4Extensões de corpos e teoria de Galois

Demonstração. Geração: $x \in M$ escreve-se $x = \sum_j \lambda_jf_j$ ($\lambda_j \in L$), e cada $\lambda_j = \sum_i \mu_{ij}e_i$ ($\mu_{ij} \in K$): $x = \sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j$. Independência: $\sum_{i,j}\mu_{ij}e_if_j = 0$ reescreve-se como $\sum_j (\sum_i \mu_{ij}e_i)f_j = 0$; as somas internas estão em $L$, logo se anulam (os $f_j$ são independentes sobre $L$); e então todos os $\mu_{ij} = 0$ (os $e_i$ são independentes sobre $K$). ∎

Demonstração. A avaliação $K[X] \to L$, $P \mapsto P(\alpha)$, tem imagem $K[\alpha]$ e núcleo $(\pi_\alpha)$; como $\pi_\alpha$ é irredutível, $K[X]/(\pi_\alpha)$ é um corpo (Proposição 2.4: no DIP $K[X]$, um irredutível gera um ideal maximal), de modo que $K[\alpha]$ é um corpo contendo $K$ e $\alpha$: ele é igual a $K(\alpha)$. As classes de $1, X, \dots, X^{d-1}$ formam uma base do quociente (divisão euclidiana), donde a base e o grau. Reciprocamente, se $[L:K] = n < \infty$: os $1, \alpha, \dots, \alpha^n$ são dependentes, o que fornece um polinômio aniquilador; então $[K(\alpha):K] = \deg\pi_\alpha$ divide $n$ pela lei da torre. ∎

Demonstração. $K(\alpha, \beta) = (K(\alpha))(\beta)$ é finita sobre $K(\alpha)$ ($\beta$ é algébrico sobre $K \subseteq K(\alpha)$) e $K(\alpha)/K$ é finita: pela lei da torre, $[K(\alpha,\beta):K] < \infty$, e todo elemento de $K(\alpha, \beta)$ — inclusive os quatro listados — é algébrico (Teorema 4.4). Transitividade: se $\beta$ é algébrico sobre $L$ e $L/K$ é algébrica, os coeficientes $c_0, \dots, c_{m-1}$ de $\pi_{\beta/L}$ geram uma extensão finita $F = K(c_0, \dots, c_{m-1})$ de $K$ (lei da torre aplicada repetidamente), e $F(\beta)/F$ é finita: $[F(\beta):K] < \infty$, logo $\beta$ é algébrico sobre $K$. ∎

Demonstração. Existência, por indução sobre $\deg P$: escolha um fator irredutível $Q$ de $P$; o corpo $K_1 = K[X]/(Q)$ contém a raiz $\alpha_1 = \bar X$ de $Q$ e, portanto, de $P$; escreva $P = (X - \alpha_1)P_1$ sobre $K_1$ e aplique a indução a $P_1$ sobre $K_1$; os graus se multiplicam dando no máximo $n(n-1)\cdots = n!$.

A unicidade decorre do lema de extensão de isomorfismos, que é mais forte: seja $\sigma \colon K \to K'$ um isomorfismo, $P \in K[X]$, e seja $P^\sigma$ o polinômio de coeficientes transportados; sejam $L, L'$ corpos de decomposição de $P, P^\sigma$; então $\sigma$ se estende a um isomorfismo $L \to L'$. Indução sobre $[L:K]$: se $P$ se decompõe em $K$, então $L = K$ e $L' = K'$ ($P^\sigma$ se decompõe em $K'$, e $L'$ é gerado por suas raízes). Caso contrário, escolha uma raiz $\alpha \in L \setminus K$ de um fator irredutível $Q$ de $P$ com $\deg Q \geq 2$; $Q^\sigma$ é um fator irredutível de $P^\sigma$, com uma raiz $\beta \in L'$; então

estende $\sigma$ com $\alpha \mapsto \beta$. Ora, $L$ é um corpo de decomposição de $P$ sobre $K(\alpha)$, e $L'$ o é de $P^\sigma$ sobre $K'(\beta)$, com $[L : K(\alpha)] < [L:K]$: a indução estende ainda mais, até $L \to L'$. ∎

