Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

5Espaços vetoriais normados

Quando o espaço métrico é um espaço vetorial e a distância provém de uma norma, topologia e álgebra linear começam a interagir: as aplicações lineares são contínuas exatamente quando são limitadas na bola unitária, a dimensão finita obriga todas as normas a coincidirem, e a completude transforma séries absolutamente convergentes em séries convergentes. A divisão entre dimensão finita e infinita — cristalizada no teorema de Riesz — é a lição mais profunda do capítulo.

Em todo o capítulo, $E, F$ são espaços vetoriais sobre $K = \R$ ou $\C$ .

5.1 Normas

Definição 5.1

Uma norma em $E$ é uma aplicação $\norm{\,\cdot\,} \colon E \to \R_+$ tal que, para todos $x, y \in E$ , $\lambda \in K$ :

\norm x = 0 \iff x = 0, \qquad \norm{\lambda x} = \abs\lambda\,\norm x, \qquad \norm{x + y} \leq \norm x + \norm y .

Então $d(x, y) = \norm{x - y}$ é uma distância, e tudo o que está no Capítulo 4 se aplica. A desigualdade triangular invertida $\bigl|\norm x - \norm y\bigr| \leq \norm{x - y}$ torna a própria norma $1$ -lipschitziana; a adição e a multiplicação por escalar são contínuas (estimativas $\norm{(x + y) - (x' + y')} \leq \norm{x - x'} + \norm{y - y'}$ , etc.).

Exemplo 5.2

Em $K^n$ :

\norm{x}_1 = \sum_i \abs{x_i}, \qquad \norm{x}_2 = \Bigl(\sum_i \abs{x_i}^2\Bigr)^{1/2}, \qquad \norm{x}_\infty = \max_i \abs{x_i}

( $\norm\cdot_2$ é uma norma por Cauchy–Schwarz, volume do primeiro ano de graduação). Em $C(\intcc{a}{b})$ :

\norm f_\infty = \sup \abs f, \qquad \norm f_1 = \int_a^b \abs f, \qquad \norm f_2 = \Bigl(\int_a^b \abs f^2\Bigr)^{1/2},

sendo as duas últimas normas graças à positividade estrita da integral e à desigualdade de Cauchy–Schwarz integral (volume do primeiro ano de graduação). Sobre matrizes: qualquer norma em $\mathcal M_n(K) \simeq K^{n^2}$ ; as normas de operador adiante são as estruturalmente importantes.

Definição 5.3 (Normas equivalentes)

Duas normas $N_1, N_2$ em $E$ são equivalentes quando existem constantes $c, C > 0$ com

c\,N_1 \leq N_2 \leq C\, N_1 .

Normas equivalentes têm os mesmos abertos, as mesmas sequências convergentes e de Cauchy, as mesmas partes compactas e completas: a mesma análise.

Exemplo 5.4 (Não equivalência em dimensão infinita)

Em $C(\intcc{0}{1})$ : $\norm f_1 \leq \norm f_\infty$ sempre, mas nenhuma cota recíproca vale: $f_n(x) = x^n$ tem $\norm{f_n}_\infty = 1$ e $\norm{f_n}_1 = \frac{1}{n+1} \to 0$ . Logo $f_n \to 0$ para $\norm\cdot_1$ mas não para $\norm\cdot_\infty$ : as duas normas discordam sobre a própria convergência.

Exemplo 5.5 (Constantes explícitas em dimensão $n$ )

Em $K^n$ as três normas clássicas são equivalentes com constantes ótimas:

\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq \sqrt n\,\norm x_2 \leq n\,\norm x_\infty ,

vindo a cota do meio $\norm x_1 \leq \sqrt n\norm x_2$ de Cauchy–Schwarz contra o vetor de uns. Vetores extremais: $e_1$ torna as duas primeiras desigualdades igualdades, e $(1, 1, \dots, 1)$ as duas últimas. A dimensão $n$ aparece visivelmente nas constantes — a semente quantitativa do fracasso em dimensão infinita: quando $n \to \infty$ nenhuma constante uniforme sobrevive, que é exatamente o que o Exemplo 5.4 exibe em espaços de funções.

