O que é norma? — Matemática

Definição 5.1 Matemática universitária — Graduação 2 · Capítulo 5 — Espaços vetoriais normados

Uma norma em $E$ é uma aplicação $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ tal que, para todos $x, y \in E$ , $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Então $d(x, y) = \norm{x - y}$ é uma distância, e tudo o que está no Capítulo 4 se aplica. A desigualdade triangular invertida $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ torna a própria norma $1$ -lipschitziana; a adição e a multiplicação por escalar são contínuas (estimativas $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , etc.).

Exemplos

Exemplo 5.2

Em $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ é uma norma por Cauchy–Schwarz, volume do primeiro ano de graduação). Em $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

sendo as duas últimas normas graças à positividade estrita da integral e à desigualdade de Cauchy–Schwarz integral (volume do primeiro ano de graduação). Sobre matrizes: qualquer norma em $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; as normas de operador adiante são as estruturalmente importantes.

Exemplo 5.4 (Não equivalência em dimensão infinita)

Em $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ sempre, mas nenhuma cota recíproca vale: $f_n(x) = x^n$ tem $\norm{f_n}_\infty = 1$ e $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Logo $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ mas não para $\norm\cdot_\infty$ : as duas normas discordam sobre a própria convergência.

Exemplo 5.5 (Constantes explícitas em dimensão $n$ )

Em $K^n$ as três normas clássicas são equivalentes com constantes ótimas:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

vindo a cota do meio $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ de Cauchy–Schwarz contra o vetor de uns. Vetores extremais: $e_1$ torna as duas primeiras desigualdades igualdades, e $(1, 1, \dots, 1)$ as duas últimas. A dimensão $n$ aparece visivelmente nas constantes — a semente quantitativa do fracasso em dimensão infinita: quando $n \to \infty$ nenhuma constante uniforme sobrevive, que é exatamente o que o Exemplo 5.4 exibe em espaços de funções.

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Exemplos

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