Demonstração. Existência (construção de Artin). Seja $R = K[(X_f)_f]$ o anel de polinômios com uma variável $X_f$ para cada $f \in K[X]$ mônico não constante, e seja $I$ o ideal gerado por todos os $f(X_f)$. O ideal $I$ é próprio: uma relação $1 = \sum_{i=1}^r g_i\, f_i(X_{f_i})$ envolve um número finito de polinômios; em um corpo de decomposição comum $E$ de $f_1\cdots f_r$, escolha raízes $\alpha_i$ de $f_i$ e avalie $X_{f_i} \mapsto \alpha_i$ (as demais variáveis em $\mapsto 0$): $1 = 0$, absurdo. Seja $\mathfrak m \supseteq I$ maximal (Teorema 2.8; Zorn) e ponha $K_1 = R/\mathfrak m$: uma extensão de corpos de $K$ em que todo $f \in K[X]$ não constante tem uma raiz, a saber $\bar X_f$, e que é algébrica sobre $K$ (ela é gerada pelos $\bar X_f$, cada um algébrico). Itere: $K \subseteq K_1 \subseteq K_2 \subseteq \cdots$, onde $K_{n+1}$ faz com $K_n$ o que $K_1$ fez com $K$, e ponha $\Omega = \bigcup_n K_n$, um corpo. Todo $g \in \Omega[X]$ não constante tem seus finitos coeficientes em algum $K_n$; um fator irredutível de $g$ sobre $K_n$ tem uma raiz em $K_{n+1} \subseteq \Omega$: $\Omega$ é algebricamente fechado, e é algébrico sobre $K$ (cada $K_n$ o é, por transitividade, Corolário 4.5): $\Omega$ é um fecho algébrico.

Unicidade. Sejam $\Omega, \Omega'$ dois fechos algébricos. Considere o conjunto dos pares $(E, \tau)$ em que $K \subseteq E \subseteq \Omega$ e $\tau\colon E \to \Omega'$ é um $K$-mergulho, ordenado por extensão; ele é não vazio ($(K, \mathrm{id})$) e indutivo (a reunião de uma cadeia), de modo que Zorn fornece um par maximal $(E_0, \tau_0)$. Se $E_0 \neq \Omega$, escolha $\alpha \in \Omega\setminus E_0$: $\pi_{\alpha/E_0}$ é levado em um polinômio sobre $\tau_0(E_0)$ que tem uma raiz $\beta$ no corpo algebricamente fechado $\Omega'$, e $\tau_0$ se estende a $E_0(\alpha) \to \Omega'$ ($\alpha \mapsto \beta$), contradizendo a maximalidade. Existe, portanto, um $K$-mergulho $\tau \colon \Omega \to \Omega'$; sua imagem, isomorfa a $\Omega$, é algebricamente fechada, e $\Omega'$ é algébrico sobre ela: para $x \in \Omega'$, $\pi_{x/\tau(\Omega)}$ se decompõe sobre $\tau(\Omega)$, logo $x \in \tau(\Omega)$. Assim $\tau$ é sobrejetor: é um isomorfismo. ∎

Demonstração. (1) Um corpo finito $E$ tem característica $p > 0$ e é um $\mathbb F_p$-espaço vetorial de dimensão finita: $\abs E = p^n$. Seu grupo multiplicativo tem ordem $q - 1$, de modo que todo $x \in E$ satisfaz $x^q = x$: $E$ é formado por $q$ raízes de $X^q - X$ e, portanto, é um corpo de decomposição desse polinômio sobre $\mathbb F_p$ — o que determina $E$ a menos de isomorfismo (Teorema 4.7). Reciprocamente, em um corpo de decomposição $L$ de $X^q - X$, o conjunto $E$ de suas raízes é um subcorpo: $(x + y)^q = x^q + y^q$ iterando o sonho do calouro $(a+b)^p = a^p + b^p$ ($p \mid \binom pk$), e $(xy)^q = x^qy^q$, $(x^{-1})^q = (x^q)^{-1}$; ele tem exatamente $q$ elementos, pois $X^q - X$ é separável: sua derivada é $qX^{q-1} - 1 = -1$ (já que $p \mid q$), coprima com ele, de modo que não há raízes múltiplas. Assim $L = E$ tem $q$ elementos.