As bolas unitárias das três normas clássicas de ℝ2, encaixadas como ditam as desigualdades do : bola menor, norma maior. A redondeza importa: os lados retos do losango e do quadrado são exatamente as falhas de convexidade estrita exploradas no problema de fim de semana do e no deste capítulo (questão 4). — As bolas unitárias das três normas clássicas de $\R^2$ , encaixadas como ditam as desigualdades do Exemplo 5.5: bola menor, norma maior. A redondeza importa: os lados retos do losango e do quadrado são exatamente as falhas de convexidade estrita exploradas no problema de fim de semana do Capítulo 8 e no deste capítulo (questão 4).

5.2 Aplicações lineares contínuas

Teorema 5.6 (Caracterização)

Para uma aplicação linear $u \colon E \to F$ entre espaços normados, as afirmações seguintes são equivalentes:

$u$ é contínua;
$u$ é contínua em $0$ ;
$u$ é limitada na bola unitária fechada: $\sup_{\norm x \leq 1} \norm{u(x)} < \infty$ ;
existe $C \geq 0$ com $\norm{u(x)} \leq C \norm x$ para todo $x$ ;
$u$ é lipschitziana.

O menor tal $C$ é a norma de operador $\vertiii{u} = \sup_{\norm x \leq 1}\norm{u(x)} = \sup_{x \neq 0} \frac{\norm{u(x)}}{\norm x}$ ; ela faz do espaço $\mathcal{L}_c(E, F)$ das aplicações lineares contínuas um espaço normado, com

\vertiii{v \circ u} \leq \vertiii v\, \vertiii u .

Demonstração. (1 $\Rightarrow$ 2) trivial. (2 $\Rightarrow$ 3): a continuidade em $0$ com $\varepsilon = 1$ dá $\delta$ com $\norm x \leq \delta \Rightarrow \norm{u(x)} \leq 1$ ; a homogeneidade então reduz qualquer $x$ com $\norm x \leq 1$ para dentro dessa bola e de volta:

\norm{u(x)} = \frac1\delta\,\norm{u(\delta x)} \leq \frac1\delta ,

pois $\norm{\delta x} \leq \delta$ . (3 $\Rightarrow$ 4): para $x \neq 0$ , aplique a cota a $\frac{x}{\norm x}$ . (4 $\Rightarrow$ 5): $\norm{u(x) - u(y)} = \norm{u(x - y)} \leq C\norm{x - y}$ . (5 $\Rightarrow$ 1) conhecido.

Axiomas de norma para $\vertiii\cdot$ : a homogeneidade e a separação são claras ( $\vertiii u = 0$ força $u = 0$ na bola, logo em toda parte); a desigualdade triangular vem de $\norm{(u + v)(x)} \leq \norm{u(x)} + \norm{v(x)}$ . Submultiplicatividade: $\norm{v(u(x))} \leq \vertiii v\,\norm{u(x)} \leq \vertiii v \vertiii u \norm x$ . ∎

Exemplo 5.7

Em $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : a avaliação $f \mapsto f(0)$ tem norma de operador $1$ ; a integração $f \mapsto \int_0^1 f$ tem norma $1$ ; a aplicação $f \mapsto \int_0^1 t f(t)\dd t$ tem norma $\int_0^1 t\,\dd t = \frac12$ (cota superior pela desigualdade triangular para integrais; atingida em $f \equiv 1$ ). Mas a derivação, de $(C^1, \norm\cdot_\infty)$ em $(C^0, \norm\cdot_\infty)$ , não é contínua: $\norm{\sin(nx)}_\infty = 1$ enquanto a derivada tem norma do sup $n$ . Linear não implica contínua em dimensão infinita.

Exemplo 5.8 (Duas normas, dois veredictos sobre uma sequência)

Em $C(\intcc01)$ , seja $g_n(x) = \sqrt{n}\,x^n$ . Então

\norm{g_n}_1 = \frac{\sqrt n}{n + 1} \longrightarrow 0, \qquad \norm{g_n}_2^2 = \frac{n}{2n + 1} \longrightarrow \frac12, \qquad \norm{g_n}_\infty = \sqrt n \longrightarrow \infty :

uma sequência, três normas, três comportamentos — convergência para zero, ausência de convergência (as normas se estabilizam em $\frac1{\sqrt2}$ mas o limite pontual é $0$ ) e explosão. A massa que se concentra perto de $x = 1$ é invisível para $\norm\cdot_1$ , meio visível para $\norm\cdot_2$ e dominante para $\norm\cdot_\infty$ . Em dimensão infinita, “isso converge?” não é uma pergunta sobre uma sequência: é uma pergunta sobre uma sequência e uma norma.

