Apa itu komutator? — Matematika

Definisi 1.28 Matematika Universitas — Tahun 3 · Bab 1 — Teori Grup

Yang disebut komutator dari $x, y \in G$ adalah $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ; subgrup komutator $D(G)$ adalah subgrup yang dibangun oleh semua komutator. Deret komutator adalah $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ , dan $G$ disebut terselesaikan jika $D^n(G) = \{e\}$ untuk suatu $n$ .

Contoh

Contoh 1.30

Grup abelian terselesaikan. Grup- $p$ terselesaikan, dengan induksi pada ordenya: $Z(G) \neq \{e\}$ dan $G/Z(G)$ adalah grup- $p$ yang lebih kecil. $S_3$ dan $S_4$ terselesaikan: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , dengan $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ adalah grup Klein yang terdiri atas transposisi ganda (normal di $S_4$ : ia gabungan kelas konjugasi), dan kuosien-kuosiennya abelian: $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ . Pada Bab 4, “persamaan umum berderajat $n$ terselesaikan dengan radikal” akan benar-benar berarti “ $S_n$ adalah grup terselesaikan”. Dari sinilah pentingnya definisi berikut.

Baca dalam konteks →