Matemática universitária — Graduação 1 · Bachelor Year 1

13Limites e Continuidade

O teorema do valor intermediário e o teorema de Weierstrass foram usados no nível do ensino médio por fé visual. Com as sequências (Capítulo 11) e a topologia de $\R$ (Capítulo 12) em mãos, este capítulo os demonstra — e completa a teoria com o teorema da bijeção monótona (que legitima $\arcsin$ , $\operatorname{arcosh}$ e os seus semelhantes do Capítulo 4) e com o teorema de Heine sobre continuidade uniforme.

Ao longo do capítulo, $I$ é um intervalo e $f \colon I \to \R$ ; “ $x_0 \in \overline I$ ” permite limites nas extremidades.

13.1 Limites de funções

Definição 13.1 (Limite num ponto)

Sejam $x_0 \in \overline{I}$ e $\ell \in \R$ . Então $f(x) \to \ell$ quando $x \to x_0$ se

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x \in I, \qquad \abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon .

Os limites em $\pm\infty$ e os limites infinitos são definidos pelo mesmo padrão ( $\abs{x - x_0} \leq \delta$ passa a $x \geq M$ ; $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ passa a $f(x) \geq M'$ ). Os limites laterais restringem $x$ a $x > x_0$ (escrito $x \to x_0^+$ ) ou a $x < x_0$ . O limite é único quando existe (mesma demonstração da Proposição 11.4).

Exemplo 13.2 (Um limite pelo confronto)

Calcule $\lim_{x \to 0} x\,\bigl\lfloor \frac1x \bigr\rfloor$ . O enquadramento da parte inteira $\frac1x - 1 < \lfloor \frac1x \rfloor \leq \frac1x$ dá, após multiplicar por $x$ (atenção ao sinal!):

1 - x < x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor \leq 1 \quad (x > 0), \qquad 1 \leq x\Bigl\lfloor \frac1x \Bigr\rfloor < 1 - x \quad (x < 0),

e os dois confrontos laterais se fecham sobre $1$ : o limite é $1$ . Note o que aconteceu: $\lfloor \frac1x\rfloor$ sozinha tem saltos selvagens perto de $0$ , mas o fator $x$ doma cada salto ( $x$ vezes um salto unitário é pequeno), e só o enquadramento sobrevive. A ideia de fechamento: limites de produtos de um fator pequeno por um fator de oscilação limitada são problemas de confronto, nunca problemas do teorema das operações — o teorema das operações precisa que ambos os fatores convirjam.

Teorema 13.3 (Caracterização sequencial)

$f(x) \to \ell$ quando $x \to x_0$ se, e somente se: para toda sequência $(u_n)$ de pontos de $I$ com $u_n \to x_0$ , tem-se $f(u_n) \to \ell$ .

Demonstração. ( $\Rightarrow$ ) Sejam $u_n \to x_0$ e $\varepsilon > 0$ . Tome $\delta$ da definição e depois $N$ com $\abs{u_n - x_0} \leq \delta$ para $n \geq N$ : além de $N$ , $\abs{f(u_n) - \ell} \leq \varepsilon$ .

( $\Leftarrow$ ) Contrapositiva. Se $f \not\to \ell$ : algum $\varepsilon_0 > 0$ derrota todo $\delta$ ; escolhendo $\delta = \frac{1}{n+1}$ , produzem-se $u_n \in I$ com $\abs{u_n - x_0} \leq \frac{1}{n+1}$ e $\abs{f(u_n) - \ell} > \varepsilon_0$ . Então $u_n \to x_0$ , mas $f(u_n) \not\to \ell$ . ∎

Corolário 13.4 (Operações, composição, ordem)

Somas, produtos e quocientes (com limite não nulo no denominador) de limites se comportam como para as sequências; se $f \to \ell$ em $x_0$ e $g \to m$ em $\ell$ , e $g$ está definida em torno de $\ell$ com $g(\ell) = m$ ou $f \neq \ell$ perto de $x_0$ , então $g \circ f \to m$ em $x_0$ ; os limites preservam desigualdades largas, e vale o teorema do confronto.

Demonstração. Cada enunciado se transfere pelo Teorema 13.3 ao seu análogo para sequências (Teoremas 11.5 e 11.7). Para a composição, vale a pena escrever o encadeamento direto uma vez: dado $\varepsilon > 0$ , o limite de $g$ em $\ell$ fornece $\eta > 0$ com

\abs{y - \ell} \leq \eta \implies \abs{g(y) - m} \leq \varepsilon \quad (y \text{ no domínio de} g),

em que o caso $y = \ell$ está coberto porque $g(\ell) = m$ ; então o limite de $f$ em $x_0$ fornece $\delta > 0$ com $\abs{x - x_0} \leq \delta \implies \abs{f(x) - \ell} \leq \eta$ ; encadeando, $\abs{x - x_0} \leq \delta$ dá $\abs{g(f(x)) - m} \leq \varepsilon$ . Na hipótese alternativa ( $f \neq \ell$ perto de $x_0$ ), o valor $y = \ell$ nunca é alimentado a $g$ , e o valor dela ali é irrelevante. ∎

Exemplo 13.5 (Por que a ressalva da composição existe)

Sejam $g(y) = 0$ para $y \neq 0$ e $g(0) = 1$ , e seja $f$ identicamente $0$ . Então $f(x) \to 0$ quando $x \to 0$ , e $g(y) \to 0$ quando $y \to 0$ ; e, no entanto, $g(f(x)) = g(0) = 1$ para todo $x$ , de modo que $g \circ f \to 1 \neq 0$ . A função interna fica exatamente sobre o valor proibido $\ell = 0$ para sempre, e o limite de $g$ em $0$ ignora o que $g$ faz em $0$ . A ressalva do Corolário 13.4 — ou $g(\ell) = m$ (isto é, $g$ contínua em $\ell$ ), ou $f \neq \ell$ perto de $x_0$ — é precisamente o que exclui isso. A ideia de fechamento: na prática compõem-se funções contínuas e a ressalva é gratuita; ela morde apenas quando os limites são tomados ao longo de vizinhanças perfuradas, e é por isso que a definição de $\lim_{x \to x_0}$ usada neste livro inclui o ponto quando ele está no domínio.

13.2 Continuidade

Definição 13.6

$f$ é contínua em $x_0 \in I$ quando $f(x) \to f(x_0)$ quando $x \to x_0$ ; contínua em $I$ quando é contínua em todo ponto. Pelo Teorema 13.3: $f$ é contínua em $x_0$ se, e somente se, $f(u_n) \to f(x_0)$ para toda sequência $u_n \to x_0$ em $I$ .

Exemplo 13.7 (Uma taxonomia das descontinuidades)

Três modos de falhar num ponto, em ordem crescente de gravidade. Removível: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ em $\R^*$ tem limite $1$ em $0$ ; definir $f(0) = 1$ a conserta — a descontinuidade era um buraco, não uma característica. Salto: $\lfloor x \rfloor$ num inteiro tem limites laterais distintos ( $n - 1$ e $n$ ); escolha alguma de valor pode reconciliá-los, mas os dois meios-limites existem. Essencial: $\sin\frac1x$ em $0$ não tem limite lateral algum (Exercício 13.1) — oscilação sem acomodação. As funções monótonas só produzem o tipo do meio (os seus limites laterais sempre existem, sendo supremos e ínfimos), e é por isso que os seus conjuntos de descontinuidade são no máximo enumeráveis — um racional por salto. As derivadas, pelo teorema de Darboux (Exercício 14.10), só produzem o último tipo: uma função com descontinuidade de salto nunca é derivada de coisa alguma.

Proposição 13.8

Somas, produtos, quocientes (onde definidos) e compostas de funções contínuas são contínuos. Os polinômios, as frações racionais (fora dos seus polos), $\abs{\,\cdot\,}$ , $\exp$ , $\ln$ , as funções trigonométricas e hiperbólicas e as suas inversas (Capítulo 4) são contínuos nos seus domínios.