Método 5.9 (Calcular uma norma de operador)

Sempre em dois movimentos. Cota superior: estime $\norm{u(x)}$ por $C\norm x$ usando desigualdades triangulares, Cauchy–Schwarz ou cotas integrais — isso demonstra $\vertiii u \leq C$ . Testemunha: exiba ou um $x_0 \neq 0$ específico com $\norm{u(x_0)} = C\norm{x_0}$ (a cota é atingida), ou uma sequência de vetores unitários $x_n$ com $\norm{u(x_n)} \to C$ (a cota é aproximada). Os dois movimentos são obrigatórios: só a cota superior dá apenas $\vertiii u \leq C$ , e só a testemunha dá apenas $\vertiii u \geq C$ . Em dimensão infinita a testemunha pode ter de ser uma sequência — o supremo não precisa ser atingido (Exercício 5.8).

Exemplo 5.10 (Os operadores diagonais veem todas as normas do mesmo jeito)

Para $D = \operatorname{diag}(d_1, \dots, d_n)$ em $K^n$ com qualquer uma das normas $\norm\cdot_1, \norm\cdot_2, \norm\cdot_\infty$ : de $\abs{d_ix_i} \leq \bigl(\max_j\abs{d_j}\bigr)\abs{x_i}$ coordenada a coordenada, $\norm{Dx} \leq \max_j\abs{d_j}\,\norm x$ ; e $x = e_{j_0}$ (um índice que maximiza) a atinge. Logo $\vertiii D = \max_j\abs{d_j}$ nos três casos: para aplicações diagonais, todas as normas razoáveis contam a mesma história, o maior fator de alongamento. Tudo o que é difícil nas normas de operador diz respeito ao comportamento não diagonal — e é por isso que as normas adaptadas do problema de fim de semana deste capítulo (questão 22) funcionam forçando primeiro a matriz a ficar diagonal.

Exemplo 5.11 (Somas por colunas: o gêmeo em $1$ do Exercício 5.4)

Em $(\R^n, \norm\cdot_1)$ , a norma de operador de uma matriz $A$ é a maior soma de valores absolutos por coluna. Rode o método: para $\norm x_1 \leq 1$ ,

\norm{Ax}_1 = \sum_i\Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{x_j}\sum_i\abs{a_{ij}} \leq \Bigl(\max_j\sum_i\abs{a_{ij}}\Bigr)\norm x_1 ,

e a cota é atingida em $x = e_{j_0}$ para uma coluna $j_0$ que maximize — a testemunha mais arrumada que se pode imaginar. Assim, para $A = \left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_1 = \max(1 + 3,\ 2 + 1) = 4$ , ao passo que $\vertiii A_\infty = 4$ também (linhas) — uma coincidência aqui, não uma lei: transponha as entradas da matriz de forma assimétrica e as duas normas se separam. Linhas para $\norm\cdot_\infty$ , colunas para $\norm\cdot_1$ : a mnemônica é que os vetores unitários de cada norma (padrões de sinais, resp. vetores da base) selecionam as somas correspondentes.

Proposição 5.12 (Aplicações bilineares)

Uma aplicação bilinear $b \colon E \times F \to G$ é contínua se e somente se $\norm{b(x,y)} \leq C\norm x\,\norm y$ para algum $C$ ; e então ela é lipschitziana em conjuntos limitados. (Mesmo padrão de demonstração; o produto $(u, v) \mapsto v \circ u$ e a multiplicação de matrizes são os exemplos principais.)

