Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

12Topologia da Reta Real

Os limites remetem sempre ao mesmo vocabulário geométrico: pontos “próximos de” um conjunto, conjuntos “sem vazamentos pela fronteira”, intervalos dos quais as sequências não conseguem escapar. Este capítulo fixa esse vocabulário — conjuntos abertos e fechados, interior e fecho, densidade — na reta real, e demonstra a compacidade dos segmentos na sua forma sequencial. As mesmas noções, em espaços vetoriais normados, são matéria do segundo ano; em $\R$ elas estão ao alcance e são imediatamente úteis para o Capítulo 13.

12.1 Conjuntos abertos, conjuntos fechados

Definição 12.1 (Vizinhança, conjunto aberto)

Um conjunto $V \subseteq \R$ é uma vizinhança de $x \in \R$ quando contém um intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ para algum $r > 0$ . Um conjunto $U \subseteq \R$ é aberto quando é vizinhança de cada um dos seus pontos:

\forall x \in U,\ \exists r > 0, \quad \intoo{x - r}{x + r} \subseteq U .

Exemplo 12.2

Os intervalos abertos são abertos: para $x \in \intoo{a}{b}$ , tome $r = \min(x - a,\, b - x) > 0$ . As semirretas $\intoo{a}{+\infty}$ são abertas; $\R$ e $\emptyset$ são abertos (o último por vacuidade). $\intcc{0}{1}$ não é aberto: nenhum intervalo em torno de $0$ permanece dentro.

Proposição 12.3 (Estabilidade dos abertos)

Toda união de abertos é aberta; uma interseção finita de abertos é aberta. Interseções infinitas podem falhar: $\bigcap_{n \geq 1} \intoo{-\frac 1n}{\frac 1n} = \{0\}$ , que não é aberto.

Demonstração. União: se $x \in \bigcup_i U_i$ , então $x \in U_{i_0}$ para algum $i_0$ , e o intervalo fornecido por $U_{i_0}$ cabe dentro da união. Interseção finita: se $x \in U_1 \cap \dots \cap U_k$ , tome $r = \min(r_1, \dots, r_k) > 0$ dos raios fornecidos por cada $U_j$ . Para o contraexemplo: todo intervalo em torno de $0$ contém algum $\frac{1}{n}$ (Arquimedes) e, portanto, sai da interseção. ∎

Exemplo 12.4 (Certificando a abertura com raios explícitos)

O conjunto $U = \{x \in \R : x^2 > 2\}$ é aberto? Sim, e o certificado pode ser escrito: $U = \intoo{-\infty}{-\sqrt2} \cup \intoo{\sqrt2}{+\infty}$ , uma união de duas semirretas abertas, aberta pela Proposição 12.3. Alternativamente, argumente ponto a ponto: para $x \in U$ com $x > \sqrt 2$ , tome $r = x - \sqrt2 > 0$ : todo $y \in \intoo{x - r}{x + r}$ satisfaz $y > \sqrt 2$ , logo $y^2 > 2$ ; simetricamente à esquerda. Os dois estilos importam — o estrutural (construir a partir de abertos conhecidos por uniões e interseções finitas) escala melhor, e o estilo $\varepsilon$ funciona quando nenhuma estrutura é visível; e o Capítulo 13 acrescentará um terceiro, o mais poderoso: $U$ é a pré-imagem do aberto $\intoo{2}{+\infty}$ pela aplicação contínua $x \mapsto x^2$ .

Definição 12.5 (Conjunto fechado)

Um conjunto $F \subseteq \R$ é fechado quando o seu complementar $\R \setminus F$ é aberto. Por de Morgan e pela Proposição 12.3: toda interseção de fechados é fechada, e uniões finitas de fechados são fechadas.

Teorema 12.6 (Caracterização sequencial dos fechados)

$F$ é fechado se, e somente se: para toda sequência $(u_n)$ de pontos de $F$ que converge para algum $\ell \in \R$ , o limite $\ell$ pertence a $F$ . (“Fechado” $=$ “estável por limites”.)

Demonstração. ( $\Rightarrow$ ) Seja $F$ fechado, $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ , e suponha $\ell \notin F$ . O complementar é aberto: algum $\intoo{\ell - r}{\ell + r}$ evita $F$ . Mas a convergência põe $u_n$ nesse intervalo para $n$ grande: contradição com $u_n \in F$ .

( $\Leftarrow$ ) Suponha que $F$ não seja fechado: o complementar não é aberto, de modo que algum $x \notin F$ não tem intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ dentro do complementar; tomando $r = \frac{1}{n+1}$ , escolha $u_n \in F$ com $\abs{u_n - x} < \frac{1}{n+1}$ . Então $u_n \in F$ , $u_n \to x \notin F$ : a propriedade sequencial falha. ∎

Exemplo 12.7 (O teste sequencial, nos dois sentidos)

Fechado: $F = \Z \cup \bigl\{n + \frac1n : n \geq 2\bigr\}$ . Seja $u_k \in F$ com $u_k \to \ell$ . A janela $\intcc{\ell - 1}{\ell + 1}$ contém apenas finitos pontos de $F$ (finitos inteiros, finitos $n + \frac1n$ ), e, a partir de certo posto, todos os $u_k$ estão nela: a sequência assume então finitos valores e, convergindo, é constante a partir de certo ponto (como no Exercício 12.3): $\ell \in F$ . Fechado — embora $F$ contenha pares de pontos a distância $\frac1n$ , arbitrariamente próximos.

Não fechado: $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ . A sequência $\frac1n + \frac1n \in G$ tende a $0$ , e $0 \notin G$ (soma de dois termos positivos): o teste sequencial falha, e $G$ não é fechado. Curiosamente, cada $\frac1m$ pertence a $\overline G \cap G$ : com efeito, $\frac1m = \frac{1}{m+1} + \frac{1}{m(m+1)} \in G$ . A ideia de fechamento: para demonstrar que um conjunto é fechado, controle todas as sequências convergentes de uma vez (em geral por finitude local ou por um argumento de fórmula fechada); para refutá-lo, basta uma sequência de fuga bem escolhida — a assimetria torna a direção negativa a fácil, e os contraexemplos deste capítulo têm todos essa forma de uma linha.

Exemplo 12.8

Os segmentos $\intcc{a}{b}$ , as semirretas $\intco{a}{+\infty}$ , os conjuntos finitos e $\Z$ (uma sequência convergente de inteiros é constante a partir de certo ponto) são fechados. $\intoc{0}{1}$ não é aberto (falha em $1$ ) nem fechado ( $\frac 1n \to 0 \notin$ do conjunto): a maioria dos conjuntos não é nem uma coisa nem outra. $\R$ e $\emptyset$ são ao mesmo tempo abertos e fechados — e são os únicos subconjuntos de $\R$ assim (Exercício 12.9).

Exemplo 12.9 (Um aberto montado a partir de infinitas peças)

$\R \setminus \Z = \bigcup_{n \in \Z} \intoo{n}{n+1}$ : uma união infinita de intervalos abertos, aberta pela Proposição 12.3 — de modo que $\Z$ é fechado sem necessidade de argumento sequencial algum. Note a divisão de trabalho nas regras de estabilidade: as uniões de abertos podem ser arbitrárias (cada ponto só precisa do seu próprio certificado, fornecido pelo único conjunto que o contém), ao passo que as interseções devem permanecer finitas (os certificados têm de ser interceptados, e infinitos raios podem encolher a nada). O Exercício 12.10 mostrará que este exemplo é a forma geral: todo subconjunto aberto de $\R$ é uma união enumerável e disjunta de intervalos abertos.

12.2 Interior, fecho, densidade

Definição 12.10 (Interior, fecho, fronteira)

Seja $A \subseteq \R$ .

Um ponto $x$ é interior a $A$ quando $A$ é uma vizinhança de $x$ ; o interior $\mathring{A}$ é o conjunto dos pontos interiores.
Um ponto $x$ é aderente a $A$ quando toda vizinhança de $x$ encontra $A$ ; o fecho $\overline{A}$ é o conjunto dos pontos aderentes.
A fronteira é $\partial A = \overline A \setminus \mathring A$ .

Então $\mathring A \subseteq A \subseteq \overline A$ .

Proposição 12.11 (Propriedades principais)

$\mathring A$ é o maior aberto contido em $A$ ; $A$ é aberto se, e somente se, $A = \mathring A$ .
$\overline A$ é o menor fechado que contém $A$ ; $A$ é fechado se, e somente se, $A = \overline A$ .
(Caracterização sequencial da aderência) $x \in \overline A$ se, e somente se, $x$ é limite de uma sequência de pontos de $A$ .
A complementação troca as noções: $\R \setminus \overline A = \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ}$ .

Demonstração. (4) $x \notin \overline A$ $\iff$ alguma vizinhança de $x$ evita $A$ $\iff$ algum intervalo em torno de $x$ está em $\R \setminus A$ $\iff$ $x$ é interior a $\R \setminus A$ .

