ما معنى مبدل؟ — الرياضيات

تعريف 1.28 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 1 — نظرية الزمر

المبدِّل للعنصرين $x, y \in G$ هو $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ؛ والزمرة المشتقة $D(G)$ هي الزمرة الجزئية المولَّدة بجميع المبدِّلات. والسلسلة المشتقة هي $D^0(G) = G$ و $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ ، وتكون $G$ قابلة للحل إذا كان $D^n(G) = \{e\}$ من أجل $n$ ما.

أمثلة

مثال 1.30

الزمر الأبيلية قابلة للحل. و $p$ -الزمر قابلة للحل، بالتراجع على الرتبة: إذ $Z(G) \neq \{e\}$ وتكون $G/Z(G)$ $p$ -زمرة أصغر. و $S_3$ و $S_4$ قابلتان للحل: إذ $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ حيث $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ هي زمرة كلاين المؤلَّفة من المبادلات المزدوجة (وهي ناظمية في $S_4$ : لأنها اتحاد أصناف اقتران)، وزمر القسمة أبيلية وهي $\Z/2\Z$ و $\Z/3\Z$ و $V$ . وفي الفصل 4، ستعني عبارة «المعادلة العامة من الدرجة $n$ قابلة للحل بالجذور» حرفيًا أن « $S_n$ زمرة قابلة للحل». ومن هنا تأتي أهمية التعريف التالي.

اقرأ في الفصل ←