Demonstração. Se a cota vale:

b(x,y) - b(x_0,y_0) = b(x - x_0,\, y) + b(x_0,\, y - y_0),

logo $\norm{b(x,y) - b(x_0,y_0)} \leq C\norm{x - x_0}\norm y + C\norm{x_0}\norm{y - y_0}$ : continuidade em $(x_0, y_0)$ , e uma cota lipschitziana onde $\norm x, \norm y \leq R$ . Reciprocamente, a continuidade em $(0,0)$ dá $\delta$ com $\norm{b(x,y)} \leq 1$ em $\norm x, \norm y \leq \delta$ ; reescale as duas variáveis. ∎

5.3 Dimensão finita

Teorema 5.13 (Equivalência das normas em dimensão finita)

Num espaço de dimensão finita, todas as normas são equivalentes. Por consequência, em dimensão finita: convergência, abertura, compacidade e completude são noções independentes da norma; compacto $=$ fechado e limitado; o espaço é completo; e toda aplicação linear (ou multilinear) a partir de um espaço de dimensão finita é contínua.

Demonstração. Fixe uma base e identifique $E \simeq K^n$ ; basta comparar uma norma qualquer $N$ com $\norm\cdot_\infty$ .

Uma direção é álgebra: $N(x) = N(\sum x_i e_i) \leq \sum \abs{x_i} N(e_i) \leq C \norm x_\infty$ com $C = \sum N(e_i)$ . Isso também mostra que $N$ é contínua em $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ (ela é $C$ -lipschitziana: $\abs{N(x) - N(y)} \leq N(x - y)$ ).

A outra é topologia: a esfera unitária $S = \{x : \norm{x}_\infty = 1\}$ é fechada e limitada em $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , logo compacta (Teorema 4.16 (2), válido para $\C^n \simeq \R^{2n}$ ). A função contínua $N$ atinge seu mínimo $c$ em $S$ ; $c > 0$ , pois $N$ só se anula em $0 \notin S$ . A homogeneidade espalha a cota: $N(x) \geq c \norm{x}_\infty$ para todo $x$ .

Consequências: todos os enunciados se reduzem a $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ , onde são conhecidos (Teorema 4.9, Teorema 4.16); uma aplicação linear $u$ a partir de $E$ de dimensão finita satisfaz $\norm{u(x)} \leq \sum\abs{x_i} \norm{u(e_i)} \leq C'\norm{x}_\infty$ : cota (4) do Teorema 5.6. ∎

Corolário 5.14

Todo subespaço de dimensão finita de um espaço normado é fechado.

Demonstração. Ele é completo para a norma induzida (Teorema 5.13), e as partes completas são fechadas (Definição 4.7). ∎

Exemplo 5.15 (Uma melhor aproximação calculada por simetria)

Em $\bigl(C(\intcc{-1}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , a que distância está $f(x) = \abs x$ do subespaço (fechado, de dimensão dois) das funções afins $a + bx$ ? Por simetria, substituir $a + bx$ por $a - bx$ deixa $\norm{f - (a \pm bx)}_\infty$ inalterada, e o ponto médio $a$ vai pelo menos tão bem (desigualdade triangular na média): basta considerar as constantes. Para uma constante $a$ :

\norm{\abs x - a}_\infty = \max\,(1 - a,\ a) \geq \frac12 ,

minimizada em $a = \frac12$ : a distância é $\frac12$ , atingida pela constante $\frac12$ . Note a curva de erro $\abs x - \frac12$ : ela atinge $\pm\frac12$ alternadamente em $x = -1, 0, 1$ — três extremos de sinais alternados para uma melhor aproximação por uma família de dois parâmetros. Esse padrão de equioscilação não é acaso; é a assinatura da otimalidade que o problema de fim de semana deste capítulo transforma no teorema de Chebyshev.

Exemplo 5.16 (Subespaços fechados contra subespaços densos)

Em $E = \bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ : cada $\R_n[X]$ (polinômios de grau $\leq n$ , restritos a $\intcc01$ ) é um subespaço de dimensão finita, logo fechado — um limite uniforme de polinômios de grau $\leq n$ ainda é um deles. Mas a união $\R[X]$ de todos eles é densa em $E$ (o teorema de aproximação de Weierstrass, demonstrado no Capítulo 10), e subespaços próprios densos são o mais não fechado que se pode imaginar. A moral: o fechamento dos subespaços é um privilégio da dimensão finita; empilhar andares fechados pode construir um arranha-céu denso.

Teorema 5.17 (Riesz)

A bola unitária fechada de um espaço normado $E$ é compacta se e somente se $\dim E < \infty$ .

Demonstração. Dimensão finita: fechada e limitada basta (Teorema 5.13).