(2) $F$ é um morfismo de corpos (sonho do calouro), injetor (são corpos) e, portanto, bijetor no conjunto finito $\mathbb F_q$. Tem-se $F^n = \mathrm{id}$ ($x^q = x$), e nenhuma potência menor é a identidade: $F^m = \mathrm{id}$ significaria que todos os $q$ elementos são raízes de $X^{p^m} - X$, o que força $p^m \geq q$. Logo $\langle F\rangle$ é cíclico de ordem $n$; e não há outros automorfismos, pela cota $\abs{\operatorname{Aut}} \leq [\,\mathbb F_q : \mathbb F_p\,] = n$ demonstrada adiante (Proposição 4.16 com $L = \mathbb F_q$, $K = \mathbb F_p$: os automorfismos fixam o corpo primo).

(3) Se $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$, a lei da torre dá $p^n = (p^m)^d$: $m \mid n$. Reciprocamente, se $m \mid n$, então $p^m - 1 \mid p^n - 1$ (soma geométrica), de modo que $X^{p^m} - X$ divide $X^{p^n} - X$ (mesmo argumento nos expoentes: $X^{a} - 1 \mid X^{b} - 1$ quando $a \mid b$), e as raízes do primeiro dentro de $\mathbb F_{p^n}$ formam o subcorpo procurado, de cardinalidade $p^m$ (separabilidade como em (1)). ∎

Demonstração. Seja $G \leq K^\times$ finito. Pelo teorema de estrutura (Corolário 3.13), $G \cong \Z/d_1 \times \dots \times \Z/d_s$ com $d_1 \mid \dots \mid d_s$. Todo $x \in G$ satisfaz então $x^{d_s} = 1$; mas $X^{d_s} - 1$ tem no máximo $d_s$ raízes no corpo $K$: $\abs G = d_1\cdots d_s \leq d_s$, o que força $s = 1$: $G$ é cíclico. ∎

Demonstração. $\gcd(P, P')$ divide $P$; se não for $1$, a irredutibilidade força $\gcd = P$ (a menos de uma constante), de modo que $P \mid P'$ com $\deg P' < \deg P$: $P' = 0$. Escrevendo $P = \sum a_kX^k$: $ka_k = 0$ para todo $k$, logo em característica $0$ o polinômio $P$ é constante (excluído); em característica $p$, $a_k = 0$ a menos que $p \mid k$: $P = Q(X^p)$. Sobre um corpo finito, todo elemento é uma $p$-ésima potência (o Frobenius é sobrejetor), de modo que $Q(X^p) = \sum b_k^p X^{pk} = (\sum b_kX^k)^p$ não é irredutível: ali tampouco pode ocorrer $P' = 0$ para $P$ irredutível. ∎

Demonstração. Indução sobre $[L:K]$ por etapas simples. Para $L = K(\alpha)$: uma extensão $\tau$ fica determinada por $\tau(\alpha)$, que deve ser uma raiz em $\Omega$ de $\pi_\alpha^\sigma$; reciprocamente, cada uma dessas raízes dá uma extensão ($K(\alpha) \cong K[X]/(\pi_\alpha)$). O número de extensões é o número de raízes distintas de $\pi_\alpha^\sigma$ em $\Omega$: no máximo $\deg\pi_\alpha = [K(\alpha):K]$, com igualdade se, e somente se, $\pi_\alpha$ é separável (a separabilidade de $\pi^\sigma$ e a de $\pi$ coincidem: o mdc com a derivada é preservado por $\sigma$). No caso geral, fatore $L = K(\alpha_1)(\alpha_2, \dots)$: as extensões de $\sigma$ a $K(\alpha_1)$ são em número de $\leq [K(\alpha_1):K]$, e cada uma se estende de $\leq [L : K(\alpha_1)]$ maneiras, por indução; multiplique (lei da torre). No caso separável, ambas as contagens são igualdades: os polinômios minimais sobre o corpo maior $K(\alpha_1)$ dividem os de sobre $K$ e, portanto, permanecem separáveis. ∎

