क्रमविनिमेयक क्या है? — गणित

परिभाषा 1.28 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 1 — समूह सिद्धांत

$x, y \in G$ का क्रमविनिमेयक $[x,y] = xyx^{-1}y^{-1}$ है; व्युत्पन्न उपसमूह $D(G)$ समस्त क्रमविनिमेयकों से जनित उपसमूह है। व्युत्पन्न श्रेणी $D^0(G) = G$ , $D^{i+1}(G) = D(D^i(G))$ है, और $G$ विलेय कहलाता है यदि किसी $n$ के लिए $D^n(G) = \{e\}$ हो।

उदाहरण

उदाहरण 1.30

आबेली समूह विलेय होते हैं। $p$ -समूह क्रम पर आगमन द्वारा विलेय होते हैं: $Z(G) \neq \{e\}$ और $G/Z(G)$ एक छोटा $p$ -समूह है। $S_3$ और $S_4$ विलेय हैं: $S_4 \trianglerighteq A_4 \trianglerighteq V \trianglerighteq \{e\}$ , जहाँ $V = \{e, (1\,2)(3\,4), (1\,3)(2\,4), (1\,4)(2\,3)\}$ द्विक स्थानांतरणों का क्लाइन समूह है ( $S_4$ में प्रसामान्य: वह संयुग्मन वर्गों का सम्मिलन है), और भागफल $\Z/2\Z$ , $\Z/3\Z$ , $V$ आबेली हैं। अध्याय 4 में “घात $n$ का व्यापक समीकरण मूलों द्वारा हल्य है” का शाब्दिक अर्थ ही होगा “ $S_n$ एक विलेय समूह है”। इसी से अगली परिभाषा का महत्त्व स्पष्ट होता है।

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