Demonstração. Operações: Corolário 13.4. As constantes e a identidade são contínuas diretamente pela definição ( $\delta = \varepsilon$ serve à identidade, e qualquer $\delta$ às constantes); sendo contínuos os produtos de funções contínuas, cada monômio $a_k x^k$ decorre por indução em $k$ , e as somas encerram os polinômios; uma fração racional é um quociente de dois polinômios, contínua onde o denominador não se anula. $\abs{\,\cdot\,}$ : desigualdade triangular inversa, $\bigl|\abs{f(x)} - \abs{f(x_0)}\bigr| \leq \abs{f(x) - f(x_0)}$ , de modo que o mesmo $\delta$ serve. Para as funções clássicas, concedemos aqui a continuidade; a derivabilidade (demonstrada no Capítulo 14) é mais forte. ∎

Exemplo 13.9 (Máximo e mínimo de funções contínuas)

Se $f, g$ são contínuas, então $\max(f, g)$ e $\min(f, g)$ também são: sem nenhuma análise de casos, graças às identidades

\max(f, g) = \frac{f + g + \abs{f - g}}{2}, \qquad \min(f, g) = \frac{f + g - \abs{f - g}}{2},

e à continuidade das somas e de $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposição 13.8). Em particular, $f^+ = \max(f, 0)$ e $f^- = \max(-f, 0)$ são contínuas, com $f = f^+ - f^-$ : a separação por sinal usada para as séries (Capítulo 17) e, em escala plena, na teoria da integração do volume do terceiro ano de graduação, não custa nada em regularidade.

Teorema 13.10 (Teorema do valor intermediário)

Seja $f$ contínua em $\intcc{a}{b}$ com $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ . Então $f(c) = 0$ para algum $c \in \intcc{a}{b}$ . Consequentemente, uma função contínua num intervalo assume todo valor entre dois quaisquer dos seus valores: $f(I)$ é um intervalo.

Demonstração. Dicotomia. Ponha $a_0 = a$ , $b_0 = b$ . Dado $\intcc{a_n}{b_n}$ com $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , seja $m$ o ponto médio: se $f(m) \leq 0$ , guarde $\intcc{m}{b_n}$ ; caso contrário, guarde $\intcc{a_n}{m}$ ; as condições de sinal persistem. As sequências $(a_n), (b_n)$ são adjacentes ( $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n}$ ), com limite comum $c$ (Teorema 11.11). Pela continuidade e pelo Teorema 11.7: $f(c) = \lim f(a_n) \leq 0$ e $f(c) = \lim f(b_n) \geq 0$ , de modo que $f(c) = 0$ .

Para a consequência: dados valores $f(u) < v < f(w)$ , aplique o acima a $x \mapsto f(x) - v$ no segmento de extremidades $u$ e $w$ ; assim, $f(I)$ é convexo, isto é, um intervalo (Proposição 10.19). ∎

Uma função contínua com f(a) < 0 < f(b) tem de cruzar o eixo: a demonstração por dicotomia do prende um ponto de cruzamento entre sequências adjacentes. — Uma função contínua com $f(a) < 0 < f(b)$ tem de cruzar o eixo: a demonstração por dicotomia do Teorema 13.10 prende um ponto de cruzamento entre sequências adjacentes.

Exemplo 13.11 (Uma equação, o protocolo completo)

Resolva $\eu^x = 3 - x$ em $\R$ : existência, unicidade, localização. Ponha $g(x) = \eu^x + x - 3$ , contínua. Localização e existência: $g(0) = -2 < 0$ e $g(1) = \eu - 2 > 0$ , de modo que o teorema do valor intermediário planta uma solução em $\intoo{0}{1}$ . Unicidade: $g$ é a soma da estritamente crescente $\eu^x$ com $x - 3$ , logo estritamente crescente em $\R$ ; uma função estritamente monótona assume cada valor no máximo uma vez, de sorte que a solução é única em todo o $\R$ (e não apenas no intervalo sondado). O protocolo — rearranjar para $g = 0$ , mudança de sinal para a existência, monotonicidade para a unicidade — resolve a maioria das perguntas do tipo “quantas soluções” em três linhas, e as tabelas de variação do Capítulo 14 o estendem a $g$ não monótona, cortando $\R$ em ramos monótonos.

Exemplo 13.12 (A dicotomia como algoritmo)

A demonstração do Teorema 13.10 calcula. Tome $f(x) = x^3 + x - 1$ : $f(0) = -1 < 0 < 1 = f(1)$ , de modo que uma raiz está em $\intoo{0}{1}$ . Dividindo ao meio:

f(0.5) = -0.375 < 0, \qquad f(0.75) = 0.171875 > 0, \qquad f(0.625) = -0.130859375 < 0 ,

de sorte que a raiz fica sucessivamente presa em $\intoo{0.5}{1}$ , depois em $\intoo{0.5}{0.75}$ , depois em $\intoo{0.625}{0.75}$ (valor verdadeiro: $c \approx 0.6823$ ). Após $n$ passos, o erro é no máximo $\frac{b - a}{2^n}$ : dez passos dão três casas decimais, vinte dão seis. A ideia de fechamento: o teorema do valor intermediário não é apenas um enunciado de existência — a sua demonstração por dicotomia é um algoritmo garantido, ainda que lento, de busca de raízes, contra o qual o método de Newton do Capítulo 14, rápido mas local, deve ser medido.

Teorema 13.13 (Teorema de Weierstrass)

Uma função contínua num segmento $\intcc{a}{b}$ é limitada e atinge as suas cotas: existem $c, d \in \intcc{a}{b}$ com

f(c) = \inf_{\intcc{a}{b}} f, \qquad f(d) = \sup_{\intcc{a}{b}} f .

Combinado com o Teorema 13.10: a imagem contínua de um segmento é um segmento $\intcc{f(c)}{f(d)}$ .

Demonstração. Limitada superiormente: caso contrário, tome $u_n$ com $f(u_n) \geq n$ . Pela compacidade do segmento (Teorema 12.19), uma subsequência $u_{\varphi(n)} \to x \in \intcc{a}{b}$ ; a continuidade dá $f(u_{\varphi(n)}) \to f(x)$ , mas $f(u_{\varphi(n)}) \geq \varphi(n) \to +\infty$ : contradição.

Supremo atingido: sejam $M = \sup f$ e $v_n$ com $f(v_n) > M - \frac{1}{n+1}$ (Proposição 10.4). Extraia $v_{\varphi(n)} \to d \in \intcc{a}{b}$ : então $f(d) = \lim f(v_{\varphi(n)}) = M$ , pelo confronto. O ínfimo se trata com $-f$ . ∎

Exemplo 13.14 (Mínimo positivo num segmento)

Seja $f$ contínua em $\intcc{0}{1}$ com $f(x) > 0$ para todo $x$ . Então $\inf f > 0$ : pelo teorema de Weierstrass, o ínfimo é um valor $f(c)$ , e $f(c) > 0$ por hipótese. Assim, uma função contínua positiva num segmento fica afastada de $0$ — argumento de duas linhas usado uma dúzia de vezes nos capítulos que vêm (denominadores sob controle, enquadramentos por funções escada, estimativas de erro). Num intervalo não compacto isso falha espetacularmente: $f(x) = x$ em $\intoc{0}{1}$ é contínua e positiva, com $\inf f = 0$ não atingido. A ideia de fechamento: “positiva” se promove a “uniformemente positiva” exatamente quando o domínio é compacto; toda hipótese do teorema de Weierstrass sustenta carga.

Observação 13.15 (Armadilhas frequentes em torno dos três teoremas)

(i) Imagens contínuas: só os segmentos são robustos. A imagem contínua de um intervalo aberto não precisa ser aberta ( $x \mapsto x^2$ leva $\intoo{-1}{1}$ sobre $\intco{0}{1}$ ), a imagem de um fechado não precisa ser fechada ( $\arctan$ leva o fechado $\R$ sobre o aberto $\intoo{-\frac\pi2}{\frac\pi2}$ ); mas a imagem de um segmento é um segmento (Teorema 13.13). (ii) O teorema do valor intermediário precisa de um intervalo: a função $x \mapsto \frac1x$ , contínua em $\intco{-1}{0} \cup \intoc{0}{1}$ , assume os valores $-1$ e $1$ e, no entanto, nunca se anula — o seu domínio são duas peças disjuntas, e o valor $0$ cai no vão; nomeie sempre o intervalo em que o teorema é aplicado. (iii) A continuidade uniforme é propriedade do par (função, conjunto): $x^2$ é uniformemente contínua em todo segmento e, ainda assim, não em $\R$ (Exemplo 13.20) — as palavras “uniformemente contínua” sem um domínio não significam nada. (iv) A continuidade da inversa não é formal: ela vale em intervalos por monotonicidade (Teorema 13.16), mas uma bijeção contínua entre uniões de intervalos pode ter inversa descontínua — a observação após aquele teorema existe porque os estudantes o citam sem a hipótese de intervalo.

