(0, 1)$ .

13. $T = (1, t)/\sqrt{1+t^2}$ , $N = (-t, 1)/\sqrt{1+t^2}$ e $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ , logo

\gamma + \frac1\kappa N = (t, \tfrac{t^2}2) + (1+t^2)\,(-t, 1) = \Bigl(-t^3,\ 1 + \tfrac32t^2\Bigr),

a mesma curva: a envoltória das normais é o lugar dos centros de curvatura, como prometia a questão 4.

14. $E'(t) = (-3t^2, 3t)$ se anula em $t = 0$ ; $E''(0) = (0, 3) \neq 0$ dá $p = 2$ e $E'''(0) = (-6, 0)$ dá $q = 3$ : uma cúspide de primeira espécie em $(0, 1)$ . O vértice é onde $\kappa = (1+t^2)^{-3/2}$ é máxima, logo $\kappa'(0) = 0$ e a velocidade da evoluta $-\frac{\kappa'}{\kappa^2}N$ se anula exatamente ali: as cúspides da evoluta ficam nos extremos da curvatura.

15. A normal de parâmetro $t$ passa por $(x_0, y_0)$ se e somente se $x_0 + t\,y_0 = t + \tfrac{t^3}2$ , isto é,

\frac{t^3}2 + (1 - y_0)\,t - x_0 = 0 ,

uma cúbica em $t$ : uma ou três raízes reais (contadas sem multiplicidade, para pontos genéricos). Sobre o eixo $x_0 = 0$ ela se fatora como $t\bigl(\tfrac{t^2}2 + 1 - y_0\bigr) = 0$ : a raiz $t = 0$ (o eixo é a normal no vértice), mais $t = \pm\sqrt{2(y_0 - 1)}$ quando $y_0 > 1$ . Assim: uma normal para $y_0 < 1$ , três para $y_0 > 1$ e, em $y_0 = 1$ , a raiz tripla marca a cúspide da evoluta. Em geral, uma raiz dupla da cúbica significa que o ponto satisfaz tanto a equação da reta quanto sua derivada em $t$ — ele está sobre a envoltória: a evoluta é precisamente a fronteira entre as regiões de uma e de três normais.

16. A reflexão no espelho inverte a componente normal da direção e conserva a tangencial: escrevendo $u = \langle u, n\rangle n + u_{\mathrm{tan}}$ , a direção refletida é $u_{\mathrm{tan}} - \langle u, n\rangle n = u - 2\langle u, n\rangle n$ . Aqui $\langle u, n\rangle = \cos\theta$ , logo

v = (1, 0) - 2\cos\theta\,(\cos\theta, \sin\theta) = (1 - 2\cos^2\theta,\ -2\sin\theta\cos\theta) = -(\cos2\theta,\ \sin2\theta).

17. O raio refletido passa por $P_\theta = (\cos\theta, \sin\theta)$ com direção $(\cos2\theta, \sin2\theta)$ ; um vetor normal é $(-\sin2\theta, \cos2\theta)$ , de modo que a reta é

-\sin2\theta\,(x - \cos\theta) + \cos2\theta\,(y - \sin\theta) = 0,

e a constante vale $-\sin2\theta\cos\theta + \cos2\theta\sin\theta = -\sin\theta$ : multiplicando por $-1$ , $x\sin2\theta - y\cos2\theta = \sin\theta$ .

18. $(a, b, c) = (\sin2\theta, -\cos2\theta, \sin\theta)$ : $a' = 2\cos2\theta$ , $b' = 2\sin2\theta$ , $c' = \cos\theta$ , $\Delta = 2\sin^22\theta + 2\cos^22\theta = 2$ . Cramer e, em seguida, as fórmulas de produto em soma:

\begin{align*} x &= \frac{2\sin\theta\sin2\theta + \cos\theta\cos2\theta}{2} = \frac{(\cos\theta - \cos3\theta) + \frac12(\cos\theta + \cos3\theta)}{2} = \frac{3\cos\theta - \cos3\theta}4,\\ y &= \frac{\sin2\theta\cos\theta - 2\cos2\theta\sin\theta}2 = \frac{\frac12(\sin3\theta + \sin\theta) - (\sin3\theta - \sin\theta)}2 = \frac{3\sin\theta - \sin3\theta}4 : \end{align*}

a nefroide, uma curva fechada com duas cúspides.