(1) $\mathring A$ é aberto: se $x \in \mathring A$ , algum $\intoo{x-r}{x+r} \subseteq A$ ; todo ponto $y$ desse intervalo tem um intervalo menor em torno de si dentro dele, logo dentro de $A$ : o intervalo inteiro está em $\mathring A$ . Todo aberto $U \subseteq A$ é formado por pontos interiores de $A$ , de modo que $U \subseteq \mathring A$ : é o maior. A caracterização da abertura decorre daí.

(2) Em detalhe. Por (4), $\R \setminus \overline A$ é o interior de $\R \setminus A$ , um aberto por (1): logo, $\overline A$ é fechado, e contém $A$ . Minimalidade: seja $F \supseteq A$ fechado. Então $\R \setminus F$ é aberto e está contido em $\R \setminus A$ , de modo que, pela maximalidade em (1),

\R \setminus F \subseteq \bigl(\R \setminus A\bigr)^{\!\circ} = \R \setminus \overline A ,

e, tomando complementares de novo: $\overline A \subseteq F$ . Assim, $\overline A$ é o menor fechado que contém $A$ . Caracterização: se $A = \overline A$ , então $A$ é fechado (acabamos de ver); se $A$ é fechado, ele próprio é um fechado que contém $A$ , de modo que a minimalidade força $\overline A \subseteq A$ , e daí a igualdade.

(3) Se $u_n \in A$ , $u_n \to x$ : toda vizinhança de $x$ contém algum $u_n \in A$ , de sorte que $x \in \overline A$ . Reciprocamente, se $x \in \overline A$ : cada intervalo $\intoo{x - \frac{1}{n+1}}{x + \frac{1}{n+1}}$ encontra $A$ em algum $u_n$ , e $u_n \to x$ . ∎

Exemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$ . Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A \cup \{0\}$ , $\mathring A = \emptyset$ , $\partial A = A \cup \{0\}$ . Para $\Q$ : pela densidade (Teorema 10.14), todo real é aderente a $\Q$ , de modo que $\overline{\Q} = \R$ , ao passo que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo intervalo contém irracionais): a fronteira de $\Q$ é todo o $\R$ .

Exemplo 12.13 (Uma anatomia completa)

Seja $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$ . Calculamos os três conjuntos da Definição 12.10, peça por peça.

Interior. Um ponto de $\intoo{0}{1}$ tem um intervalo inteiro dentro de $A$ : é interior. O ponto $1$ : todo intervalo em torno dele vaza à direita de $1$ , onde $A$ nada tem até $2$ : não é interior. Nenhum ponto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ é interior (todo intervalo contém irracionais, Teorema 10.14); nem o ponto isolado $4$ . Logo, $\mathring A = \intoo{0}{1}$ .

Fecho. Limites de pontos de $A$ : todo $\intcc{0}{1}$ ( $0 = \lim \frac1n$ , com $\frac 1n \in A$ ); todo $\intcc{2}{3}$ (todo real ali é limite de racionais do intervalo, densidade de novo); e $4$ . Nada mais: um ponto fora de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ tem distância positiva a esse conjunto fechado. Logo, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

Fronteira. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ .

A ideia de fechamento: as três operações agem localmente — cada peça de $A$ contribui conforme a sua própria natureza (um intervalo maciço guarda o seu interior, uma peça densa mas porosa se transforma inteiramente em fronteira, e um ponto isolado é pura fronteira) — e um desenho de duas linhas de $A$ prevê todas as respostas antes de escrita qualquer demonstração.

Observação 12.14 (Armadilhas frequentes no raciocínio conjuntista)

(i) “Não aberto” não significa “fechado”: a maioria dos conjuntos não é nem uma coisa nem outra ( $\intoc{0}{1}$ ), e dois conjuntos são as duas coisas ( $\emptyset$ , $\R$ ) — aberto e fechado não são opostos, e sim duais por complementação. (ii) Interior e fecho não comutam: para $A = \Q$ ,

\overline{\mathring A} = \overline\emptyset = \emptyset \qquad\text{ao passo que}\qquad \bigl(\,\overline A\,\bigr)^{\!\circ} = \mathring \R = \R :

os dois operadores iterados diferem o máximo que conjuntos podem diferir. (iii) Uniões infinitas de fechados podem falhar em ser fechadas: $\bigcup_{n\geq1} \intcc{\frac1n}{1} = \intoc{0}{1}$ — o espelho do contraexemplo da interseção da Proposição 12.3. (iv) Denso não significa grande: $\Q$ é denso, enumerável, de interior vazio, e o seu complementar também é denso; a densidade diz “arbitrariamente perto de tudo”, e não “quase tudo” — o conjunto de Cantor do problema de fim de semana (Problema 12.1) faz o ponto oposto: um conjunto topologicamente pequeno que é imenso em cardinalidade.

Exemplo 12.15 (Um fecho calculado exatamente)

Seja $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (do Exemplo 12.7). Afirmação:

\overline G = G \,\cup\, \Bigl\{\frac1m : m \in \N^*\Bigr\} \,\cup\, \{0\} .

( $\supseteq$ ) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ e $0 = \lim_n \frac2n$ : aderentes, pela caracterização sequencial. ( $\subseteq$ ) Seja $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; ordene cada par de modo que $m_k \leq n_k$ . Se $(m_k)$ é ilimitada, uma subsequência tem $m_k \to \infty$ , donde $n_k \to \infty$ também, e $x = 0$ . Caso contrário, $(m_k)$ assume finitos valores, um deles, digamos $m$ , infinitas vezes; ao longo dessa subsequência, $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : se $(n_k)$ é limitada, ela assume algum valor $n$ infinitas vezes e $x = \frac1m + \frac1n \in G$ ; se não, $x = \frac1m$ . Todos os casos caem no conjunto anunciado. A ideia de fechamento: calcular um fecho é uma análise de casos ao estilo da compacidade sobre os índices — índice limitado significa finitos valores (casa dos pombos), índice ilimitado significa um limite que escapa — e a resposta exibe a típica estrutura em duas camadas dos pontos-limite: o conjunto, os seus limites de primeira geração e o limite deles, $0$ .

Definição 12.16 (Densidade, forma topológica)

$A$ é denso em $\R$ quando $\overline A = \R$ — equivalentemente, todo intervalo aberto não vazio encontra $A$ ; equivalentemente (pela Proposição 12.11 (3)), todo real é limite de elementos de $A$ . Exemplos: $\Q$ , $\R \setminus \Q$ , os diádicos (Exercício 10.8), os subgrupos densos (Exercício 10.9).

Exemplo 12.17 (A densidade é relativa)

“Denso”, como definido aqui, significa denso em $\R$ ; um conjunto pode, em vez disso, ser denso apenas numa parte da reta. Os diádicos de $\intcc{0}{1}$ , isto é, $D \cap \intcc{0}{1}$ (Exercício 10.8), encontram todo intervalo aberto contido em $\intcc{0}{1}$ , mas evidentemente não tocam $\intoo{2}{3}$ : eles são densos em $\intcc{0}{1}$ , o que significa $\overline{D \cap \intcc{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ . A expressão geral “ $A$ é denso em $B$ ” abrevia $B \subseteq \overline A$ — nomeie sempre o conjunto ambiente, pois os extremos do problema de fim de semana são densos no conjunto de Cantor, sendo nunca densos em $\R$ : o mesmo conjunto, duas descrições verdadeiras e de som oposto.

Exemplo 12.18 (Manejando a densidade)

Três movimentos rápidos que recorrem constantemente. Ampliar: se $A$ é denso e $A \subseteq B$ , então $B$ é denso (todo intervalo já encontra $A$ ). Transportar: se $A$ é denso, então $\lambda A + \mu$ também o é, para $\lambda \neq 0$ — um intervalo $I$ encontra $\lambda A + \mu$ se, e somente se, o intervalo $\frac{I - \mu}{\lambda}$ encontra $A$ ; assim, os múltiplos ímpares de $10^{-9}$ , digamos, são densos. Interceptar falha: dois conjuntos densos podem não se tocar ( $\Q$ e $\R \setminus \Q$ ): a densidade sobrevive a uniões e a aplicações afins, jamais a interseções.

12.3 Compacidade dos segmentos

Teorema 12.19 (Os segmentos são sequencialmente compactos)

Seja $a \leq b$ . Toda sequência de pontos de $\intcc{a}{b}$ tem uma subsequência que converge para um ponto de $\intcc{a}{b}$ .

Mais geralmente, os subconjuntos de $\R$ com essa propriedade (toda sequência tem uma subsequência que converge no conjunto) são exatamente os conjuntos fechados e limitados.

Demonstração. Uma sequência em $\intcc{a}{b}$ é limitada, de modo que Bolzano–Weierstrass (Teorema 11.16) extrai uma subsequência convergente; o seu limite permanece em $\intcc{a}{b}$ , pois os segmentos são fechados (Teorema 12.6).