13.3 Funções monótonas e funções inversas

Teorema 13.16 (Teorema da bijeção monótona)

Seja $f$ contínua e estritamente monótona num intervalo $I$ . Então

$f$ é uma bijeção de $I$ sobre o intervalo $J = f(I)$ ;
a inversa $f^{-1} \colon J \to I$ é estritamente monótona (no mesmo sentido) e contínua.

Demonstração. Digamos que $f$ seja estritamente crescente. (1) A injetividade é imediata pela monotonicidade estrita; a sobrejetividade sobre $f(I)$ é trivial, e $f(I)$ é um intervalo pelo Teorema 13.10.

(2) $f^{-1}$ é estritamente crescente: se $y < y'$ em $J$ , mas $f^{-1}(y) \geq f^{-1}(y')$ , aplicar a crescente $f$ dá $y \geq y'$ , absurdo. Continuidade de $f^{-1}$ em $y_0 = f(x_0) \in J$ : seja $\varepsilon > 0$ . Suponha primeiro $x_0$ interior a $I$ e encolha $\varepsilon$ de modo que $x_0 \pm \varepsilon \in I$ : as suas imagens satisfazem $f(x_0 - \varepsilon) < y_0 < f(x_0 + \varepsilon)$ . Tome $\delta = \min\bigl(y_0 - f(x_0 - \varepsilon),\, f(x_0 + \varepsilon) - y_0\bigr) > 0$ : para $\abs{y - y_0} \leq \delta$ , a monotonicidade de $f^{-1}$ comprime $f^{-1}(y)$ entre $x_0 - \varepsilon$ e $x_0 + \varepsilon$ . Se $x_0$ é, digamos, a extremidade esquerda de $I$ , só $x_0 + \varepsilon$ está disponível: então $y_0 = \min J$ (monotonicidade), todo $y \in J$ com $y - y_0 \leq f(x_0 + \varepsilon) - y_0$ satisfaz $x_0 \leq f^{-1}(y) \leq x_0 + \varepsilon$ , e a estimativa unilateral é exatamente a continuidade numa extremidade; a extremidade direita é simétrica. (Note: a continuidade de $f^{-1}$ não foi deduzida da de $f$ por simetria — é a monotonicidade num intervalo que faz o trabalho.) ∎

Observação 13.17

Este teorema é o que a Definição 4.9 e a Proposição 4.21 usaram silenciosamente: $\arcsin$ , $\arccos$ , $\arctan$ , $\operatorname{arsinh}$ , … são contínuas. Um complemento (Exercício 13.10): uma função contínua e injetiva num intervalo é automaticamente estritamente monótona, de modo que a hipótese de monotonicidade nada custa.

Exemplo 13.18 (Raízes de todas as ordens)

Para $n \in \N^*$ , a função $f(x) = x^n$ é contínua e estritamente crescente em $\intco{0}{+\infty}$ , com $f(0) = 0$ e $f(x) \to +\infty$ : a sua imagem é $\intco{0}{+\infty}$ (Teorema 13.10 para a estrutura de intervalo). O teorema da bijeção monótona entrega então, de uma só vez, uma inversa contínua estritamente crescente

x \mapsto x^{1/n} \colon \intco{0}{+\infty} \to \intco{0}{+\infty} :

existência, unicidade e continuidade das raízes $n$ -ésimas, sem cálculo algum. Compare com o Exercício 10.12, que construiu $\sqrt y$ à mão a partir do supremo: um capítulo de teoria comprimiu aquela página de trabalho em duas linhas, e as mesmas duas linhas legitimaram $\arcsin$ , $\arctan$ e $\operatorname{arsinh}$ antes dela. A ideia de fechamento: um bom teorema é trabalho armazenado.

13.4 Continuidade uniforme

Definição 13.19

$f \colon I \to \R$ é uniformemente contínua quando

\forall \varepsilon > 0,\ \exists \delta > 0,\ \forall x, y \in I, \qquad \abs{x - y} \leq \delta \implies \abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon .

O ponto: $\delta$ depende apenas de $\varepsilon$ , e não da localização em $I$ . A continuidade uniforme implica a continuidade; uma função lipschitziana ( $\abs{f(x) - f(y)} \leq k \abs{x - y}$ ) é uniformemente contínua ( $\delta = \varepsilon/k$ ).

Exemplo 13.20

$x \mapsto x^2$ é contínua em $\R$ , mas não é uniformemente contínua: $\abs{(n + \frac 1n)^2 - n^2} = 2 + \frac{1}{n^2} \geq 2$ , embora os argumentos estejam à distância $\frac 1n \to 0$ . Em qualquer intervalo limitado ela é lipschitziana, logo uniformemente contínua — coerente com o teorema de Heine, abaixo.

Exemplo 13.21 (Módulos uniformes, explicitamente)

Num segmento, Heine garante um $\delta$ uniforme; muitas vezes também se pode calculá-lo. Para $f(x) = x^2$ em $\intcc{0}{10}$ :

\abs{x^2 - y^2} = \abs{x + y}\,\abs{x - y} \leq 20\,\abs{x - y},

de modo que $\delta = \frac{\varepsilon}{20}$ serve uniformemente (um módulo lipschitziano, linear em $\varepsilon$ ). Para $\sqrt x$ em $\intcc{0}{1}$ : $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ (Exercício 13.9), de sorte que $\delta = \varepsilon^2$ serve — uniforme, mas não linear: perto de $0$ a raiz quadrada é íngreme, e o preço aparece no expoente de $\varepsilon$ , não numa falha de uniformidade. A ideia de fechamento: a continuidade uniforme é um espectro, não um sim/não — a função $\delta(\varepsilon)$ , chamada módulo, mede o quão cara é a uniformidade, e ser lipschitziana é simplesmente a sua melhor nota.

Teorema 13.22 (Heine)

Uma função contínua num segmento $\intcc{a}{b}$ é uniformemente contínua.

Demonstração. Por absurdo: suponha que algum $\varepsilon_0 > 0$ derrote todo $\delta$ . Com $\delta = \frac{1}{n+1}$ , tome $x_n, y_n \in \intcc{a}{b}$ com $\abs{x_n - y_n} \leq \frac{1}{n+1}$ e $\abs{f(x_n) - f(y_n)} > \varepsilon_0$ . A compacidade (Teorema 12.19) extrai $x_{\varphi(n)} \to c \in \intcc{a}{b}$ ; então $y_{\varphi(n)} \to c$ também (confronto sobre $\abs{x - y}$ ). A continuidade em $c$ dá $f(x_{\varphi(n)}) \to f(c)$ e $f(y_{\varphi(n)}) \to f(c)$ , de modo que $\abs{f(x_{\varphi(n)}) - f(y_{\varphi(n)})} \to 0 < \varepsilon_0$ : contradição. ∎

Exemplo 13.23 (Limitada, contínua e, ainda assim, não uniformemente)

A função $f(x) = \sin(x^2)$ é contínua e limitada em $\R$ , mas não é uniformemente contínua. Tome

x_n = \sqrt{2\pi n}, \qquad y_n = \sqrt{2\pi n + \tfrac\pi2}: \qquad y_n - x_n = \frac{\pi/2}{\sqrt{2\pi n + \frac\pi2} + \sqrt{2\pi n}} \longrightarrow 0 ,

e, no entanto, $f(y_n) - f(x_n) = \sin\bigl(2\pi n + \frac\pi2\bigr) - \sin(2\pi n) = 1 - 0 = 1$ para todo $n$ : nenhum $\delta$ único pode servir a $\varepsilon = \frac12$ em toda parte. Geometricamente, as oscilações de $\sin(x^2)$ aceleram: o gráfico completa uma onda inteira em janelas cada vez mais curtas, de modo que a escala horizontal que um dado $\varepsilon$ exige encolhe a zero quando $x$ cresce. A ideia de fechamento: a limitação não compra uniformidade (este exemplo), e a ilimitação não a impede ( $\sqrt x$ , Exercício 13.9); o que decide é o módulo de oscilação, e o teorema de Heine diz que domínios compactos o disciplinam automaticamente.