19. Derivando e fatorando com $\sin3\theta - \sin\theta = 2\cos2\theta\sin\theta$ , $\cos\theta - \cos3\theta = 2\sin2\theta\sin\theta$ :

E'(\theta) = \tfrac34\bigl(\sin3\theta - \sin\theta,\ \cos\theta - \cos3\theta\bigr) = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta),

paralelo à direção refletida da questão 16: cada raio refletido é tangente à cáustica, como exige a propriedade de envoltória. $E' = 0$ exatamente em $\sin\theta = 0$ : $E(0) = (\tfrac12, 0)$ e $E(\pi) = (-\tfrac12, 0)$ , as duas cúspides. Pondo $y = 0$ na equação da reta: $x\sin2\theta = \sin\theta$ , logo $x = \frac1{2\cos\theta} \to \frac12$ quando $\theta \to 0$ : os raios paraxiais focalizam à distância $R/2$ do centro — a distância focal do espelho esférico.

20. $\norm{E'(\theta)} = \tfrac32\abs{\sin\theta}$ , logo o comprimento vale $\tfrac32\int_0^{2\pi}\abs{\sin\theta}\, \dd\theta = \tfrac32\cdot4 = 6$ . Perto de $\theta = 0$ , com $\cos k\theta = 1 - \tfrac{k^2\theta^2}2 + O(\theta^4)$ e $\sin k\theta = k\theta - \tfrac{k^3\theta^3}6 + O(\theta^5)$ :

x - \tfrac12 = \frac{3\theta^2 + O(\theta^4)}{4} = \tfrac34\theta^2 + O(\theta^4), \qquad y = \frac{4\theta^3 + O(\theta^5)}{4} = \theta^3 + O(\theta^5) :

$p = 2$ , $q = 3$ , uma cúspide de primeira espécie apontando ao longo do eixo — o ponto brilhante da cáustica da xícara de café.

21. Parametrize os pontos iluminados por $\Phi(\theta, r) = P_\theta + r\,v_\theta$ (posição ao longo de cada raio refletido). O determinante jacobiano $\det(\partial_\theta\Phi, \partial_r\Phi) = \det(P_\theta' + rv_\theta', v_\theta)$ é afim em $r$ e se anula para exatamente um $r = r_*(\theta)$ — e $\Phi(\theta, r_*(\theta))$ é o ponto característico, pois ali a direção do raio e a variação da família se tornam dependentes. Fora da envoltória a aplicação é um difeomorfismo local e um ponto logo dentro da cáustica é atingido por dois raios próximos (duas soluções $\theta$ ), um ponto de fora por nenhum daquela parte da família; sobre a cáustica os dois se fundem. A intensidade luminosa é inversamente proporcional ao valor absoluto do jacobiano, de modo que ela explode ao longo da envoltória: a cáustica é a curva brilhante, mais brilhante de todas na cúspide, onde a degenerescência é máxima.

22. $x' = 1 - \cos t$ , $y' = \sin t$ , $x'' = \sin t$ , $y'' = \cos t$ , logo $x'y'' - y'x'' = \cos t - 1$ e $\norm{\gamma'}^2 = 2(1 - \cos t) = 4\sin^2\tfrac t2$ ; pela Proposição 18.17,

\kappa(t) = \frac{-(1 - \cos t)}{8\sin^3\tfrac t2} = \frac{-2\sin^2\tfrac t2}{8\sin^3\tfrac t2} = -\frac1{4\sin\tfrac t2} \qquad (0 < t < 2\pi).