Caso geral. (Fechado e limitado $\Rightarrow$ compacto): sejam $F$ fechado e limitado e $(u_n)$ uma sequência em $F$ . A limitação de $F$ limita a sequência, de modo que Bolzano–Weierstrass extrai $u_{\varphi(n)} \to \ell$ ; e $\ell \in F$ , pois $F$ é fechado e a subsequência é uma sequência convergente de pontos de $F$ (Teorema 12.6): as duas hipóteses são consumidas uma a uma, a limitação para a existência do limite e o fechamento para a sua pertinência. (Compacto $\Rightarrow$ fechado e limitado): se $F$ é ilimitado, tome $u_n \in F$ com $\abs{u_n} \geq n$ ; toda subsequência é ilimitada e, portanto, divergente (Proposição 11.4): nenhuma subsequência convergente. Se $F$ não é fechado, tome $u_n \in F$ com $u_n \to \ell \notin F$ (Teorema 12.6): toda subsequência converge para $\ell \notin F$ , de modo que subsequência alguma converge em $F$ . ∎

Exemplo 12.20 (Compactos encaixados)

Um primeiro exercício para o teorema. Sejam $K_0 \supseteq K_1 \supseteq K_2 \supseteq \dots$ subconjuntos compactos (fechados e limitados) não vazios de $\R$ . Então $\bigcap_n K_n \neq \emptyset$ . Com efeito, tome $x_n \in K_n$ para cada $n$ : a sequência vive no compacto $K_0$ , de modo que uma subsequência $x_{\varphi(n)}$ converge para algum $x$ (Teorema 12.19). Para todo $m$ fixado, os termos $x_{\varphi(n)}$ com $\varphi(n) \geq m$ estão todos no fechado $K_m$ , de sorte que o limite $x$ está em $K_m$ (Teorema 12.6); e, como $m$ era arbitrário, $x \in \bigcap_n K_n$ . Um companheiro útil: se um aberto $U$ contém $\bigcap_n K_n$ , então $U \supseteq K_n$ para algum $n$ — aplique o mesmo argumento a pontos $x_n \in K_n \setminus U$ ; o limite $x$ estaria em $\bigcap K_n \subseteq U$ , e, no entanto, $U$ aberto força $x_{\varphi(n)} \in U$ a partir de certo ponto, uma contradição. Os dois enunciados falham sem compacidade: $\bigcap_n \intoo{0}{\frac 1n} = \emptyset$ e $\bigcap_n \intco{n}{+\infty} = \emptyset$ . A ideia de fechamento: a compacidade converte uma cadeia infinita de afirmações de não vacuidade num único ponto-limite — é a ferramenta que sobrevive à passagem à interseção infinita, e o problema de fim de semana (Problema 12.1) se apoiará nela duas vezes.

Os quatro primeiros estágios da construção dos terços médios: cada segmento de C_n perde o seu terço médio aberto, restando os 2n+1 segmentos de C_n+1, de comprimento total (2/3)n+1. O conjunto de Cantor C = _n C_n — o tema do problema de fim de semana — é o resíduo compacto não vazio garantido pelo argumento dos compactos encaixados acima: comprimento zero e, ainda assim, uma quantidade não enumerável de pontos sobrevive. — Os quatro primeiros estágios da construção dos terços médios: cada segmento de $C_n$ perde o seu terço médio aberto, restando os $2^{n+1}$ segmentos de $C_{n+1}$ , de comprimento total $(\frac23)^{n+1}$ . O conjunto de Cantor $C = \bigcap_n C_n$ — o tema do problema de fim de semana Problema 12.1 — é o resíduo compacto não vazio garantido pelo argumento dos compactos encaixados acima: comprimento zero e, ainda assim, uma quantidade não enumerável de pontos sobrevive.

Observação 12.21

Este é o motor por trás do teorema de Weierstrass (Capítulo 13) e do teorema de Heine sobre continuidade uniforme. O nome “compacto” ganhará a sua definição geral (por coberturas) no segundo ano; em $\R$ , a compacidade sequencial é tudo de que precisamos, e “compacto $=$ fechado $+$ limitado” é o enunciado a guardar.

Exemplo 12.22 (Fronteiras sob uniões)

Sempre $\partial(A \cup B) \subseteq \partial A \cup \partial B$ : um ponto de $\partial(A \cup B)$ tem toda vizinhança encontrando $A \cup B$ (logo, $A$ ou $B$ , um deles infinitas vezes) e encontrando o complementar de $A \cup B$ , que está contido nos dois complementares — uma verificação curta põe então o ponto em $\partial A$ ou em $\partial B$ . A inclusão pode ser espetacularmente estrita: com $A = \Q$ e $B = \R\setminus\Q$ ,

\partial(A \cup B) = \partial \R = \emptyset , \qquad \partial A \cup \partial B = \R \cup \R = \R :

dois conjuntos esfarrapados podem se colar num conjunto sem costuras, com as suas fronteiras se aniquilando. A ideia de fechamento: os interiores e os fechos se comportam monotonamente sob uniões e interseções, mas as fronteiras não — trate $\partial$ como uma grandeza derivada ( $\overline A \setminus \mathring A$ ), nunca como um operador com álgebra própria.

Observação 12.23 (Perspectivas dentro deste volume)

O vocabulário aqui construído é consumido mais duas vezes neste livro. No Capítulo 13, todo teorema é um enunciado de topologia disfarçado: o teorema do valor intermediário diz que as aplicações contínuas preservam a propriedade de intervalo, e o teorema de Weierstrass diz que elas preservam a compacidade — e as demonstrações chamam o Teoremas 12.6 e 12.19 pelo nome. No Capítulo 25, as mesmas definições são relidas em $\R^2$ , com discos no lugar de intervalos: abertos, fechos e compacidade se transferem palavra por palavra, e o teorema de Weierstrass a duas variáveis cavalga de novo sobre Bolzano–Weierstrass (extraia em cada coordenada). A única noção que não se generaliza sem dor é o próprio intervalo — no plano, a conexidade substitui a convexidade, história que começa com o “só $\emptyset$ e $\R$ são abertos e fechados” do Exercício 12.9.

12.4 Exercícios

Exercício 12.1 ★

Para cada conjunto, diga se ele é aberto, fechado, os dois ou nenhum (com justificativa): $\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ ; $\;\intco{0}{1}$ ; $\;\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ ; $\;\R \setminus \Z$ ; $\;\Q \cap \intoo{0}{1}$ .

Solução

Solução de Exercício 12.1.

$\intoo{0}{1} \cup \intoo{2}{3}$ : aberto (união de abertos), não fechado ( $\frac 1n \to 0$ fora dele).

$\intco{0}{1}$ : nenhum dos dois. Não é aberto (nenhum intervalo em torno de $0$ está dentro); não é fechado ( $1 - \frac1n \to 1 \notin$ do conjunto).

$\{0\} \cup \intcc{1}{2}$ : fechado (união finita de fechados), não aberto (falha em $0$ ).

$\R \setminus \Z$ : aberto ( $\Z$ é fechado), não fechado: a sequência $\bigl(\frac 1n\bigr)$ está nele, mas o seu limite $0$ pertence a $\Z$ , isto é, escapa do conjunto.

$\Q \cap \intoo{0}{1}$ : nenhum dos dois. Não é aberto: todo intervalo em torno de um racional contém irracionais. Não é fechado: ele contém sequências que tendem ao irracional $\frac{\sqrt 2}{2}$ (densidade).

Exercício 12.2 ★

Determine $\mathring A$ , $\overline A$ e $\partial A$ para: $A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ ; $\;A = \R \setminus \Q$ ; $\;A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1} : n \in \N\bigr\}$ .

Solução

Solução de Exercício 12.2.

$A = \intoc{0}{1} \cup \{2\}$ : $\mathring A = \intoo{0}{1}$ , $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \{2\}$ , $\partial A = \{0, 1, 2\}$ .

$A = \R \setminus \Q$ : $\mathring A = \emptyset$ (todo intervalo contém racionais), $\overline A = \R$ (densidade dos irracionais), $\partial A = \R$ .

$A = \bigl\{\frac{(-1)^n n}{n+1}\bigr\}$ : os termos de índice par tendem a $1$ , e os de índice ímpar a $-1$ , e nenhum deles pertence a $A$ . $\mathring A = \emptyset$ (pontos isolados), $\overline A = A \cup \{-1, 1\}$ , $\partial A = \overline A$ .

Exercício 12.3 ★

Demonstre que um conjunto finito é fechado, primeiro por complementos e depois pela caracterização sequencial.

Solução

Solução de Exercício 12.3.

Complementos. $F = \{a_1 < a_2 < \dots < a_k\}$ : o complementar é a união dos intervalos abertos $\intoo{-\infty}{a_1}$ , $\intoo{a_i}{a_{i+1}}$ , $\intoo{a_k}{+\infty}$ — abertos pela Proposição 12.3.

Sequências. Sejam $u_n \in F$ , $u_n \to \ell$ . Com $\varepsilon = \min\{\abs{a_i - a_j} : i \neq j\}/2 > 0$ (ou qualquer $\varepsilon$ , se $F$ é unitário): a partir de certo posto, todos os termos estão a menos de $\varepsilon$ de $\ell$ , logo a menos de $2\varepsilon$ uns dos outros, o que os força a ser um único $a_i$ a partir desse posto; então $\ell = a_i \in F$ .

Exercício 12.4 ★

Demonstre que, para quaisquer $A, B \subseteq \R$ : $\overline{A \cup B} = \overline A \cup \overline B$ . Mostre com um exemplo que $\overline{A \cap B}$ pode diferir de $\overline A \cap \overline B$ .

Solução

Solução de Exercício 12.4.