Exemplo 13.24 (A experiência da calculadora, explicada)

Digite um número qualquer numa calculadora e aperte $\cos$ repetidamente: o visor trava em $0.7390851\dots$ Por quê? Após um toque, o valor está em $\intcc{-1}{1}$ ; após dois, em $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq \intcc{0.54}{1}$ , um intervalo estável para $\cos$ . Nele, $\abs{\cos a - \cos b} \leq \sin(1)\,\abs{a - b}$ com $\sin 1 = 0.841\dots < 1$ (a estimativa de produto em soma do Problema 11.1, ou a desigualdade do valor médio do Capítulo 14): a iteração contrai, de modo que, pelo passo de controle do erro do Método 11.23,

\abs{u_n - c} \leq (0.842)^{\,n-2}\,\abs{u_2 - c} \longrightarrow 0 ,

em que $c$ é o único ponto fixo $\cos c = c$ (Exercício 13.6). Cerca de $40$ toques compram três casas decimais ( $0.842^{40} \approx 10^{-3}$ ) — uma taxa geométrica, mais branda que o $2^{-n}$ por passo da dicotomia, mas cada toque custa uma tecla, ao passo que cada passo de dicotomia custa uma avaliação completa de sinal. A ideia de fechamento: o retrato de ponto fixo do Capítulo 11 e os teoremas de existência deste capítulo são duas metades de uma mesma história — o TVI encontra $c$ , e a contração o alcança.

Observação 13.25 (Onde estes teoremas trabalham em seguida)

Os três pilares deste capítulo alimentam cada um deles um capítulo posterior. O teorema do valor intermediário alimenta todo argumento de existência de soluções e o teorema da bijeção monótona; o teorema de Weierstrass transforma problemas de otimização em teoremas (Rolle e o teorema do valor médio no Capítulo 14 começam exatamente ali); o teorema de Heine é a razão pela qual funções contínuas em segmentos podem ser integradas no Capítulo 15 — o $\delta$ uniforme é o que faz as somas de Riemann convergirem. No volume do segundo ano de graduação, o mesmo trio reaparece em espaços vetoriais normados, com a compacidade fazendo o trabalho que os segmentos fazem aqui.

Observação 13.26 (Perspectivas dentro deste volume)

A continuidade está prestes a ser superada, mas nunca aposentada. O Capítulo 14 a fortalece em derivabilidade e retribui o favor (derivável implica contínua); o Capítulo 15 se apoia nela duas vezes, por Heine para a construção e pelo teorema fundamental, cujo objeto central $x \mapsto \int_a^x f$ promove um $f$ meramente contínuo a uma primitiva $C^1$ . No Capítulo 25, a continuidade em duas variáveis guarda uma armadilha que vale antecipar: a função $\frac{xy}{x^2 + y^2}$ (estendida por $0$ ) é contínua em $x$ para cada $y$ fixado e em $y$ para cada $x$ fixado e, ainda assim, não é contínua na origem — ao longo da diagonal $x = y$ ela vale constantemente $\frac12$ . A continuidade separada é estritamente mais fraca que a continuidade: a caracterização sequencial sobrevive à mudança para $\R^2$ , mas as sequências devem poder se aproximar de todas as direções, e não apenas ao longo dos eixos.

13.5 Exercícios

Exercício 13.1 ★

Usando a caracterização sequencial, demonstre que $x \mapsto \sin\frac 1x$ não tem limite em $0^+$ (exiba duas sequências). E $x \mapsto x \sin\frac 1x$ , tem?

Solução

Solução de Exercício 13.1.

Tome $u_n = \frac{1}{2\pi n + \pi/2}$ e $v_n = \frac{1}{2\pi n}$ : ambas tendem a $0^+$ e, no entanto, $\sin\frac{1}{u_n} = 1$ e $\sin\frac{1}{v_n} = 0$ . Duas sequências, dois limites diferentes das imagens: pelo Teorema 13.3, não há limite em $0^+$ .

$x \sin\frac1x$ : comprimida por $\abs{x\sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , de modo que o limite em $0$ existe e vale $0$ .

Exercício 13.2 ★

Estude a continuidade em $\R$ de $f(x) = \lfloor x \rfloor$ e de $g(x) = x - \lfloor x \rfloor$ , e de $h(x) = \lfloor x \rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ .

Solução

Solução de Exercício 13.2.

$f = \lfloor\cdot\rfloor$ é contínua em $\R \setminus \Z$ (localmente constante) e descontínua em cada $n \in \Z$ : limite à esquerda $n - 1$ , valor $n$ .

$g(x) = x - \lfloor x\rfloor$ : mesmos pontos de descontinuidade (a identidade é contínua, de modo que $g$ herda os saltos de $f$ ); em $n \in \Z$ , o limite à esquerda é $1 \neq 0 = g(n)$ .

$h(x) = \lfloor x\rfloor + (x - \lfloor x\rfloor)^2$ : em $\intco{n}{n + 1}$ , $h(x) = n + (x - n)^2$ , contínua ali; em $x = n$ , o limite à esquerda é $(n-1) + 1 = n = h(n)$ : os saltos se cancelam. $h$ é contínua em $\R$ (e estritamente crescente).

Exercício 13.3 ★

Demonstre que a equação $x^5 - 3x + 1 = 0$ tem pelo menos três soluções reais (avalie em pontos bem escolhidos e aplique o Teorema 13.10 em três segmentos disjuntos).

Solução

Solução de Exercício 13.3.

$P(x) = x^5 - 3x + 1$ : $P(-2) = -32 + 6 + 1 = -25 < 0$ ; $P(0) = 1 > 0$ ; $P(1) = -1 < 0$ ; $P(2) = 27 > 0$ . Três mudanças de sinal nos segmentos disjuntos $\intcc{-2}{0}$ , $\intcc{0}{1}$ , $\intcc{1}{2}$ : pelo Teorema 13.10, ao menos três raízes. (Sendo de grau $5$ , $P$ tem no máximo cinco; um estudo de variação mostraria exatamente três.)

Exercício 13.4 ★

Demonstre que todo polinômio de grau ímpar tem uma raiz real.

Solução

Solução de Exercício 13.4.

Seja $P = a_{2m+1}X^{2m+1} + \dots$ com $a_{2m+1} > 0$ (caso contrário, troque $P$ por $-P$ ). Fatorando o termo dominante, $P(x) = a_{2m+1} x^{2m+1}\bigl(1 + o(1)\bigr)$ quando $x \to \pm\infty$ : assim, $P(x) \to +\infty$ em $+\infty$ e $-\infty$ em $-\infty$ . Tome $a$ com $P(a) < 0$ e $b$ com $P(b) > 0$ : o teorema do valor intermediário em $\intcc{a}{b}$ fornece uma raiz.

Exercício 13.5 ★★

(Ponto fixo) Seja $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ contínua. Demonstre que $f$ tem um ponto fixo: $f(c) = c$ para algum $c$ . Ilustre que nem a continuidade nem o segmento podem ser abandonados.

Solução

Solução de Exercício 13.5.

Seja $g(x) = f(x) - x$ , contínua em $\intcc{0}{1}$ . Como $f$ leva em $\intcc{0}{1}$ : $g(0) = f(0) \geq 0$ e $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Pelo Teorema 13.10, $g(c) = 0$ para algum $c$ : um ponto fixo.

Necessidade das hipóteses: em $\intcc{0}{1}$ , a aplicação descontínua $f(x) = 1$ para $x \leq \frac12$ , $f(x) = 0$ para $x > \frac12$ , não tem ponto fixo; no intervalo $\intoo{0}{1}$ (que não é segmento), $f(x) = \frac x2$ é contínua em $\intoo{0}{1}$ , sem ponto fixo (o candidato $0$ está faltando); em $\R$ , $f(x) = x + 1$ .

Exercício 13.6 ★★

Demonstre que a equação $\cos x = x$ tem exatamente uma solução real, e que ela está em $\intoo{0}{1}$ .

Solução

Solução de Exercício 13.6.

$g(x) = \cos x - x$ é contínua, $g(0) = 1 > 0$ , $g(1) = \cos 1 - 1 < 0$ : existe uma solução em $\intoo{0}{1}$ (Teorema 13.10). Unicidade: $g$ é estritamente decrescente em $\R$ — para $x \leq 0$ , $g(x) \geq 1 - x > 0$ não tem zero, de qualquer modo; e $g'(x) = -\sin x - 1 \leq 0$ , com igualdade apenas em pontos isolados ( $x \equiv -\frac\pi2 \bmod 2\pi$ ), de sorte que $g$ é estritamente decrescente (Capítulo 14; alternativamente: em $\intcc{0}{1}$ , $\cos$ é estritamente decrescente e $-x$ também, logo $g$ é). Uma função estritamente monótona se anula no máximo uma vez.

