O que é O corpo dos complexos?

Exemplo 3.3 (Um exercício completo de módulo e argumento)

Ponha $w = \dfrac{3 + 4\iu}{1 - 2\iu}$ na forma algébrica e calcule o seu módulo de duas maneiras. Multiplicando pelo conjugado do denominador:

Diretamente: $\abs w = \sqrt{1 + 4} = \sqrt5$. Pela regra do quociente (Proposição 3.2 (3)): $\abs w = \frac{\abs{3 + 4\iu}}{\abs{1 - 2\iu}} = \frac5{\sqrt5} = \sqrt5$ — mesma resposta, sem precisar da forma algébrica. A lição se generaliza: módulos e argumentos viajam bem através de produtos e quocientes; partes reais e imaginárias viajam bem através de somas. Escolha a representação que corresponde às operações em jogo e converta apenas quando for obrigado.

Exemplo 3.4 (Equações que envolvem o conjugado)

Resolva em $\C$: $\;z + 2\conj z = 6 + 2\iu$. Uma equação que mistura $z$ e $\conj z$ não é polinomial em $z$; a jogada segura é separar em coordenadas reais. Com $z = x + \iu y$:

de modo que a equação diz que $3x = 6$ e $-y = 2$: a única solução é $z = 2 - 2\iu$. (Verificação: $(2 - 2\iu) + 2(2 + 2\iu) = 6 + 2\iu$.) Alternativamente, conjugue a equação inteira para obter $\conj z + 2z = 6 - 2\iu$ e resolva o sistema linear nas incógnitas $z, \conj z$ — mesma resposta, e um truque útil quando os coeficientes são complexos. Equações em $z$ e $\conj z$ são realmente sistemas de duas equações reais; esperar “grau $1$, uma solução” é seguro aqui, mas $z\conj z = -1$ (sem solução) mostra a intuição polinomial falhando assim que aparecem produtos.

Exemplo 3.15 (Raízes cúbicas de $-27$)

Resolva $z^3 = -27$. Forma exponencial do lado direito: $-27 = 27\,\eu^{\iu\pi}$, de modo que as três raízes são

Duas verificações. Primeiro, a raiz real $-3$ é a evidente, e as outras duas são suas rotações de $\pm\frac{2\pi}3$ — equivalentemente, $-3j$ e $-3j^2$. Segundo, a álgebra confirma: $z^3 + 27 = (z + 3)(z^2 - 3z + 9)$, e a equação do segundo grau tem discriminante $9 - 36 = -27 < 0$ com raízes $\frac{3 \pm 3\iu\sqrt3}2 = z_0, \conj{z_0}$. A ideia: para lados direitos reais, as raízes não reais vêm sempre em pares conjugados, de modo que uma figura do conjunto solução é simétrica em relação ao eixo real — uma antecipação do teorema de fatoração real do Capítulo 8.