$\subseteq$ : $\overline A \cup \overline B$ é fechado (união finita) e contém $A \cup B$ , de modo que contém o menor fechado que contém $\overline{A \cup B}$ . $\supseteq$ : $A \subseteq A \cup B$ dá $\overline A \subseteq \overline{A \cup B}$ (o fecho é monótono: pontos aderentes a $A$ são aderentes ao conjunto maior), e o mesmo para $B$ .

Contraexemplo para as interseções: $A = \intoo{0}{1}$ , $B = \intoo{1}{2}$ : $\overline{A \cap B} = \overline\emptyset = \emptyset$ , ao passo que $\overline A \cap \overline B = \{1\}$ .

Exercício 12.5 ★★

Seja $u_n \to \ell$ em $\R$ . Demonstre que o conjunto $\{u_n : n \in \N\} \cup \{\ell\}$ é fechado (logo compacto, se acrescentarmos que ele é limitado — e ele é).

Solução

Solução de Exercício 12.5.

Use a caracterização sequencial (Teorema 12.6). Sejam $S = \{u_n\} \cup \{\ell\}$ e $(v_k)$ uma sequência em $S$ com $v_k \to m$ ; mostremos que $m \in S$ . Dois casos. Se algum valor $v \in S$ é assumido por $(v_k)$ infinitas vezes, uma subsequência constante dá $m = v \in S$ . Caso contrário, todo valor é assumido finitas vezes; em particular, para cada $n$ , o termo $u_n$ aparece finitas vezes, e $\ell$ também. Então, para todo $N$ , os índices $k$ com $v_k \in \{u_0, \dots, u_N, \ell\}$ são em número finito: os demais $v_k$ são termos $u_n$ com $n > N$ . Dado $\varepsilon > 0$ , escolha $N$ com $\abs{u_n - \ell} \leq \varepsilon$ para $n > N$ : todos os $v_k$ , salvo finitos, satisfazem $\abs{v_k - \ell} \leq \varepsilon$ . Portanto, $v_k \to \ell$ , de modo que $m = \ell \in S$ .

Exercício 12.6 ★★

Sejam $U$ aberto e $A$ arbitrário. Demonstre que $U + A = \{u + a\}$ é aberto. Deduza que a soma de um aberto com um conjunto qualquer é aberta, e contraste: exiba dois conjuntos fechados cuja soma não é fechada. (Tente $\Z$ e $\sqrt 2\,\Z$ , com o Exercício 10.9.)

Solução

Solução de Exercício 12.6.

$U + A = \bigcup_{a \in A} (U + a)$ , e cada transladado $U + a$ é aberto (transladando os certificados de intervalo). Uma união de abertos é aberta (Proposição 12.3).

Conjuntos fechados: $\Z$ e $\sqrt 2\,\Z$ são fechados (como $\alpha\Z$ : sequências convergentes são constantes a partir de certo ponto, cf. Exemplo 12.8). A sua soma $\Z + \sqrt 2\,\Z$ é densa em $\R$ (Exercício 10.9), mas não é $\R$ (ela é enumerável ou, simplesmente: $\frac{\sqrt 2}{2} \notin \Z + \sqrt2\Z$ , caso contrário $\sqrt 2$ seria racional — escrever $\frac{\sqrt2}{2} = m + n\sqrt 2$ força $(2n - 1)\sqrt 2 = -2m$ , de modo que $\sqrt 2 \in \Q$ , a menos que $n = \frac12$ , o que é impossível). Um subconjunto próprio e denso não é fechado: o seu fecho é $\R \neq$ ele mesmo.

Exercício 12.7 ★★

Um ponto $x \in A$ é isolado em $A$ quando alguma vizinhança de $x$ encontra $A$ apenas em $x$ . Demonstre que todo ponto de $\Z$ é isolado em $\Z$ , que $A = \{\frac1n\}$ tem todos os seus pontos isolados e, ainda assim, $\overline A \neq A$ , e que um conjunto cujos pontos são todos isolados tem interior vazio.

Solução

Solução de Exercício 12.7.

$\Z$ : a vizinhança $\intoo{n - \frac12}{n + \frac12}$ de $n$ encontra $\Z$ apenas em $n$ .

$A = \{\frac1n : n \in \N^*\}$ : em torno de $\frac 1n$ , o intervalo de raio $\frac{1}{n} - \frac{1}{n+1} = \frac{1}{n(n+1)}$ (dividido ao meio, digamos) o isola dos seus vizinhos — todos os pontos são isolados. E, no entanto, $0 \in \overline A \setminus A$ : pontos isolados não impedem forasteiros aderentes.

Se todos os pontos de $A$ são isolados: nenhum ponto de $A$ é interior, pois um ponto interior tem um intervalo inteiro de vizinhos em $A$ em torno de si (um intervalo é infinito), o que contradiz o isolamento. Logo, $\mathring A = \emptyset$ .

Exercício 12.8 ★★

Demonstre que o fecho de um conjunto limitado é limitado e que $\sup \overline A = \sup A$ para $A$ não vazio e limitado superiormente. Deduza que $\sup A \in \overline A$ : o supremo é sempre aderente.

Solução

Solução de Exercício 12.8.

Se $A \subseteq \intcc{-M}{M}$ , o fechado $\intcc{-M}{M}$ contém $A$ e, portanto, contém $\overline A$ (o menor fechado que o contém): $\overline A$ é limitado.

Seja $s = \sup A$ (finito). Como $A \subseteq \overline A$ , $\sup \overline A \geq s$ . Reciprocamente, $\overline A \subseteq \intoc{-\infty}{s}$ : a semirreta é fechada e contém $A$ ; de modo que todo elemento de $\overline A$ é $\leq s$ , o que dá $\sup\overline A \leq s$ . Igualdade.

$s \in \overline A$ : pela caracterização por $\varepsilon$ (Proposição 10.4), todo intervalo $\intoo{s - \varepsilon}{s + \varepsilon}$ contém um elemento de $A$ : $s$ é aderente.

Exercício 12.9 ★★★

Demonstre que os únicos subconjuntos de $\R$ que são ao mesmo tempo abertos e fechados são $\emptyset$ e $\R$ . Sugestão: suponha $A$ aberto, fechado, com $A \neq \emptyset$ e $\R \setminus A \neq \emptyset$ ; tome $a \in A$ , $b \notin A$ , digamos $a < b$ , e considere $s = \sup\,(A \cap \intcc{a}{b})$ ; decida se $s$ pode pertencer a $A$ ou ao seu complementar.

Solução

Solução de Exercício 12.9.

Suponha $A$ aberto e fechado, com $a \in A$ e $b \in \R \setminus A$ ; sem perda de generalidade, $a < b$ . O conjunto $B = A \cap \intcc{a}{b}$ é não vazio ( $a$ ) e limitado: seja $s = \sup B$ . Pelo Exercício 12.8, $s \in \overline B \subseteq \overline A = A$ ( $A$ fechado). Note que $s \leq b$ e, como $b \notin A$ : $s < b$ . Ora, $A$ é aberto: algum intervalo $\intoo{s - r}{s + r}$ está em $A$ , e podemos tomar $r < b - s$ . Então $s + \frac{r}{2}$ pertence a $A \cap \intcc{a}{b} = B$ e excede $s$ — contradizendo $s = \sup B$ . Portanto, não existe tal par $(a, b)$ : um dentre $A$ e $\R \setminus A$ é vazio.

Exercício 12.10 ★★★

(Estrutura dos abertos) Seja $U \subseteq \R$ aberto e não vazio. Para $x \in U$ , seja $I_x$ a união de todos os intervalos abertos que contêm $x$ e estão contidos em $U$ . Demonstre que $I_x$ é um intervalo aberto, que dois conjuntos $I_x$ , $I_y$ são iguais ou disjuntos, e que $U$ é uma união de enumeravelmente muitos intervalos abertos dois a dois disjuntos (escolha um racional em cada um).

Solução

Solução de Exercício 12.10.

$I_x$ é uma união de intervalos abertos que contêm todos $x$ : é aberto, e é um intervalo, por ser convexo — se $u < z < v$ com $u, v \in I_x$ , então $u$ e $v$ estão em subintervalos abertos $J_u \ni x$ , $J_v \ni x$ de $U$ , e $J_u \cup J_v$ é um intervalo (ambos contêm $x$ ) dentro de $U$ que contém $z$ ; de modo que $z \in I_x$ (Proposição 10.19).

Se $I_x \cap I_y \neq \emptyset$ : $I_x \cup I_y$ é então um intervalo aberto (convexo: dois intervalos que se sobrepõem) contido em $U$ e que contém $x$ e $y$ , de sorte que $I_x \cup I_y \subseteq I_x$ e $\subseteq I_y$ , pela maximalidade de cada um: $I_x = I_y$ .

Assim, $U$ é a união disjunta dos conjuntos distintos $I_x$ (cada $x \in U$ está no seu próprio $I_x$ ). Enumerabilidade: cada intervalo aberto não vazio $I$ da família contém um racional $q_I$ (Teorema 10.14), e intervalos disjuntos distintos recebem racionais distintos: a família se injeta em $\Q$ , que é enumerável (está indexado por pares de inteiros). Logo, há no máximo enumeravelmente muitos intervalos.