Exercício 13.7 ★★

Seja $f \colon \R \to \R$ contínua com $f(x) \to +\infty$ quando $x \to \pm\infty$ . Demonstre que $f$ atinge um mínimo global em $\R$ . (Reduza a um segmento que contenha um conjunto de subnível.)

Solução

Solução de Exercício 13.7.

Fixe $M = f(0) + 1$ . Existe $A > 0$ com $f(x) \geq M$ para $\abs x \geq A$ (definição dos dois limites infinitos; tome o maior limiar). No segmento $\intcc{-A}{A}$ , o teorema de Weierstrass (Teorema 13.13) fornece $c$ com $f(c) = \inf_{\intcc{-A}{A}} f \leq f(0)$ . Para $\abs x \geq A$ : $f(x) \geq M > f(0) \geq f(c)$ . Logo, $f(c)$ é o mínimo global.

Exercício 13.8 ★★

Seja $f \colon \R \to \R$ contínua e periódica (de período $T > 0$ ). Demonstre que $f$ é limitada e atinge as suas cotas, e que existe $c$ com $f(c + \frac T2) = f(c)$ . (Para o segundo ponto, estude $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ ao longo de um período.)

Solução

Solução de Exercício 13.8.

No segmento $\intcc{0}{T}$ , $f$ é limitada e atinge as suas cotas (Teorema 13.13); pela periodicidade, essas são as cotas em todo o $\R$ , ainda atingidas.

Seja $g(x) = f(x + \frac T2) - f(x)$ , contínua. Então

g(0) + g\bigl(\tfrac T2\bigr) = \bigl(f(\tfrac T2) - f(0)\bigr) + \bigl(f(T) - f(\tfrac T2)\bigr) = f(T) - f(0) = 0 :

$g(0)$ e $g(\frac T2)$ têm sinais opostos (ou um deles se anula), de modo que o teorema do valor intermediário em $\intcc{0}{T/2}$ dá $c$ com $g(c) = 0$ , isto é, $f(c + \frac T2) = f(c)$ .

Exercício 13.9 ★★

Demonstre que $x \mapsto \sqrt x$ é uniformemente contínua em $\intco{0}{+\infty}$ , embora não seja lipschitziana perto de $0$ . (Demonstre e use $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ .)

Solução

Solução de Exercício 13.9.

Primeiro a desigualdade: para $0 \leq y \leq x$ ,

\bigl(\sqrt y + \sqrt{x - y}\bigr)^2 = x + 2\sqrt{y(x-y)} \geq x,

de modo que $\sqrt x \leq \sqrt y + \sqrt{x - y}$ , isto é, $\sqrt x - \sqrt y \leq \sqrt{x - y}$ . Portanto, $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt{\abs{x - y}}$ para todos $x, y \geq 0$ .

Continuidade uniforme: dado $\varepsilon > 0$ , tome $\delta = \varepsilon^2$ ; então $\abs{x - y} \leq \delta$ implica $\abs{\sqrt x - \sqrt y} \leq \sqrt\delta = \varepsilon$ .

Não lipschitziana perto de $0$ : $\frac{\sqrt x - \sqrt 0}{x - 0} = \frac{1}{\sqrt x} \to +\infty$ quando $x \to 0^+$ , de sorte que constante $k$ alguma pode dominar todos os quocientes de diferenças.

Exercício 13.10 ★★★

Seja $f$ contínua e injetiva num intervalo $I$ . Demonstre que $f$ é estritamente monótona. Sugestão: se não, existem $a < b < c$ com, digamos, $f(b) > f(a)$ e $f(b) > f(c)$ ; aplique o teorema do valor intermediário a um valor entre $\max(f(a), f(c))$ e $f(b)$ dos dois lados de $b$ .

Solução

Solução de Exercício 13.10.

Suponha $f$ injetiva, contínua e não estritamente monótona. Então existem $a < b < c$ em $I$ com $f(b)$ não entre $f(a)$ e $f(c)$ — com efeito, se, para todas as triplas, o valor do meio estivesse entre os das pontas, $f$ seria monótona (compare dois pares quaisquer; uma curta verificação por casos). Digamos que $f(b) > \max(f(a), f(c))$ (o outro caso é simétrico: troque $f$ por $-f$ ). Escolha $v$ com $\max(f(a), f(c)) < v < f(b)$ . Pelo teorema do valor intermediário aplicado em $\intcc{a}{b}$ e em $\intcc{b}{c}$ , existem $u_1 \in \intoo{a}{b}$ e $u_2 \in \intoo{b}{c}$ com $f(u_1) = v = f(u_2)$ : dois pontos distintos com imagens iguais, contradizendo a injetividade.

Exercício 13.11 ★★★

(Equação funcional de Cauchy, caso contínuo) Seja $f \colon \R \to \R$ contínua com $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y$ . Demonstre que $f(x) = f(1)\,x$ para todo $x$ : primeiro em $\N$ , $\Z$ e $\Q$ (só pela aditividade) e depois em $\R$ , por continuidade e densidade (Teorema 10.14).

Solução

Solução de Exercício 13.11.

$f(0) = f(0+0) = 2f(0)$ dá $f(0) = 0$ ; $f(-x) = -f(x)$ vem de $0 = f(x - x)$ . Ponha $\alpha = f(1)$ . Indução: $f(n) = n\alpha$ para $n \in \N$ , e depois para $n \in \Z$ , pela imparidade. Para $q \in \N^*$ : $q\,f(\frac pq) = f(p) = p\alpha$ (some $\frac pq$ a si mesmo $q$ vezes), de modo que $f(\frac pq) = \alpha\frac pq$ : $f = \alpha\, \mathrm{id}$ em $\Q$ .

Sejam agora $x \in \R$ e $(r_n)$ uma sequência de racionais com $r_n \to x$ (densidade, Teorema 10.14, aplicada em intervalos encaixados; ou $r_n = \frac{\lfloor nx\rfloor}{n}$ ). Continuidade: $f(x) = \lim f(r_n) = \lim \alpha r_n = \alpha x$ .

Exercício 13.12 ★★★

Seja $f \colon \intco{0}{+\infty} \to \R$ contínua com $f(x) \to \ell \in \R$ quando $x \to +\infty$ . Demonstre que $f$ é uniformemente contínua em $\intco{0}{+\infty}$ . (Corte num $A$ grande: Heine em $\intcc{0}{A+1}$ , e o limite além de $A$ ; faça os dois regimes se sobreporem.)

Solução

Solução de Exercício 13.12.

Seja $\varepsilon > 0$ . Pelo limite em $+\infty$ , existe $A$ com $\abs{f(x) - \ell} \leq \frac\varepsilon2$ para $x \geq A$ ; logo, para $x, y \geq A$ : $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ (sem necessidade de proximidade).

No segmento $\intcc{0}{A + 1}$ , o teorema de Heine (Teorema 13.22) dá $\delta_0 > 0$ para esse $\varepsilon$ ; ponha $\delta = \min(\delta_0, 1)$ .

Tome agora quaisquer $x, y \geq 0$ com $\abs{x - y} \leq \delta$ , digamos $x \leq y$ . Se $y \leq A + 1$ : os dois estão no segmento, e o $\delta_0$ de Heine se aplica. Caso contrário, $y > A + 1$ e, então, $x \geq y - 1 > A$ : os dois estão em $\intco{A}{+\infty}$ , onde o argumento do limite se aplica. Nos dois casos, $\abs{f(x) - f(y)} \leq \varepsilon$ : continuidade uniforme.

13.6 Problema: A equação funcional de Cauchy e as suas irmãs

Problema 13.1

Problema de fim de semana — $f(x + y) = f(x) + f(y)$ : a regularidade força a linearidade, e o retrato dos monstros

Que funções satisfazem $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos os reais $x$ e $y$ ? Cauchy levantou a questão em 1821; a resposta é um paradigma. O Exercício 13.11 mostra que uma tal função aditiva é linear em $\Q$ e que a continuidade plena força $f(x) = cx$ . Este problema afia a hipótese dramaticamente — continuidade num único ponto, ou monotonicidade, ou mera limitação num pequeno intervalo, cada uma basta — e depois pinta o retrato de uma hipotética solução não linear (o seu gráfico preenche o plano), resolve as equações irmãs que caracterizam $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ e $cx^2$ , e se encerra com a equação de Jensen e o teorema convexa no ponto médio $+$ contínua $\implies$ convexa. Ao longo do problema, aditiva significa: $f(x + y) = f(x) + f(y)$ para todos $x, y \in \R$ .