Demonstração. Se $K$ é finito, $L$ também é, e um gerador $\gamma$ do grupo cíclico $L^\times$ (Teorema 4.12) resolve. Seja $K$ infinito; por indução, basta tratar $L = K(\alpha, \beta)$. Seja $n = [L:K]$; pela Proposição 4.16 há $n$ $K$-mergulhos distintos $\sigma_1, \dots, \sigma_n \colon L \to \Omega$ (com $\Omega$ um fecho algébrico). O polinômio

não é identicamente nulo: um fator se anula identicamente somente se $\sigma_i, \sigma_j$ coincidem tanto em $\alpha$ quanto em $\beta$ e, portanto, em $L$ — excluído para $i \neq j$. Como $K$ é infinito, escolha $c \in K$ com $D(c) \ne 0$: então os $n$ elementos $\sigma_i(\alpha + c\beta)$ são dois a dois distintos, de modo que $\gamma = \alpha + c\beta$ tem ao menos $n$ conjugados distintos em $\Omega$, isto é, $\deg \pi_\gamma \geq n$: $[K(\gamma):K] \geq n = [L:K]$ força $L = K(\gamma)$. ∎

Demonstração. Seja $L$ o corpo de decomposição do polinômio separável $P$ sobre $K$, e fixe um fecho algébrico $\Omega \supseteq L$. A extensão $L/K$ é separável: ela é gerada por raízes de $P$; a separabilidade de cada elemento decorre do caso de igualdade abaixo, mas argumentemos diretamente — a Proposição 4.16 aplicada aos geradores (raízes do polinômio separável $P$, cujos polinômios minimais dividem $P$) fornece exatamente $[L:K]$ extensões de $K \hookrightarrow \Omega$ (na etapa indutiva, o polinômio minimal de uma raiz de $P$ sobre um corpo intermediário ainda divide $P$ e, portanto, é separável). Cada um desses mergulhos $\tau \colon L \to \Omega$ permuta as raízes de $P$ ($\tau$ fixa os coeficientes), e $L$ é gerado por elas: $\tau(L) = L$. Logo mergulhos $=$ automorfismos: $\abs{\operatorname{Gal}(L/K)} = [L:K]$. Para $F$ intermediário: $L$ é também o corpo de decomposição de $P$ sobre $F$, e $P$ continua separável: $L/F$ é de Galois; o mesmo argumento dá a normalidade sobre $F$. ∎

Demonstração. Sejam $n = \abs G$, $G = \{\sigma_1, \dots, \sigma_n\}$, e suponha que $x_1, \dots, x_{n+1} \in L$ sejam linearmente independentes sobre $K$. O sistema linear homogêneo de $n$ equações nas $n+1$ incógnitas $(c_j)$ sobre $L$,

tem solução não nula; escolha uma com o menor número de entradas não nulas, digamos $c_1, \dots, c_r \neq 0$ (renumerando), $r \geq 2$ (um único $c_j\sigma_i(x_j) = 0$ é impossível), normalizada por $c_r = 1$. Nem todos os $c_j$ estão em $K$: a equação relativa a $\sigma_i = \mathrm{id}$ contradiria a independência; digamos $c_1 \notin K$, de modo que $\tau(c_1) \ne c_1$ para algum $\tau \in G$. Aplique $\tau$ a todas as equações: como $\tau\sigma_i$ percorre $G$, o vetor $(\tau(c_j))_j$ é outra solução; subtraindo, $(c_j - \tau(c_j))_j$ é uma solução com menos entradas não nulas (a $r$-ésima entrada, $1 - 1 = 0$, se anula, e a primeira não) e não nula: contradição. Portanto, quaisquer $n+1$ elementos são dependentes: $[L:K] \leq n$. ∎