Exercício 12.11 ★★

Um ponto $x \in \R$ é ponto de acumulação de $A$ quando toda vizinhança de $x$ encontra $A \setminus \{x\}$ ; o conjunto deles é o conjunto derivado $A'$ . Demonstre que $\overline A = A \cup A'$ e que $A$ é fechado se, e somente se, $A' \subseteq A$ . Determine $A'$ para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ , para $A = \Z$ e para $A = \Q$ .

Solução

Solução de Exercício 12.11.

$\overline A = A \cup A'$ . ( $\supseteq$ ) $A \subseteq \overline A$ sempre; e, se $x \in A'$ , toda vizinhança de $x$ encontra $A \setminus \{x\} \subseteq A$ , de modo que $x$ é aderente. ( $\subseteq$ ) Seja $x \in \overline A$ . Se $x \in A$ , pronto. Se $x \notin A$ , toda vizinhança de $x$ encontra $A = A \setminus \{x\}$ : $x \in A'$ .

Consequentemente, $A$ é fechado $\iff$ $A = \overline A = A \cup A'$ $\iff$ $A' \subseteq A$ .

$A = \{\frac 1n\}$ : $0$ é ponto de acumulação ( $\frac 1n \to 0$ , com termos $\neq 0$ ); cada $\frac 1n$ é isolado (Exercício 12.7), logo não está em $A'$ ; e um ponto $x \notin A \cup \{0\}$ tem um intervalo inteiro que evita $A$ (entre os dois vizinhos de $x$ em $A \cup \{0\}$ , ou além de $1$ ). Portanto, $A' = \{0\}$ .

$\Z' = \emptyset$ : todo inteiro é isolado, e todo não inteiro tem uma vizinhança dentro de $\R \setminus \Z$ .

$\Q' = \R$ : todo intervalo em torno de qualquer real contém infinitos racionais (Teorema 10.14), em particular um diferente do centro.

Exercício 12.12 ★★★

Para $A \subseteq \R$ não vazio, defina $d_A(x) = \inf\{\abs{x - a} : a \in A\}$ . Demonstre:

$\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ para todos $x, y$ ( $d_A$ é $1$ -lipschitziana);
$d_A(x) = 0$ se, e somente se, $x \in \overline A$ ; em particular, se $F$ é fechado e $x \notin F$ , então $d_F(x) > 0$ ;
para todo $\varepsilon > 0$ , o conjunto $V_\varepsilon = \{x : d_F(x) < \varepsilon\}$ é aberto, contém $F$ e $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = F$ para $F$ fechado: todo fechado é uma interseção enumerável de abertos.

Solução

Solução de Exercício 12.12.

Para todo $a \in A$ : $\abs{x - a} \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ , de modo que $d_A(x) \leq \abs{x - y} + \abs{y - a}$ ; tomando o ínfimo em $a$ : $d_A(x) \leq \abs{x - y} + d_A(y)$ . Trocando $x$ e $y$ , obtém-se a outra desigualdade: $\abs{d_A(x) - d_A(y)} \leq \abs{x - y}$ .
$d_A(x) = 0$ $\iff$ para todo $\varepsilon > 0$ existe $a \in A$ com $\abs{x - a} < \varepsilon$ $\iff$ todo intervalo em torno de $x$ encontra $A$ $\iff$ $x \in \overline A$ . Se $F$ é fechado e $x \notin F = \overline F$ , então $d_F(x) \neq 0$ , isto é, $d_F(x) > 0$ .
Se $d_F(x) < \varepsilon$ , ponha $r = \varepsilon - d_F(x) > 0$ : para $\abs{y - x} < r$ , a parte (1) dá $d_F(y) \leq d_F(x) + \abs{x - y} < \varepsilon$ : o intervalo $\intoo{x - r}{x + r}$ está em $V_\varepsilon$ , que é, portanto, aberto; ele contém $F$ , pois $d_F = 0$ ali. Por fim, $x \in \bigcap_{\varepsilon>0} V_\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) < \varepsilon$ para todo $\varepsilon$ $\iff$ $d_F(x) = 0$ $\iff$ $x \in \overline F = F$ . Como $\bigcap_{\varepsilon > 0} V_\varepsilon = \bigcap_{n \geq 1} V_{1/n}$ , todo fechado é uma interseção enumerável de abertos.

12.5 Problema: O conjunto de Cantor, pequeno e enorme ao mesmo tempo

Problema 12.1

Problema de fim de semana — o conjunto de Cantor dos terços médios: comprimento zero, não enumerável, perfeito e $C + C = \intcc{0}{2}$

Retire de $\intcc{0}{1}$ o seu terço médio aberto, depois o terço médio de cada segmento restante, e repita para sempre: o que sobrevive é o conjunto de Cantor $C$ , a fábrica fundamental de contraexemplos da análise. Este problema o constrói, lê-o pela maquinaria da base $3$ do Problema 10.1 e estabelece o seu retrato paradoxal: comprimento total zero e, ainda assim, não enumerável; interior vazio e, ainda assim, sem ponto isolado; totalmente desconexo e, ainda assim, $C + C$ preenche todo o segmento $\intcc{0}{2}$ . Formalmente: $C_0 = \intcc{0}{1}$ , e $C_{n+1}$ se obtém de $C_n$ apagando o terço médio aberto de cada segmento de $C_n$ ; por fim, $C = \bigcap_{n \geq 0} C_n$ . Ao longo do problema, um código ternário de $x \in \intcc{0}{1}$ é qualquer cadeia de algarismos $(d_k)_{k\geq1}$ com $d_k \in \{0, 1, 2\}$ cujo valor $\sup_n \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k}$ seja igual a $x$ — os códigos impróprios (iguais a $2$ a partir de certo ponto) são permitidos; pelo Problema 10.1 (questões 9–11), todo $x \in \intcc{0}{1}$ tem um ou dois códigos, dois exatamente quando $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ .

Parte I — A construção.

Descreva $C_1$ e $C_2$ explicitamente como uniões de segmentos e demonstre por indução: $C_n$ é uma união disjunta de $2^n$ segmentos fechados, cada um de comprimento $3^{-n}$ .
Mostre que $C$ é fechado, limitado — logo compacto (Teorema 12.19) — e não vazio, e que toda extremidade de todo segmento de todo $C_n$ pertence a $C$ .
O comprimento total de $C_n$ é $\bigl(\frac23\bigr)^n$ . Deduza que, para todo $\varepsilon > 0$ , o conjunto $C$ pode ser coberto por finitos segmentos de comprimento total $\leq \varepsilon$ : o conjunto de Cantor tem comprimento zero.
Mostre que um intervalo contido em $C$ tem comprimento $\leq 3^{-n}$ para todo $n$ e, portanto, é vazio ou um conjunto unitário: $\mathring C = \emptyset$ . Sendo fechado de interior vazio, $C$ é nunca denso.

Parte II — O código ternário.

Demonstre a recursão de autossemelhança

$C_{n+1} = \tfrac13 C_n \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C_n\bigr), \qquad\text{logo}\qquad C = \tfrac13 C \,\cup\, \bigl(\tfrac23 + \tfrac13 C\bigr),$

sendo as duas peças disjuntas: $C$ são duas cópias de si mesmo na escala $\frac13$ .
Demonstre por indução em $n$ : $x \in C_n$ se, e somente se, $x$ tem um código ternário cujos $n$ primeiros algarismos estão em $\{0, 2\}$ . Deduza, usando o fato de que $x$ tem no máximo dois códigos: $x \in C$ se, e somente se, $x$ tem um código sem nenhum algarismo igual a $1$ (um código sem $1$ ).
Códigos em ação: dê códigos sem $1$ para $0$ , $1$ , $\frac13$ e $\frac23$ ; mostre que $\frac14 = (0.\overline{02})_3$ e $\frac34 = (0.\overline{20})_3$ , de modo que ambos pertencem a $C$ ; e verifique que $\frac14$ não é extremidade de nenhum $C_n$ (as extremidades têm a forma $m/3^n$ ).
Mostre que cada $x \in C$ tem exatamente um código sem $1$ (quando $x$ tem dois códigos, demonstre que exatamente um do par contém o algarismo $1$ ). Conclua: a aplicação valor é uma bijeção das cadeias de $\{0,2\}$ sobre $C$ .
(Diagonal) Seja $k \mapsto x_k$ uma aplicação qualquer $\N^* \to C$ . Construa uma cadeia de $\{0, 2\}$ que difira no índice $k$ do código de $x_k$ , e conclua que $C$ é não enumerável — ao passo que, em contraste, a questão 3 diz que ele é metricamente desprezível.

Parte III — Retrato topológico.

