O que é Continuidade?

Exemplo 21.17

A equação $x^3 + x = 1$ tem uma única solução real. De fato, $f(x) = x^3 + x$ é contínua e estritamente crescente em $\R$ (soma de funções estritamente crescentes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ e $\lim_{+\infty} f = +\infty$, de modo que o teorema da bijeção se aplica com $k = 1$. Como $f(0.6) = 0.816 < 1$ e $f(0.7) = 1.043 > 1$, a solução está em $\intoo{0.6}{0.7}$.

Exemplo 13.7 (Uma taxonomia das descontinuidades)

Três modos de falhar num ponto, em ordem crescente de gravidade. Removível: $f(x) = \frac{\sin x}{x}$ em $\R^*$ tem limite $1$ em $0$; definir $f(0) = 1$ a conserta — a descontinuidade era um buraco, não uma característica. Salto: $\lfloor x \rfloor$ num inteiro tem limites laterais distintos ($n - 1$ e $n$); escolha alguma de valor pode reconciliá-los, mas os dois meios-limites existem. Essencial: $\sin\frac1x$ em $0$ não tem limite lateral algum (Exercício 13.1) — oscilação sem acomodação. As funções monótonas só produzem o tipo do meio (os seus limites laterais sempre existem, sendo supremos e ínfimos), e é por isso que os seus conjuntos de descontinuidade são no máximo enumeráveis — um racional por salto. As derivadas, pelo teorema de Darboux (Exercício 14.10), só produzem o último tipo: uma função com descontinuidade de salto nunca é derivada de coisa alguma.

Exemplo 13.9 (Máximo e mínimo de funções contínuas)

Se $f, g$ são contínuas, então $\max(f, g)$ e $\min(f, g)$ também são: sem nenhuma análise de casos, graças às identidades

e à continuidade das somas e de $\abs{\,\cdot\,}$ (Proposição 13.8). Em particular, $f^+ = \max(f, 0)$ e $f^- = \max(-f, 0)$ são contínuas, com $f = f^+ - f^-$: a separação por sinal usada para as séries (Capítulo 17) e, em escala plena, na teoria da integração do volume do terceiro ano de graduação, não custa nada em regularidade.

Exemplo 13.11 (Uma equação, o protocolo completo)

Resolva $\eu^x = 3 - x$ em $\R$: existência, unicidade, localização. Ponha $g(x) = \eu^x + x - 3$, contínua. Localização e existência: $g(0) = -2 < 0$ e $g(1) = \eu - 2 > 0$, de modo que o teorema do valor intermediário planta uma solução em $\intoo{0}{1}$. Unicidade: $g$ é a soma da estritamente crescente $\eu^x$ com $x - 3$, logo estritamente crescente em $\R$; uma função estritamente monótona assume cada valor no máximo uma vez, de sorte que a solução é única em todo o $\R$ (e não apenas no intervalo sondado). O protocolo — rearranjar para $g = 0$, mudança de sinal para a existência, monotonicidade para a unicidade — resolve a maioria das perguntas do tipo “quantas soluções” em três linhas, e as tabelas de variação do Capítulo 14 o estendem a $g$ não monótona, cortando $\R$ em ramos monótonos.