¿Qué es conmutador? — Matemáticas

Definición 1.28 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 1 — Teoría de grupos

El conmutador de $x, y \in G$ es $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ; el subgrupo derivado $D(G)$ es el subgrupo generado por todos los conmutadores. La serie derivada es $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ , y $G$ es resoluble si $D^n(G) = \{e\}$ para algún $n$ .

Ejemplos

Ejemplo 1.30

Los grupos abelianos son resolubles. Los $p$ -grupos son resolubles, por inducción sobre el orden: $Z(G) \neq \{e\}$ y $G/Z(G)$ es un $p$ -grupo más pequeño. $S_3$ y $S_4$ son resolubles: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , donde $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ es el grupo de Klein de las dobles trasposiciones (normal en $S_4$ : es una unión de clases de conjugación), con cocientes abelianos $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ . En el Capítulo 4, «la ecuación general de grado $n$ es resoluble por radicales» significará literalmente « $S_n$ es un grupo resoluble». De ahí la importancia de la definición siguiente.

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