Reúna o registro até aqui: $C$ é compacto, não enumerável, de comprimento zero e nunca denso. Que única inclusão $C \subseteq C_n$ carrega cada propriedade?
( $C$ é perfeito) Seja $x \in C$ com código sem $1$ $(d_k)$ . Inverter o algarismo $d_n$ ( $0 \leftrightarrow 2$ ) produz $x_n \in C$ com $\abs{x_n - x} = 2 \cdot 3^{-n}$ . Conclua que $C$ não tem ponto isolado: todo ponto de $C$ é limite de outros pontos de $C$ .
Mostre que as extremidades da questão 2 formam um subconjunto enumerável e denso de $C$ (trunque o código após $n$ algarismos e continue com $0$ s; enumerabilidade como no Exercício 12.10). Conclua: o ponto típico de $C$ — como $\frac14$ — não é extremidade: as extremidades são um esqueleto enumerável dentro de um corpo não enumerável.
(Totalmente desconexo) Sejam $x < y$ em $C$ . Escolha $n$ com $3^{-n} < y - x$ e produza um ponto $z \in \intoo{x}{y}$ com $z \notin C$ . Conclua que os únicos intervalos não vazios contidos em $C$ são conjuntos unitários.

Parte IV — Aritmética de $C$ .

Mostre que $1 - C = C$ (o que $x \mapsto 1 - x$ faz a um código sem $1$ ? lembre que $1 = (0.\overline{2})_3$ ).
(Adição de códigos) Mostre que, se $x$ e $x'$ têm códigos $(a_k)$ e $(b_k)$ , então $x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n)$ , em que $t_n, t'_n$ são as somas parciais. Deduza: todo $y \in \intcc{0}{1}$ é o ponto médio de dois pontos de $C$ — dado um código $(e_k)$ de $y$ , escolha algarismos $a_k, b_k \in \{0, 2\}$ com $\frac{a_k + b_k}{2} = e_k$ .
Conclua que $C + C = \intcc{0}{2}$ e, com a questão 14, que $C - C = \intcc{-1}{1}$ . Instância concreta: escreva $1$ como soma dos dois pontos que não são extremidades encontrados na questão 7.
Reflita: um conjunto de comprimento zero cujo conjunto das diferenças preenche $\intcc{-1}{1}$ . Por que não há contradição entre “ $C$ é metricamente desprezível” e “ $C + C$ tem comprimento pleno”? (Uma frase; pense no que o comprimento controla e no que ele não controla.)

Parte V — Membros, racionais e irracionais.

Combine a questão 8 com o critério de periodicidade do Problema 10.1: um ponto de $C$ é racional se, e somente se, o seu código sem $1$ é periódico a partir de certo ponto. Execute a divisão longa na base $3$ para verificar que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3 \in C$ .
Produza um membro explicitamente irracional de $C$ : o valor do código com $d_k = 2$ nas posições triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ e $d_k = 0$ nas demais. Justifique a irracionalidade pelo argumento dos espaçamentos crescentes do Problema 10.1 (questão 20).
(Sobre um segmento inteiro) Considere $h$ que leva o ponto de $C$ de código sem $1$ $(d_k)$ ao valor da cadeia binária $\bigl(\frac{d_k}2\bigr)$ , isto é, $h(x) = \sup_n \sum_{k=1}^n \frac{d_k}{2}\,2^{-k}$ . Mostre que $h$ leva $C$ sobre $\intcc{0}{1}$ . Assim, o desprezível $C$ se projeta sobrejetivamente num segmento de comprimento pleno — uma segunda demonstração de que $C$ é não enumerável.
(Comprimento autossemelhante) Suponha que alguma noção de comprimento $L$ estivesse definida para $C$ e para as suas cópias encolhidas, respeitando a escala ( $L(\lambda A) = \lambda L(A)$ ), a invariância por translação e a aditividade sobre a decomposição disjunta da questão 5. Mostre que então $L(C) = \frac23\,L(C)$ , o que força $L(C) = 0$ : só a autossemelhança já condena $C$ a comprimento zero.

Parte VI — Um primo gordo e a moral.

(Conjunto de Cantor gordo) Repita a construção, mas, no estágio $n$ ( $n = 0, 1, 2, \dots$ ), retire de cada um dos $2^n$ segmentos atuais apenas um intervalo aberto central de comprimento $4^{-(n+1)}$ . Mostre que os comprimentos $l_n$ dos segmentos obedecem a $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ , $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot 4^n} > 0$ , que o $K = \bigcap K_n$ resultante é compacto de interior vazio e que o comprimento total retirado é $\sum_{n\geq0} 2^n 4^{-(n+1)} = \frac12$ . Admitindo a aditividade (intuitiva, do terceiro ano) do comprimento para uniões finitas de intervalos, e usando os dois enunciados do Exemplo 12.20, mostre que toda família finita de intervalos abertos que cubra $K$ tem comprimento total $\geq \frac12$ : $K$ é nunca denso, mas não é desprezível. Pequenez tem vários significados não equivalentes.
(Distâncias) Mostre que, para um fechado não vazio $F \subseteq \R$ e $x \in \R$ , o ínfimo $d(x, F)$ é atingido (sequência minimizante mais Bolzano–Weierstrass). Depois calcule

$\max_{y \in \intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16 ,$

atingido exatamente no centro $y = \frac12$ (um ponto de um vão criado no estágio $n$ está a menos de $\frac{3^{-n}}{2}$ das extremidades do vão, que estão em $C$ ).
(Todo ponto é limite subsequencial) Usando as questões 12 e 2, produza uma única sequência em $C$ cujo conjunto de limites subsequenciais seja todo o $C$ . (Compare: para uma sequência convergente esse conjunto é um único ponto — $C$ realiza o extremo oposto entre os compactos.)
Síntese, uma frase para cada: (i) que teoremas deste capítulo a construção de fato consumiu (estabilidade dos fechados, compacidade, caracterizações sequenciais)? (ii) liste os quatro pares paradoxais do retrato (comprimento zero/não enumerável, fechado/interior vazio, perfeito/totalmente desconexo, desprezível/ $C+C$ pleno); (iii) onde $C$ ressurge mais adiante (a escada do diabo construída sobre $h$ na teoria da continuidade e a teoria da medida do volume do terceiro ano, em que $C$ separa “enumerável” de “desprezível”)?

Solução

Solução de Problema 12.1.

1. $C_1 = \intcc{0}{\frac13} \cup \intcc{\frac23}{1}$ e

C_2 = \intcc{0}{\tfrac19} \cup \intcc{\tfrac29}{\tfrac13} \cup \intcc{\tfrac23}{\tfrac79} \cup \intcc{\tfrac89}{1} .

Indução: se $C_n$ é uma união disjunta de $2^n$ segmentos fechados de comprimento $3^{-n}$ , apagar o terço médio aberto de cada um deixa dois segmentos fechados de comprimento $3^{-n-1}$ por segmento pai: $2^{n+1}$ segmentos, dois a dois disjuntos (filhos de pais distintos ficam separados porque os pais ficavam; filhos de um mesmo pai ficam separados pelo vão retirado).

2. Cada $C_n$ é uma união finita de segmentos, logo fechado; $C = \bigcap C_n$ é uma interseção de fechados: fechado (Definição 12.5); limitado ( $\subseteq \intcc{0}{1}$ ): compacto pelo Teorema 12.19. Não vazio: $0$ está no segmento mais à esquerda de todo $C_n$ . Seja $a$ uma extremidade de um segmento $S$ de $C_n$ . Para $m \leq n$ , $a \in C_n \subseteq C_m$ . Para os estágios posteriores: a supressão do terço médio nunca retira uma extremidade, e $a$ é de novo extremidade de um dos dois filhos de $S$ (o filho que toca $a$ ); por indução, $a \in C_m$ para todo $m \geq n$ : $a \in C$ .

3. Comprimento total de $C_n$ : $2^n \cdot 3^{-n} = (\frac23)^n \to 0$ . Dado $\varepsilon > 0$ , escolha $n$ com $(\frac23)^n \leq \varepsilon$ : então $C \subseteq C_n$ , uma união de finitos segmentos de comprimento total $\leq \varepsilon$ .

4. Seja $I \subseteq C$ um intervalo com dois pontos distintos. Para todo $n$ : $I \subseteq C_n$ e, sendo convexo, $I$ deve estar dentro de um único segmento de $C_n$ (encontrar dois segmentos forçaria $I$ a conter um ponto do vão entre eles, que está fora de $C_n$ ). Logo, o comprimento de $I$ é $\leq 3^{-n}$ para todo $n$ : contradição. Assim, os únicos intervalos dentro de $C$ são vazios ou unitários; em particular, nenhum $\intoo{x-r}{x+r}$ cabe dentro de $C$ : $\mathring C = \emptyset$ . Como $C$ é fechado, $\overline C = C$ tem interior vazio: $C$ é nunca denso.

5. Escreva $\varphi_0(x) = \frac x3$ e $\varphi_2(x) = \frac{2 + x}{3}$ , bijeções afins crescentes de $\intcc{0}{1}$ sobre $\intcc{0}{\frac13}$ e $\intcc{\frac23}{1}$ . Afirmação: $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ . Para $n = 0$ isso é a questão 1. Indução: uma aplicação afim crescente leva o terço médio de um segmento ao terço médio do segmento imagem, de modo que apagar terços médios comuta com $\varphi_0$ e $\varphi_2$ ; aplicar o passo de supressão a $C_{n+1} = \varphi_0(C_n) \cup \varphi_2(C_n)$ dá $C_{n+2} = \varphi_0(C_{n+1}) \cup \varphi_2(C_{n+1})$ . Interceptando sobre $n$ : para $x \leq \frac13$ , $x \in C \iff x \in \varphi_0(C_n)$ para todo $n$ $\iff 3x \in \bigcap C_n = C$ ; do mesmo modo em $\intcc{\frac23}{1}$ ; e nenhum ponto de $\intoo{\frac13}{\frac23}$ está em $C_1$ . Portanto, $C = \varphi_0(C) \cup \varphi_2(C)$ , disjuntamente.