Demonstração. (1) É claro que $K \subseteq L^G$. Reciprocamente, seja $\alpha \in L \setminus K$; exibimos $\sigma \in G$ com $\sigma(\alpha) \ne \alpha$. O polinômio minimal $\pi_\alpha$ sobre $K$ tem grau $\geq 2$ e é separável ($L/K$ é separável, Proposição 4.19), de modo que tem outra raiz $\beta \neq \alpha$ em um fecho algébrico $\Omega \supseteq L$. Estenda o $K$-mergulho $K(\alpha) \to \Omega$, $\alpha \mapsto \beta$, a um mergulho $\tau\colon L \to \Omega$ (Proposição 4.16); por normalidade (Proposição 4.19), $\tau(L) = L$, logo $\tau \in G$, $\beta = \tau(\alpha) \in L$ e $\tau(\alpha) \neq \alpha$.

(2) Para um subgrupo $H$: $L/L^H$ é de Galois (Proposição 4.19), e $\operatorname{Gal}(L/L^H) \supseteq H$ trivialmente, logo $[L:L^H] = \abs{\operatorname{Gal}(L/L^H)} \geq \abs H$; o lema de Artin dá $[L:L^H] \leq \abs H$: há igualdade, e $\operatorname{Gal}(L/L^H) = H$. Para um corpo intermediário $F$: sendo $L/F$ de Galois, (1) aplicado a $L/F$ dá $L^{\operatorname{Gal}(L/F)} = F$. As duas aplicações são mutuamente inversas; que invertem inclusões é evidente. Graus: $[L:L^H] = \abs H$ acabou de ser demonstrado, e $[L^H:K] = [L:K]/[L:L^H] = \abs G/\abs H$.

(3) Para $\sigma \in G$ e $H \leq G$: $\sigma(L^H) = L^{\sigma H\sigma^{-1}}$ (verificação direta). Pela bijeção, $\sigma(L^H) = L^H$ para todo $\sigma$ se, e somente se, $H \trianglelefteq G$. Ora, se $H \trianglelefteq G$, ponha $F = L^H$: todo $\sigma \in G$ se restringe a um automorfismo de $F$, o que dá um morfismo $\rho \colon G \to \operatorname{Aut}_K(F)$ de núcleo $\{\sigma : \sigma\restriction_F = \mathrm{id}\} = \operatorname{Gal}(L/F) = H$. Logo $G/H$ mergulha em $\operatorname{Aut}_K(F)$, donde $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} \geq [G:H] = [F:K]$; a desigualdade inversa vale sempre (Proposição 4.16): $\abs{\operatorname{Aut}_K(F)} = [F:K]$ e $\rho$ é sobrejetor. Resta ver que $F/K$ é de Galois: $F$ é separável sobre $K$ (por estar dentro da extensão separável $L/K$) e $F = K(\gamma)$ (Teorema 4.17); o polinômio $\prod_{\sigma \in G/H}\bigl(X - \sigma(\gamma)\bigr)$ (produto sobre as imagens distintas, que estão em $F$: $\sigma(F) = L^{\sigma H\sigma^{-1}} = L^H = F$ pela normalidade de $H$) tem coeficientes fixados por $G$ e, portanto, em $K$, por (1): trata-se de um polinômio separável de $K[X]$ decomposto por $F$, cujas raízes geram $F$: $F/K$ é de Galois. Reciprocamente, se $F = L^H$ com $F/K$ de Galois, a normalidade de $F$ (Proposição 4.19, aplicada aos mergulhos $F \to \Omega$ restritos de elementos de $G$) dá $\sigma(F) = F$ para todo $\sigma \in G$, isto é, $H \trianglelefteq G$. ∎

