O que é comutador? — Matemática

Definição 1.28 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 1 — Teoria dos grupos

O comutador de $x, y \in G$ é $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ; o subgrupo derivado $D(G)$ é o subgrupo gerado por todos os comutadores. A série derivada é $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ , e $G$ é solúvel se $D^n(G) = \{e\}$ para algum $n$ .

Exemplos

Exemplo 1.30

Os grupos abelianos são solúveis. Os $p$ -grupos são solúveis, por indução sobre a ordem: $Z(G) \neq \{e\}$ e $G/Z(G)$ é um $p$ -grupo menor. $S_3$ e $S_4$ são solúveis: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , onde $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ é o grupo de Klein das transposições duplas (normal em $S_4$ : uma reunião de classes de conjugação), com quocientes abelianos $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ . No Capítulo 4, “a equação geral de grau $n$ é solúvel por radicais” significará literalmente “ $S_n$ é um grupo solúvel”. Daí a importância da próxima definição.

Ler no capítulo →