6. Indução em $n$ ; o caso $n = 0$ diz que todo $x \in \intcc{0}{1}$ tem um código, o que é o Problema 10.1 (questão 9 para $x < 1$ ; $1 = (0.\overline 2)_3$ ). Suponha a equivalência no posto $n$ . Se $x \in C_{n+1}$ : pela questão 5, $x = \varphi_i(z)$ com $z \in C_n$ e $i \in \{0, 2\}$ ; se $(e_k)$ é um código de $z$ cujos $n$ primeiros algarismos são sem $1$ , então $(i, e_1, e_2, \dots)$ tem somas parciais $\frac i3 + \frac13\sum_{k\leq m} e_k 3^{-k} \to \varphi_i(z) = x$ : um código de $x$ cujos $n + 1$ primeiros algarismos são sem $1$ . Reciprocamente, se $x$ tem um código $(d_k)$ com $d_1, \dots, d_{n+1} \in \{0, 2\}$ : a cadeia deslocada $(d_2, d_3, \dots)$ tem algum valor $z \in \intcc{0}{1}$ , os seus $n$ primeiros algarismos são sem $1$ , e o cálculo das somas parciais lido ao contrário dá $x = \varphi_{d_1}(z)$ ; por indução, $z \in C_n$ , de modo que $x \in C_{n+1}$ pela questão 5. Por fim: um código inteiramente sem $1$ põe $x$ em todo $C_n$ , logo em $C$ ; reciprocamente, se $x \in C$ , então, para todo $n$ , um dos no máximo dois códigos de $x$ (Problema 10.1, questão 11) tem os seus $n$ primeiros algarismos sem $1$ ; um mesmo código fixado deve servir para $n$ arbitrariamente grandes (casa dos pombos entre dois códigos), e um código cujos $n$ primeiros algarismos são sem $1$ para $n$ arbitrariamente grandes é sem $1$ por completo.

7. $0 = (0.\overline 0)_3$ , $1 = (0.\overline 2)_3$ , $\frac13 = (0.0\overline{2})_3$ (o gêmeo impróprio de $(0.1)_3$ ), $\frac23 = (0.2\overline{0})_3$ . Somas geométricas:

(0.\overline{02})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{9^{\,j}} = \frac{2/9}{1 - 1/9} = \frac14 , \qquad (0.\overline{20})_3 = \sum_{j\geq1} \frac{2}{3\cdot 9^{\,j-1}} = \frac{2/3}{1 - 1/9} = \frac34 ,

ambos sem $1$ : $\frac14, \frac34 \in C$ . (As somas infinitas abreviam supremos de somas parciais, como no Problema 10.1.) As extremidades dos segmentos de $C_n$ são da forma $m/3^n$ (indução: as extremidades dos filhos são extremidades do pai ou diferem de uma delas por um múltiplo de $3^{-n-1}$ ). Se $\frac14 = \frac{m}{3^n}$ , então $3^n = 4m$ , e $4 \nmid 3^n$ : impossível. Logo, $\frac14 \in C$ sem jamais ser extremidade.

8. Suponha que $x$ tivesse dois códigos sem $1$ distintos. Ter dois códigos, para começar, significa (Problema 10.1, questão 11, base $3$ ) que $x = m/3^N \in \intoo{0}{1}$ e que os dois códigos são: o que termina, com último algarismo não nulo $d_N \in \{1, 2\}$ seguido de $0$ s, e o seu gêmeo, com $d_N - 1$ na posição $N$ seguido de $2$ s. Se $d_N = 1$ , o primeiro contém um $1$ ; se $d_N = 2$ , o gêmeo carrega $d_N - 1 = 1$ . De um jeito ou de outro, no máximo um do par é sem $1$ : contradição. Logo, cada $x \in C$ tem exatamente um código sem $1$ (existência pela questão 6), e cadeias de $\{0,2\}$ distintas têm valores distintos. Toda cadeia de $\{0,2\}$ tem valor em $\intcc{0}{1}$ (somas parciais $\leq 1$ ) com todos os prefixos sem $1$ , logo valor em todo $C_n$ , isto é, em $C$ : a aplicação valor é uma bijeção das cadeias de $\{0,2\}$ sobre $C$ .

9. Seja $(d^{(k)})$ o código sem $1$ de $x_k$ e ponha $e_k = 2 - d^{(k)}_k \in \{0, 2\}$ : uma cadeia de $\{0,2\}$ cujo valor $y$ está em $C$ e tem $(e_k)$ como o seu único código sem $1$ (questão 8). Para cada $k$ , os códigos de $y$ e de $x_k$ diferem na posição $k$ , de modo que $y \neq x_k$ : nenhuma aplicação $\N^* \to C$ é sobrejetiva. Um conjunto não enumerável de comprimento zero: grandeza em cardinalidade e pequenez em medida — simultaneamente.

10. Compacidade: o fechamento da interseção infinita mais a limitação (questão 2) — a única propriedade não carregada por uma única inclusão. Comprimento zero: $C \subseteq C_n$ , de comprimento total $(\frac23)^n$ (questão 3). Nunca denso: $C \subseteq C_n$ força os intervalos dentro de $C$ a terem comprimento $\leq 3^{-n}$ (questão 4). A não enumerabilidade não cavalga em inclusão alguma: ela precisa da estrutura completa da interseção, codificada na bijeção da questão 8.

11. Inverta $d_n$ para $2 - d_n$ : a nova cadeia continua sendo uma cadeia de $\{0,2\}$ , de modo que o seu valor $x_n$ está em $C$ ; as somas parciais além do posto $n$ diferem exatamente de $2\cdot3^{-n}$ , de sorte que $\abs{x_n - x} = 2\cdot3^{-n}$ . Assim, $x_n \neq x$ e $x_n \to x$ : todo ponto de $C$ é limite de outros pontos de $C$ — $C$ é perfeito, sem ponto isolado.

12. Pela indução da questão 5, os segmentos de $C_n$ são exatamente os $\intcc{t}{t + 3^{-n}}$ , em que $t$ percorre os valores das cadeias de $\{0,2\}$ de comprimento $n$ . Dado $x \in C$ com código $(d_k)$ , a truncagem $t_n$ (algarismos $d_1 \dots d_n$ e depois $0$ s) é, portanto, uma extremidade esquerda, e $0 \leq x - t_n \leq 3^{-n}$ : as extremidades são densas em $C$ . Elas formam um subconjunto de $\{m/3^n : m, n\}$ , um conjunto indexado por pares de inteiros, logo enumerável (como para $\Q$ no Exercício 12.10). Como $C$ é não enumerável (questão 9), todos os pontos de $C$ , salvo enumeravelmente muitos, não são extremidades — $\frac14$ (questão 7) é a ponta visível desse iceberg.

13. Tome $n$ com $3^{-n} < y - x$ . Ambos $x, y \in C_n$ , e eles não podem estar no mesmo segmento (comprimento $3^{-n} < y - x$ ): o vão retirado entre os seus segmentos fornece $z$ com $x < z < y$ e $z \notin C_n \supseteq C$ . Portanto, dois pontos quaisquer de $C$ são separados pelo complementar: os únicos subconjuntos convexos de $C$ são unitários — $C$ é totalmente desconexo.

14. Se $(d_k)$ é o código sem $1$ de $x$ , a cadeia $(2 - d_k)$ é de novo uma cadeia de $\{0,2\}$ , com somas parciais

\sum_{k=1}^{n} (2 - d_k)3^{-k} = (1 - 3^{-n}) - \sum_{k=1}^n d_k 3^{-k} \longrightarrow 1 - x :

de modo que $1 - x \in C$ . Assim, $1 - C \subseteq C$ e, aplicando a aplicação duas vezes, $1 - C = C$ : o conjunto de Cantor é simétrico em relação a $\frac12$ .

15. As somas parciais $t_n \to x$ e $t'_n \to x'$ (sequências crescentes convergem para o seu supremo, isto é, para o valor), de modo que $t_n + t'_n \to x + x'$ , pelo Teorema 11.5. Dado $y \in \intcc{0}{1}$ com código $(e_k)$ , escolha $(a_k, b_k) = (0,0), (0,2), (2,2)$ conforme $e_k = 0, 1, 2$ : então $a_k + b_k = 2e_k$ , as cadeias $(a_k)$ e $(b_k)$ são cadeias de $\{0,2\}$ com valores $x, x' \in C$ , e

x + x' = \lim_n\,(t_n + t'_n) = \lim_n 2\sum_{k=1}^n e_k 3^{-k} = 2y :

todo $y \in \intcc{0}{1}$ é o ponto médio de dois pontos de $C$ .