Parte I — $\Q$ -linearidade e um ponto de continuidade.

Seja $f$ aditiva. Pelo Exercício 13.11, $f(r) = f(1)\,r$ para $r$ racional. Demonstre o enunciado mais fino usado abaixo: para todo $x \in \R$ e todo $r \in \Q$ , $f(rx) = r\,f(x)$ ( $f$ é $\Q$ -linear).
Suponha a $f$ aditiva contínua num único ponto $x_0$ . Mostre que $f$ é contínua em toda parte (calcule $f(x + h) - f(x)$ em termos de $f(x_0 + h) - f(x_0)$ ), e portanto $f(x) = f(1)\,x$ .
Mostre que uma função aditiva fica determinada pela sua restrição a qualquer subgrupo denso: se duas funções aditivas coincidem em $\Z + \sqrt2\,\Z$ e ambas são contínuas, elas são iguais — ao passo que, sem continuidade, prescrever $f(1) = 0$ e $f(\sqrt 2) = 1$ é compatível com a $\Q$ -linearidade no subgrupo. Calcule $f(m + n\sqrt2)$ para essa prescrição.
Seja $f$ aditiva e limitada superiormente por $M$ em algum intervalo $\intcc{a}{b}$ com $a < b$ . Mostre que $f$ é limitada superiormente em $\intcc{0}{\ell}$ , com $\ell = b - a$ (translade por $a$ ).

Parte II — A escada da regularidade.

Continuando a questão 4: usando $f(\ell - t) + f(t) = f(\ell)$ , mostre que $f$ é também limitada inferiormente em $\intcc{0}{\ell}$ : $\abs f \leq C$ ali.
Mostre que $\abs{f(t)} \leq \frac{C}{n}$ para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ , e deduza que $f$ é contínua em $0$ (a imparidade trata o lado esquerdo), logo em toda parte (questão 2): uma função aditiva limitada em um intervalo é linear.
Deduza o caso monótono: uma função aditiva não decrescente em algum $\intcc{a}{b}$ ( $a < b$ ) é $f(x) = cx$ com $c \geq 0$ .
Monte a escada da regularidade: para uma $f$ aditiva, são equivalentes — (a) $f(x) = cx$ ; (b) $f$ contínua; (c) $f$ contínua num ponto; (d) $f$ monótona em algum intervalo não degenerado; (e) $f$ limitada em algum intervalo não degenerado. Organize as implicações de modo que cada uma seja trivial ou já demonstrada.
Verifique que as questões 4–6 consumiram apenas uma estimativa superior: uma função aditiva limitada superiormente num intervalo não degenerado já é linear. Deduza o enunciado espelhado para uma estimativa inferior e registre a forma mais forte assim obtida do degrau (e) da escada.

Parte III — Retrato de um monstro. Suponha agora que $f$ seja aditiva, mas não linear.

Mostre que existem reais não nulos $u, v$ com $\dfrac{f(u)}{u} \neq \dfrac{f(v)}{v}$ , e que os vetores $(u, f(u))$ e $(v, f(v))$ geram o plano (o seu determinante $u f(v) - v f(u)$ é não nulo).
Mostre que o gráfico de $f$ contém todos os pontos

$r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)), \qquad r, s \in \Q ,$

e deduza que o gráfico é denso em $\R^2$ : para todo ponto $(x_0, y_0)$ do plano e todo $\varepsilon > 0$ , algum $(x, f(x))$ está a menos de $\varepsilon$ dele (resolva o sistema real $2\times2$ e depois aproxime os coeficientes reais por racionais).
Deduza da questão 11 o retrato completo: uma função aditiva não linear é ilimitada em todo intervalo não degenerado, descontínua em todo ponto, monótona em intervalo nenhum, e a sua imagem de qualquer intervalo é densa em $\R$ . Reconcilie com a questão 8.
Monstros existem — num subgrupo denso, construtivamente: em $G = \Z + \sqrt2\,\Z$ , defina $f(m + n\sqrt2) = n$ . Mostre que $f$ está bem definida e é aditiva em $G$ , e que $f$ é ilimitada em $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ para todo $\varepsilon > 0$ (para $N$ fixado, apenas finitos $g = m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ têm $\abs n \leq N$ ; e, no entanto, $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ é infinito). Explique num parágrafo por que estender uma tal $f$ a todo o $\R$ exige uma base de $\R$ como $\Q$ -espaço vetorial (uma base de Hamel), cuja existência é uma questão de axioma da escolha, além deste volume.

Parte IV — As equações irmãs. Todas as funções aqui são contínuas.

Seja $f \colon \R \to \R$ contínua, não identicamente $0$ , com $f(x + y) = f(x)f(y)$ . Mostre que $f(x) = f\bigl(\frac x2\bigr)^2 \geq 0$ , depois que $f > 0$ em toda parte, e depois que $f(x) = \eu^{cx}$ para algum $c$ : as exponenciais são exatamente os morfismos contínuos de $(\R, +)$ em $(\R^*, \times)$ .
Seja $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \R$ contínua com $f(xy) = f(x) + f(y)$ . Mostre que $f(x) = c\ln x$ (transporte por $\exp$ ).
Seja $f \colon \intoo{0}{+\infty} \to \intoo{0}{+\infty}$ contínua com $f(xy) = f(x)f(y)$ . Mostre que $f(x) = x^c$ .
Encontre todas as $f \colon \R \to \R$ contínuas com

$f(x + y) = f(x) + f(y) + f(x)f(y) .$

(Estude $h = 1 + f$ ; trate o caso degenerado separadamente.)
(Paralelogramo) Encontre todas as $f \colon \R \to \R$ contínuas com $f(x + y) + f(x - y) = 2f(x) + 2f(y)$ : mostre que $f$ é par, que $f(0) = 0$ , que $f(nx) = n^2 f(x)$ por indução, e depois que $f(x) = f(1)\,x^2$ . (Esta equação é a impressão digital das formas quadráticas — a lei do paralelogramo que detecta, no volume do segundo ano, quais normas provêm de um produto interno.)

Parte V — Jensen e a convexidade no ponto médio.

(Equação de Jensen) Seja $f \colon \R \to \R$ contínua com $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ . Mostre que $g = f - f(0)$ satisfaz $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ , deduza que $g$ é aditiva e conclua que $f(x) = cx + d$ .
Suponha agora apenas a desigualdade: $f$ contínua com

$f\Bigl(\frac{x + y}{2}\Bigr) \leq \frac{f(x) + f(y)}{2} \qquad (x, y \in \R).$

Demonstre por indução em $n$ que, para todos os pesos diádicos $\lambda = \frac{k}{2^n} \in \intcc{0}{1}$ :

$f\bigl(\lambda x + (1 - \lambda)y\bigr) \leq \lambda f(x) + (1 - \lambda) f(y) .$
Estenda por continuidade e pela densidade dos diádicos (Exercício 10.8) a todo $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : uma função contínua e convexa no ponto médio satisfaz a desigualdade de convexidade plena (noção estudada sistematicamente no Capítulo 14).
Mostre que a continuidade não pode ser abandonada: uma $f$ aditiva não linear satisfaz a igualdade no ponto médio da questão 19 e, ainda assim, nenhuma desigualdade de convexidade em intervalo algum (questão 12). Moral: a convexidade no ponto médio é uma propriedade de estágios enumeráveis (os diádicos), e a convexidade, uma propriedade do contínuo; a continuidade é a ponte — exatamente como nas Partes I–II.

Parte VI — Últimas variações e síntese.