Demonstração. Seja $f = \pi_{\zeta_n}$, de modo que $\Phi_n = fg$ com $f, g \in \Z[X]$ mônicos (lema de Gauss, Lema 2.23: os conteúdos se multiplicam e todos os polinômios são mônicos). Afirmação: se $\zeta$ é raiz de $f$ e $p \nmid n$ é primo, então $\zeta^p$ é raiz de $f$. Caso contrário, $\zeta^p$ é raiz de $g$ (é uma raiz $n$-ésima primitiva da unidade), de modo que $\zeta$ é raiz de $g(X^p)$ e $f \mid g(X^p)$ em $\Z[X]$ (polinômio minimal e, de novo, Gauss). Reduza módulo $p$: $\bar g(X^p) = \bar g(X)^p$ (Frobenius em $\mathbb F_p[X]$: coeficiente a coeficiente $a^p = a$, mais o sonho do calouro), logo $\bar f \mid \bar g^{\,p}$: $\bar f$ e $\bar g$ compartilham um fator irredutível, e $\bar\Phi_n = \bar f\bar g$ tem um fator repetido. Então $X^n - \bar 1$ também tem; mas sua derivada $\bar nX^{n-1}$ é coprima com ele ($p \nmid n$, e $0$ não é raiz): contradição.

Toda raiz primitiva $\zeta_n^k$ ($\gcd(k, n) = 1$) é obtida a partir de $\zeta_n$ por potências sucessivas de primos que não dividem $n$ (fatore $k$): a afirmação se propaga, de modo que toda raiz primitiva é raiz de $f$: $f = \Phi_n$, irredutível. Consequentemente, $[\Q(\zeta_n):\Q] = \varphi(n)$, e $\Q(\zeta_n)$ é o corpo de decomposição do polinômio separável $X^n - 1$ (todas as raízes são potências de $\zeta_n$): é de Galois. Um automorfismo $\sigma$ leva $\zeta_n$ em outra raiz primitiva $\zeta_n^{a(\sigma)}$, e $\sigma \mapsto a(\sigma)$ é um morfismo injetor em $(\Z/n\Z)^\times$; ambos os grupos têm ordem $\varphi(n)$: é um isomorfismo. ∎

Demonstração. ($\Rightarrow$) As coordenadas da interseção de duas retas que passam por pontos de coordenadas em um subcorpo $F \subseteq \R$ resolvem um sistema linear sobre $F$: elas permanecem em $F$. As interseções reta–círculo e círculo–círculo levam, depois de eliminada a parte linear (subtrair as duas equações dos círculos dá uma reta), a uma equação quadrática sobre $F$: as novas coordenadas estão em $F$ ou em $F(\sqrt d)$ para algum $d \in F$, $d > 0$. Por indução, todo ponto construído tem coordenadas em uma torre de extensões quadráticas de $\Q$; e $z = x + \iu y$ também está em uma torre quadrática (adjunte $\iu$: mais uma etapa quadrática). A consequência sobre o grau: $[\Q(z):\Q]$ divide $[F_r : \Q] = 2^r$ (lei da torre).

($\Leftarrow$) Os números construtíveis formam um corpo: somas e diferenças por paralelogramos (as paralelas são construtíveis: baixe e levante perpendiculares duas vezes — a perpendicular clássica por um ponto usa um círculo e dois arcos); produtos e quocientes pelas configurações de Tales (dados os comprimentos $a, b$, construa $ab$ e $a/b$ com triângulos semelhantes sobre duas semirretas). E o corpo é fechado por raízes quadradas: para $a > 0$, o círculo de diâmetro $1 + a$ e a perpendicular no ponto de junção encontram-se à altura $\sqrt a$ (relação da média geométrica em um triângulo retângulo); para um $w = \rho\eu^{\iu\theta}$ complexo, construa $\sqrt\rho$ e bissecte $\theta$ (a bissecção de ângulo é uma construção com compasso). As partes real e imaginária dos elementos de uma torre quadrática são, portanto, construtíveis, por indução sobre a torre: cada etapa adjunge raízes de uma quadrática, exprimíveis por operações de corpo e uma raiz quadrada de um número já construído (fórmula quadrática; em característica $0$). ∎