16. A questão 15 dá $\intcc{0}{2} = 2\,\intcc{0}{1} \subseteq C + C$ , e $C + C \subseteq \intcc{0}{1} + \intcc{0}{1} = \intcc{0}{2}$ : igualdade. Então, usando $1 - C = C$ :

C - C = C + (C - 1) = (C + C) - 1 = \intcc{-1}{1} .

Instância concreta: $1 = \frac14 + \frac34$ , uma soma de dois membros de $C$ que não são extremidades.

17. O comprimento mede quanto da reta o próprio conjunto ocupa; ele nada diz sobre o conjunto das somas, que é a imagem da família a dois parâmetros $C \times C$ pela aplicação $(x, x') \mapsto x + x'$ — as duas cadeias de algarismos são escolhidas independentemente, e essa liberdade é exatamente o que preenche $\intcc{0}{2}$ . Teorema algum limita o comprimento de um conjunto soma pelos comprimentos das parcelas, e $C$ é a prova de que nenhum pode.

18. Pelo Problema 10.1 (questão 18), $x$ é racional se, e somente se, a sua expansão própria é periódica a partir de certo ponto. O código sem $1$ de $x \in C$ é ou essa expansão própria, ou o gêmeo impróprio de uma que termina; uma cadeia que termina e o seu gêmeo (constante $2$ a partir de certo ponto) são ambos periódicos a partir de certo ponto, de modo que a periodicidade do código sem $1$ é equivalente à racionalidade de $x$ . Divisão longa de $\frac1{13}$ na base $3$ ( $r_0 = 1$ ): $3 = 13\cdot0 + 3$ , $9 = 13\cdot0 + 9$ , $27 = 13\cdot2 + 1$ , e o resto volta a $1$ : algarismos $\overline{002}$ , de modo que $\frac1{13} = (0.\overline{002})_3$ , sem $1$ e periódico: um membro racional de $C$ . (Verificação: $\frac{2/27}{1 - 1/27} = \frac{2}{26} = \frac1{13}$ .)

19. A cadeia com $d_k = 2$ nas posições triangulares $k = \frac{j(j+1)}{2}$ e $0$ nas demais é uma cadeia de $\{0,2\}$ , de modo que o seu valor $x^*$ pertence a $C$ (questão 8). Ela tem infinitos $2$ s com espaçamentos $j + 1 \to \infty$ entre consecutivos, de sorte que não é periódica a partir de ponto algum (um período $T$ acabaria forçando $2$ s com espaçamentos $\leq T$ : o argumento dos espaçamentos crescentes do Problema 10.1, questão 20); pela questão 18, $x^* \notin \Q$ . E, pela questão 9 mais a enumerabilidade de $\Q$ , todos os membros de $C$ , salvo enumeravelmente muitos, são irracionais: $x^*$ é a norma, não a exceção.

20. Seja $y \in \intcc{0}{1}$ : ele tem um código binário $(c_k)$ com $c_k \in \{0, 1\}$ (Problema 10.1, questão 9, base $2$ ; $y = 1$ toma a cadeia só de $1$ s). Então $(2c_k)$ é uma cadeia de $\{0,2\}$ , o seu valor $x$ está em $C$ , e $h(x)$ é o valor de $(c_k)$ , ou seja, $y$ : $h$ leva $C$ sobre $\intcc{0}{1}$ . Se $C$ fosse imagem de uma aplicação de $\N^*$ , compor com $h$ listaria todo $\intco{0}{1}$ , contradizendo o teorema diagonal do Problema 10.1 (questão 22): $C$ é não enumerável, de novo. Um conjunto de comprimento zero que se projeta sobrejetivamente num segmento inteiro.

21. Pela questão 5, $C$ é a união disjunta de $\varphi_0(C)$ e $\varphi_2(C)$ , cada um um transladado da cópia reescalonada $\frac13 C$ . A aditividade, a escala e a invariância por translação dão

L(C) = L(\varphi_0(C)) + L(\varphi_2(C)) = \tfrac13 L(C) + \tfrac13 L(C) = \tfrac23\,L(C),

de modo que $\frac13 L(C) = 0$ : $L(C) = 0$ . Só a autossemelhança já condena $C$ a comprimento zero — a questão 3 apenas executou a sentença.

22. Um segmento de comprimento $l_n$ perde um intervalo central de comprimento $4^{-(n+1)}$ , restando dois segmentos de comprimento $l_{n+1} = \frac{l_n - 4^{-(n+1)}}{2}$ ; a partir de $l_0 = 1$ , a indução confirma que $l_n = \frac{2^n + 1}{2\cdot4^n}$ : com efeito, $\frac12\Bigl(\frac{2^n+1}{2\cdot4^n} - \frac{1}{4^{n+1}}\Bigr) = \frac{2(2^n + 1) - 1}{2\cdot4^{n+1}} = \frac{2^{n+1} + 1}{2\cdot4^{n+1}}$ , e $l_n > 0$ sempre: a construção nunca passa fome. $K = \bigcap K_n$ é fechado e limitado, logo compacto; um intervalo dentro de $K$ está num segmento de $K_n$ , de comprimento $l_n \to 0$ : interior vazio. Comprimento retirado: $\sum_{n\geq0} 2^n \cdot 4^{-(n+1)} = \frac14\sum_{n\geq0}\bigl(\frac12\bigr)^n = \frac12$ , e cada $K_n$ tem comprimento total $2^n l_n = \frac{2^n + 1}{2^{n+1}} > \frac12$ . Seja agora uma família finita de intervalos abertos de união $U \supseteq K$ . Pelo enunciado companheiro do Exemplo 12.20, $U \supseteq K_n$ para algum $n$ ; admitindo a aditividade do comprimento em uniões finitas de intervalos, o comprimento total dos intervalos da cobertura é ao menos o de $K_n$ , que excede $\frac12$ . Assim, $K$ é nunca denso e, ainda assim, não existe cobertura barata: pequenez topológica (nunca denso) e pequenez métrica (comprimento zero) são noções genuinamente diferentes, e $K$ as separa.

23. Atingimento: sejam $d = d(x, F)$ e $a_k \in F$ com $\abs{x - a_k} \leq d + \frac1k$ : os $a_k$ são limitados, de modo que Bolzano–Weierstrass (Teorema 11.16) extrai $a_{\varphi(k)} \to a$ , com $a \in F$ ( $F$ fechado, Teorema 12.6) e $\abs{x - a} = \lim \abs{x - a_{\varphi(k)}} = d$ . Agora, o máximo: se $y \in C$ , $d(y, C) = 0$ ; caso contrário, $y$ está num vão retirado em algum estágio $n \geq 1$ , um intervalo aberto de comprimento $3^{-n}$ cujas duas extremidades pertencem a $C$ (questão 2), de modo que $d(y, C) \leq \frac{3^{-n}}{2} \leq \frac16$ , com igualdade exigindo $n = 1$ e $y$ no centro do vão $\intoo{\frac13}{\frac23}$ , isto é, $y = \frac12$ ; e, de fato, $d\bigl(\frac12, C\bigr) = \frac16$ , pois $C \cap \intoo{\frac13}{\frac23} = \emptyset$ e $\frac13, \frac23 \in C$ . Portanto, $\max_{y\in\intcc{0}{1}} d(y, C) = \frac16$ , atingido exatamente em $\frac12$ .

24. As extremidades formam um subconjunto enumerável e denso de $C$ (questão 12): liste-as como uma única sequência $(e_j)_{j\geq1}$ , uma sequência em $C$ . Os seus limites subsequenciais estão todos em $C$ ( $C$ fechado). Reciprocamente, fixe $x \in C$ : para cada $n$ , os segmentos dos $C_m$ que contêm $x$ ( $m \geq n$ ) têm as suas extremidades a menos de $3^{-m} \leq 3^{-n}$ de $x$ , de modo que infinitas extremidades distintas ficam a menos de $3^{-n}$ de $x$ ; escolha índices $j_1 < j_2 < \dots$ com $\abs{e_{j_n} - x} \leq 3^{-n}$ : uma subsequência que converge para $x$ . Assim, o conjunto dos limites subsequenciais de $(e_j)$ é exatamente $C$ — uma única sequência se acumulando em uma quantidade não enumerável de pontos, o extremo oposto de uma sequência convergente, cujo conjunto de acumulação é unitário.

25. (i) A construção consumiu: a estabilidade dos fechados por interseção arbitrária (existência de $C$ como fechado), o teorema de compacidade Teorema 12.19 (questões 2, 22 e 23) e as caracterizações sequenciais do fechamento e da aderência (o argumento dos compactos encaixados do Exemplo 12.20 e a questão 23). (ii) Os quatro pares: comprimento zero e, ainda assim, não enumerável (questões 3 e 9); fechado e, ainda assim, de interior vazio (questão 4); perfeito — sem ponto isolado — e, ainda assim, totalmente desconexo (questões 11 e 13); desprezível e, ainda assim, com $C + C = \intcc{0}{2}$ (questão 16). (iii) A sobrejeção $h$ da questão 20, tornada contínua e não decrescente, torna-se a escada do diabo na teoria das funções contínuas; e, na teoria da medida do volume do terceiro ano, $C$ é a testemunha padrão de que “desprezível” não significa “enumerável”, com o seu primo gordo (questão 22) separando “nunca denso” de “desprezível”.

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