Com $T = (\sin\tfrac t2, \cos\tfrac t2)$ (divida $\gamma'$ por $2\sin\tfrac t2$ ) e $N = (-\cos\tfrac t2, \sin\tfrac t2)$ :

\gamma + \frac1\kappa N = \gamma - 4\sin\tfrac t2\,\Bigl(-\cos\tfrac t2,\ \sin\tfrac t2\Bigr) = \bigl(t - \sin t + 2\sin t,\ 1 - \cos t - 2(1 - \cos t)\bigr),

isto é, $c(t) = (t + \sin t,\ \cos t - 1)$ . Substituindo $t = u + \pi$ :

c = \bigl(u + \pi - \sin u,\ -\cos u - 1\bigr) = \bigl((u - \sin u) + \pi,\ (1 - \cos u) - 2\bigr) :

a cicloide $\gamma(u)$ transladada por $(\pi, -2)$ . A evoluta de uma cicloide é uma cicloide congruente, pendurada um nível abaixo.

23. $R(t) = 1/\abs{\kappa(t)} = 4\sin\tfrac t2$ , logo $R(\pi) = 4$ : metade do comprimento $8$ do arco, calculado no Exercício 18.1. A velocidade da evoluta $c'(t) = (1 + \cos t, -\sin t)$ se anula em $t = \pi$ : a cúspide é $c(\pi) = (\pi, -2)$ , diretamente abaixo do ápice $\gamma(\pi) = (\pi, 2)$ , à distância $4 = R(\pi)$ , exatamente o comprimento do raio osculador ali.

24. De Exercício 18.6, $c'(s) = -\frac{\kappa'(s)}{\kappa(s)^2}N(s) = R'(s)\,N(s)$ , logo $\norm{c'(s)} = \abs{R'(s)}$ e, para $R$ monótona,

\int_{s_0}^{s_1}\norm{c'(s)}\,\dd s = \Bigl|\int_{s_0}^{s_1}R'(s)\,\dd s\Bigr| = \abs{R(s_1) - R(s_0)} .

Digamos que $R$ decresça. Um fio estendido ao longo da evoluta além de $c(s_0)$ e prolongado pelo segmento de $c(s_0)$ a $\gamma(s_0)$ (que é tangente à evoluta, pela questão 4) tem, ao ser desenrolado até $c(s)$ e esticado, parte reta de comprimento $R(s_0) - \bigl(R(s_0) - R(s)\bigr) = R(s)$ apontando de $c(s)$ ao longo da normal — caindo exatamente sobre $\gamma(s)$ : a ponta livre traça a curva original (“evolvente”). Huygens pendurou um pêndulo entre duas faces cicloidais: o cordão se enrola na evoluta, de modo que o peso descreve uma cicloide — a tautócrona, cujo período de oscilação não depende da amplitude.

25. Tangentes da parábola: $\Delta = 1$ e $E' = (1, t) \neq 0$ em toda parte — envoltória suave (a própria parábola). Escada que escorrega: $\Delta = -1$ , mas $E' = \tfrac32\sin 2t\,(-\cos t, \sin t)$ se anula nas extremidades do quadrante — as quatro cúspides do astroide. Normais da parábola e da cicloide: $\Delta = \kappa \neq 0$ , e $E' = R'N$ se anula exatamente onde a curvatura é extremal — cúspides das evolutas em $(0,1)$ e $(\pi, -2)$ . Cáustica: $\Delta = 2$ , e $E' = \tfrac32\sin\theta\,(\cos2\theta, \sin2\theta)$ se anula em $\theta = 0, \pi$ — as duas cúspides da nefroide, os pontos focais do espelho. Extremos de curvatura têm de produzir cúspides na envoltória das normais, pois a velocidade da evoluta é $R'N$ : é por isso que a evoluta da elipse tem quatro cúspides (quatro vértices), e as famílias degeneradas (feixe, paralelas) são os casos em que a máquina devolve um ponto ou nada.