Encontre todas as $f \colon \R \to \R$ contínuas com $f(x + y) = f(x) + f(y) + xy$ (subtraia a solução particular $\frac{x^2}{2}$ ).
Demonstre: se $f \colon \R \to \R$ é contínua e aditiva apenas num subgrupo denso $G$ (isto é, $f(g + g') = f(g) + f(g')$ para $g, g' \in G$ ), então $f$ é aditiva em $\R$ . Mais geralmente, duas funções contínuas que coincidem num subconjunto denso de $\R$ são iguais.
Síntese, uma frase para cada: (i) enuncie de memória a escada da regularidade da questão 8; (ii) explique por que “gráfico denso no plano” é a imagem mental certa para a falha da regularidade; (iii) liste as cinco funções clássicas caracterizadas nas Partes IV–V e o método único que capturou todas elas; (iv) nomeie os dois lugares em que a densidade de $\Q$ (ou dos diádicos) em $\R$ carregou o argumento, e o lugar em que ela não pôde (questão 13).

Solução

Solução de Problema 13.1.

1. Para $n \in \N$ : $f(nx) = n f(x)$ , por indução ( $f((n+1)x) = f(nx) + f(x)$ ). Além disso, $f(0) = 2f(0)$ dá $f(0) = 0$ , e $0 = f(x - x) = f(x) + f(-x)$ dá a imparidade, de modo que $f(nx) = nf(x)$ para $n \in \Z$ . Para $r = \frac pq$ : $q\,f\bigl(\tfrac pq x\bigr) = f(px) = p\,f(x)$ , logo $f(rx) = r f(x)$ : $f$ é $\Q$ -linear.

2. A aditividade dá, para todos $x$ e $h$ :

f(x + h) - f(x) = f(h) = f(x_0 + h) - f(x_0) .

Quando $h \to 0$ , o lado direito tende a $0$ pela continuidade em $x_0$ ; portanto, $f(x + h) \to f(x)$ : continuidade em todo $x$ . Então o Exercício 13.11 fornece $f(x) = f(1)\,x$ .

3. Duas funções aditivas contínuas são da forma $cx$ e $c'x$ (questão 2); se elas coincidem no subgrupo denso $\Z + \sqrt2\,\Z$ (Exercício 10.9), então $c\,g = c'g$ para algum $g \neq 0$ nele: $c = c'$ , e as funções são iguais. Sem continuidade: a $\Q$ -linearidade só amarra valores em $\Q$ -combinações, e $1, \sqrt2$ são $\Q$ -independentes ( $\sqrt2 \notin \Q$ ), de modo que $f(1) = 0$ , $f(\sqrt2) = 1$ é compatível e força, no subgrupo,

f(m + n\sqrt2) = m\,f(1) + n\,f(\sqrt2) = n .

4. Para $t \in \intcc{0}{\ell}$ : $a + t \in \intcc{a}{b}$ , de modo que $f(t) = f(a + t) - f(a) \leq M - f(a) =: M'$ .

5. Para $t \in \intcc{0}{\ell}$ , também $\ell - t \in \intcc{0}{\ell}$ , e a aditividade dá $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t) \geq f(\ell) - M'$ . Portanto, $\abs{f} \leq C$ em $\intcc{0}{\ell}$ , com $C = \max\bigl(\abs{M'}, \abs{f(\ell) - M'}\bigr)$ .

6. Para $t \in \intcc{0}{\ell/n}$ : $nt \in \intcc{0}{\ell}$ e $f(t) = \frac{f(nt)}{n}$ (questão 1), de modo que $\abs{f(t)} \leq \frac Cn$ . Dado $\varepsilon > 0$ , escolha $n > \frac C\varepsilon$ : para $0 \leq h \leq \frac\ell n$ , $\abs{f(h)} \leq \varepsilon$ , e, para $h$ negativo, use $f(h) = -f(-h)$ . Assim, $f(h) \to 0 = f(0)$ quando $h \to 0$ : continuidade em $0$ , logo em toda parte (questão 2), logo $f(x) = f(1)x$ .

7. Se $f$ é não decrescente em $\intcc{a}{b}$ , então $f(a) \leq f(x) \leq f(b)$ ali: limitada, logo linear pela questão 6, $f(x) = cx$ ; e $c(b - a) = f(b) - f(a) \geq 0$ força $c \geq 0$ .

8. (a) $\Rightarrow$ (b) $\Rightarrow$ (c): trivial. (c) $\Rightarrow$ (a): questão 2. (a) $\Rightarrow$ (d): uma função linear é monótona em toda parte. (d) $\Rightarrow$ (e): uma função monótona em $\intcc{a}{b}$ é limitada ali pelos seus valores nas extremidades. (e) $\Rightarrow$ (a): questões 4–6. Os cinco enunciados são equivalentes — a escada da regularidade.

9. A questão 4 usou apenas a cota superior $M$ ; a questão 5 deduziu a cota inferior da superior via a reflexão $f(t) = f(\ell) - f(\ell - t)$ ; a questão 6 rodou então sobre $\abs f \leq C$ . Assim: aditiva e limitada superiormente num intervalo não degenerado já implica linear. Para uma cota inferior, aplique isso a $-f$ (aditiva, limitada superiormente). Degrau (e) mais forte: uma cota unilateral num intervalo basta.

10. Se $\frac{f(x)}{x}$ fosse uma mesma constante $c$ para todo $x \neq 0$ , $f$ seria linear; assim, existem $u, v$ não nulos com $\frac{f(u)}u \neq \frac{f(v)}v$ , isto é, $u f(v) - v f(u) \neq 0$ : o determinante dos vetores $(u, f(u))$ , $(v, f(v))$ é não nulo, e eles geram $\R^2$ .

11. Para $r, s \in \Q$ : $f(ru + sv) = r f(u) + s f(v)$ (questão 1 duas vezes mais aditividade), de modo que o gráfico contém

\bigl(ru + sv,\; r f(u) + s f(v)\bigr) = r\,(u, f(u)) + s\,(v, f(v)) .

Dados $(x_0, y_0)$ e $\varepsilon > 0$ : o sistema real $2 \times 2$ $a(u, f(u)) + b(v, f(v)) = (x_0, y_0)$ tem uma (única) solução $(a, b)$ , pois o determinante é não nulo. Tome racionais $r_n \to a$ , $s_n \to b$ : então $r_n(u, f(u)) + s_n(v, f(v)) \to (x_0, y_0)$ coordenada a coordenada, e cada um desses pontos está no gráfico: o gráfico é denso em $\R^2$ .

12. Sejam $I$ um intervalo não degenerado, $x_0$ o seu ponto médio e $M$ arbitrário: a densidade fornece um ponto do gráfico a menos de $\min\bigl(\frac{\abs I}{2}, 1\bigr)$ de $(x_0, M + 1)$ , isto é, $x \in I$ com $f(x) > M$ : ilimitada em $I$ , logo (questão 8) descontínua em todo ponto e monótona em intervalo nenhum; e, para qualquer alvo $y_0$ , pontos do gráfico perto de $(x_0, y_0)$ dão $f(x)$ arbitrariamente próximo de $y_0$ com $x \in I$ : $f(I)$ é denso em $\R$ . Isto é a questão 8 lida ao contrário: como todos os degraus são equivalentes, uma função aditiva não linear deve falhar em todos eles, em toda parte.

13. Bem definida: $m + n\sqrt2 = m' + n'\sqrt2$ força $(n - n')\sqrt2 = m' - m \in \Z$ , de modo que $n = n'$ (caso contrário, $\sqrt2 \in \Q$ ) e $m = m'$ . A aditividade em $G$ é então clara, coordenada a coordenada. Ilimitação perto de $0^+$ : fixe $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ e $N \in \N$ . Para cada $n$ fixado com $\abs n \leq N$ , a condição $m + n\sqrt2 \in \intoo{0}{1}$ prende $m$ dentro de um intervalo de comprimento $1$ : no máximo um inteiro $m$ por $n$ , de modo que no máximo $2N + 1$ elementos de $G \cap \intoo{0}{1}$ têm $\abs{f} \leq N$ . Mas $G \cap \intoo{0}{\varepsilon}$ é infinito ( $G$ é denso, Exercício 10.9); logo, ele contém algum $g$ com $\abs{f(g)} > N$ : $f$ é ilimitada em toda vizinhança à direita de $0$ . Estender $f$ a uma função aditiva em $\R$ significa escolher valores coerentemente numa família de reais que seja $\Q$ -linearmente independente e gere $\R$ sobre $\Q$ — uma base de Hamel; produzir uma exige o axioma da escolha, e fórmula explícita alguma o consegue: construtivamente, só possuímos o monstro em $G$ .

