Qu'est-ce que « commutateur » ? — Mathématiques

Définition 1.28 Mathématiques universitaires — Licence 3 · Chapitre 1 — Théorie des groupes

Le commutateur de $x, y \in G$ est $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ; le sous-groupe dérivé $D(G)$ est le sous-groupe engendré par tous les commutateurs. La suite dérivée est $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ , et $G$ est résoluble si $D^n(G) = \{e\}$ pour un certain $n$ .

Exemples

Exemple 1.30

Les groupes abéliens sont résolubles. Les $p$ -groupes sont résolubles, par récurrence sur l’ordre : $Z(G) \neq \{e\}$ et $G/Z(G)$ est un $p$ -groupe plus petit. $S_3$ et $S_4$ sont résolubles : $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , où $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ est le groupe de Klein des doubles transpositions (normal dans $S_4$ : une réunion de classes de conjugaison), avec quotients abéliens $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ . Dans le Chapitre 4, « l’équation générale de degré $n$ est résoluble par radicaux » voudra littéralement dire « $S_n$ est un groupe résoluble ». D’où l’importance de la définition suivante.

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