Wat is commutator? — Wiskunde

Definitie 1.28 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 1 — Groepentheorie

De commutator van $x, y \in G$ is $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ; de afgeleide groep $D(G)$ is de deelgroep voortgebracht door alle commutatoren. De afgeleide reeks is $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ , en $G$ heet oplosbaar als $D^n(G) = \{e\}$ voor zekere $n$ .

Voorbeelden

Voorbeeld 1.30

Abelse groepen zijn oplosbaar. $p$ -groepen zijn oplosbaar, met inductie op de orde: $Z(G) \neq \{e\}$ en $G/Z(G)$ is een kleinere $p$ -groep. $S_3$ en $S_4$ zijn oplosbaar: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , waarbij $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ de viergroep van Klein van de dubbele transposities is (normaal in $S_4$ : een vereniging van conjugatieklassen), met abelse quotiënten $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ . In Hoofdstuk 4 zal “de algemene vergelijking van graad $n$ is oplosbaar door worteltrekking” letterlijk betekenen: “ $S_n$ is een oplosbare groep”. Vandaar het belang van de volgende definitie.

Lees in het hoofdstuk →