14. $f(x) = f(\frac x2 + \frac x2) = f(\frac x2)^2 \geq 0$ . Se $f(x_0) = 0$ , então $f(x) = f(x - x_0)f(x_0) = 0$ para todo $x$ : excluído. Logo, $f > 0$ e $g = \ln \circ f$ é contínua (Proposição 13.8), com $g(x + y) = g(x) + g(y)$ : pelo Exercício 13.11, $g(x) = cx$ , de modo que $f(x) = \eu^{cx}$ . Reciprocamente, cada $\eu^{cx}$ serve: os morfismos contínuos $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ são exatamente as exponenciais.

15. $g(u) = f(\eu^u)$ é contínua e $g(u + v) = f(\eu^u \eu^v) = g(u) + g(v)$ : $g(u) = cu$ , e todo $x > 0$ se escreve $x = \eu^u$ com $u = \ln x$ : $f(x) = c\ln x$ .

16. $h = \ln \circ f$ é contínua em $\intoo{0}{+\infty}$ com $h(xy) = h(x) + h(y)$ : pela questão 15, $h(x) = c\ln x$ , de modo que $f(x) = \eu^{c\ln x} = x^c$ .

17. $x = y = 0$ : $f(0) = 2f(0) + f(0)^2$ , de modo que $f(0)(1 + f(0)) = 0$ . Se $f(0) = -1$ : fazendo $y = 0$ , $f(x) = f(x) + f(0) + f(x)f(0) = -1$ para todo $x$ : a constante $f \equiv -1$ (que de fato satisfaz a equação). Caso contrário, $f(0) = 0$ ; $h = 1 + f$ é contínua, $h(0) = 1$ , e

h(x + y) = 1 + f(x) + f(y) + f(x)f(y) = h(x)\,h(y) :

pela questão 14, $h(x) = \eu^{cx}$ , isto é, $f(x) = \eu^{cx} - 1$ (o caso $c = 0$ dando $f \equiv 0$ ). Lista completa: $f \equiv -1$ e $f(x) = \eu^{cx} - 1$ , com $c \in \R$ .

18. $x = y = 0$ : $2f(0) = 4f(0)$ , de modo que $f(0) = 0$ . $x = 0$ : $f(y) + f(-y) = 2f(y)$ , de sorte que $f$ é par. $y = x$ : $f(2x) = 4f(x)$ . Indução usando $(x, y) \to (nx, x)$ :

f((n{+}1)x) = 2f(nx) + 2f(x) - f((n{-}1)x) = (2n^2 + 2 - (n-1)^2) f(x) = (n+1)^2 f(x) .

Então $f(x) = f\bigl(q\cdot\frac xq\bigr) = q^2 f\bigl(\frac xq\bigr)$ dá $f\bigl(\frac pq x\bigr) = \frac{p^2}{q^2}f(x)$ : $f(r) = r^2 f(1)$ em $\Q$ (a paridade trata os sinais). As duas funções contínuas $f$ e $x \mapsto f(1)x^2$ coincidem no conjunto denso $\Q$ , logo em toda parte (questão 24): $f(x) = f(1)\,x^2$ ; e todo $cx^2$ satisfaz a equação.

19. $g = f - f(0)$ é contínua, $g(0) = 0$ , e satisfaz a equação de Jensen (as constantes se cancelam). Fazendo $y = 0$ : $g\bigl(\frac x2\bigr) = \frac{g(x)}{2}$ . Então, para todos $x, y$ :

\frac{g(x + y)}{2} = g\Bigl(\frac{x+y}{2}\Bigr) = \frac{g(x) + g(y)}{2} ,

de modo que $g$ é aditiva e contínua: $g(x) = cx$ (questão 2), e $f(x) = cx + d$ com $d = f(0)$ . Todas as funções afins satisfazem Jensen: a lista está completa.

20. Indução em $n$ . Para $n = 0$ : $\lambda \in \{0, 1\}$ , trivial. Suponha a desigualdade para todos os pesos $\frac{k}{2^n}$ . Um peso $\lambda = \frac{k}{2^{n+1}}$ com $k$ par se reduz ao nível $n$ ; para $k = 2j + 1$ , $\lambda$ é o ponto médio de $\lambda_1 = \frac{j}{2^n}$ e $\lambda_2 = \frac{j+1}{2^n}$ . Com $z_i = \lambda_i x + (1 - \lambda_i)y$ : $\lambda x + (1-\lambda)y = \frac{z_1 + z_2}{2}$ , de modo que

f\bigl(\lambda x + (1{-}\lambda)y\bigr) \leq \frac{f(z_1) + f(z_2)}{2} \leq \frac{(\lambda_1 + \lambda_2)f(x) + (2 - \lambda_1 - \lambda_2)f(y)}{2} = \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y) .

21. Fixe $x, y$ . As aplicações $\lambda \mapsto f(\lambda x + (1 - \lambda)y)$ e $\lambda \mapsto \lambda f(x) + (1 - \lambda)f(y)$ são contínuas em $\intcc{0}{1}$ (composição e álgebra, Proposição 13.8). A desigualdade vale nos pesos diádicos, que são densos em $\intcc{0}{1}$ (Exercício 10.8); para $\lambda$ arbitrário, tome diádicos $\lambda_n \to \lambda$ e passe ao limite (Teorema 13.3 e Teorema 11.7): a desigualdade de convexidade vale para todo $\lambda \in \intcc{0}{1}$ — convexidade no ponto médio mais continuidade é igual a convexidade (a noção do Capítulo 14).

22. Uma $f$ aditiva não linear satisfaz $f\bigl(\frac{x+y}{2}\bigr) = \frac{f(x) + f(y)}{2}$ exatamente (questão 1 com $r = \frac12$ , e depois aditividade): ela é convexa no ponto médio, e até afim no ponto médio. Se ela satisfizesse a desigualdade de convexidade plena em algum intervalo $\intcc{x}{y}$ , então, para $\lambda \in \intcc{0}{1}$ : $f(\lambda x + (1-\lambda)y) \leq \max(f(x), f(y))$ — limitada superiormente num intervalo não degenerado, logo linear pela questão 9: contradição. Assim, a continuidade na questão 21 não é luxo: sem ela, a convexidade no ponto médio controla apenas o esqueleto diádico enumerável, e o contínuo entre eles corre solto.

23. $p(x) = \frac{x^2}{2}$ satisfaz $p(x+y) = p(x) + p(y) + xy$ . Se $f$ é uma solução contínua qualquer, $g = f - p$ é contínua e aditiva, de modo que $g(x) = cx$ :

f(x) = \frac{x^2}{2} + cx , \qquad c \in \R ,

e cada uma delas é solução: a lista está completa.

24. Princípio geral: se $u, v$ são contínuas e coincidem num conjunto denso $D \subseteq \R$ , então, para $x \in \R$ , escolha $d_n \in D$ com $d_n \to x$ (Proposição 12.11); $u(x) = \lim u(d_n) = \lim v(d_n) = v(x)$ . Seja agora $f$ contínua e aditiva no subgrupo denso $G$ . Fixe $x, y \in \R$ e tome $g_n \to x$ , $g'_n \to y$ com $g_n, g'_n \in G$ ; então $g_n + g'_n \to x + y$ e, pela continuidade sequencial em $x + y$ , em $x$ e em $y$ :

f(x + y) = \lim f(g_n + g'_n) = \lim\bigl(f(g_n) + f(g'_n)\bigr) = f(x) + f(y) :

$f$ é aditiva em todo o $\R$ (logo linear, pela questão 2).

25. (i) Para $f$ aditiva: linear $\iff$ contínua $\iff$ contínua num ponto $\iff$ monótona em algum intervalo $\iff$ limitada (mesmo de um só lado) em algum intervalo. (ii) A densidade do gráfico no plano mostra que a falha não é um defeito local, e sim uma explosão global: acima de todo subintervalo os valores se espalham por todo o $\R$ , de modo que toda propriedade de regularidade falha em toda parte de uma vez. (iii) A pescaria: $cx$ , $\eu^{cx}$ , $c\ln x$ , $x^c$ , $cx^2$ e $cx + d$ — seis caracterizações e um método: transporte a equação para a de Cauchy, demonstre o esqueleto em $\Q$ por indução, e promova a $\R$ por densidade mais continuidade. (iv) A densidade de $\Q$ (ou dos diádicos) carregou as promoções no Exercício 13.11 e na questão 21; ela nada carregou na questão 13, porque, sem continuidade, os valores não se propagam de um conjunto denso ao seu fecho — a densidade transfere informação apenas ao longo da continuidade.