Reciprocamente, suponha $\dim E = \infty$ . Lema de Riesz: para todo subespaço fechado próprio $F \subsetneq E$ e todo $\varepsilon \in \intoo{0}{1}$ , existe um vetor unitário $x$ com $d(x, F) \geq 1 - \varepsilon$ . Demonstração: escolha $y \notin F$ , ponha $\delta = d(y, F) > 0$ ( $F$ fechado), escolha $f \in F$ com $\norm{y - f} \leq \frac{\delta}{1 - \varepsilon}$ e ponha $x = \frac{y - f}{\norm{y - f}}$ : para todo $g \in F$ ,

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f + \norm{y-f}\,g)}}{\norm{y - f}} \geq \frac{\delta}{\norm{y-f}} \geq 1 - \varepsilon ,

sendo o numerador uma distância de $y$ a um ponto de $F$ .

Construa agora vetores unitários $x_1, x_2, \dots$ por indução: $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ tem dimensão finita, logo é fechado (Corolário 5.14) e próprio; o lema de Riesz com $\varepsilon = \frac12$ fornece um unitário $x_{k+1}$ com $d(x_{k+1}, F_k) \geq \frac12$ . A sequência satisfaz $\norm{x_p - x_q} \geq \frac12$ para $p \neq q$ : nenhuma subsequência convergente — a bola unitária não é compacta. ∎

Exemplo 5.18 (Riesz como detector de dimensão)

$C(\intcc01)$ tem dimensão finita? Riesz responde sem exibir nenhuma família livre infinita explícita: a sequência $f_n(x) = x^n$ está na bola unitária fechada e satisfaz, para $m > n$ , $\norm{f_n - f_m}_\infty \geq f_n(x_0) - f_m(x_0) > 0$ em pontos adequados — quantificado com limpeza no problema de fim de semana deste capítulo (questão 16), onde uma subsequência permanece a distância mútua $\geq \frac14$ . Nenhuma subsequência convergente, logo a bola não é compacta, logo $\dim C(\intcc01) = \infty$ pelo Teorema 5.17. A compacidade da bola unitária é uma dicotomia perfeita: vale em dimensão finita, falha em dimensão infinita, sem meio-termo — só a geometria já lê o tipo de dimensão.

5.4 Espaços de Banach

Definição 5.19

Um espaço de Banach é um espaço normado completo. Exemplos: todo espaço normado de dimensão finita (Teorema 5.13); $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Teorema 4.9); $\mathcal{L}_c(E, F)$ com $F$ de Banach (mesmo padrão de demonstração que para as funções contínuas). Contraexemplo: $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ (Exercício 5.7).

Exemplo 5.20 (A norma de operador da integração)

Em $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , seja $T(f)(x) = \int_0^x f(t)\,\dd t$ (um endomorfismo: $T(f)$ é contínua). Rode o Método 5.9. Cota superior:

\abs{T(f)(x)} \leq \int_0^x\abs f \leq x\,\norm f_\infty \leq \norm f_\infty ,

logo $\vertiii T \leq 1$ . Testemunha: $f \equiv 1$ dá $T(f)(x) = x$ e $\norm{T(f)}_\infty = 1 = \norm f_\infty$ : atingida, $\vertiii T = 1$ . Mas note que $\vertiii{T^2} = \frac12 \neq \vertiii T^2$ : de fato $T^2(f)(x) = \int_0^x(x - t)f(t)\dd t$ tem $\abs{T^2(f)(x)} \leq \frac{x^2}2\norm f_\infty$ , atingida de novo em $f \equiv 1$ ; e, em geral, $\vertiii{T^n} = \frac1{n!}$ — a cota submultiplicativa $\vertiii T^n = 1$ erra por um fatorial. Esse é exatamente o fenômeno que o truque do iterado do problema de fim de semana do Capítulo 4 converte em resolubilidade global de equações diferenciais lineares.

Teorema 5.21 (Convergência absoluta em espaços de Banach)

Num espaço de Banach, se $\sum \norm{u_n} < \infty$ então $\sum u_n$ converge, e $\norm{\sum u_n} \leq \sum\norm{u_n}$ . (A teoria completa das séries em espaços normados é o Capítulo 7.)

Demonstração. Somas parciais $S_N$ : para $q > p$ , $\norm{S_q - S_p} \leq \sum_{n=p+1}^{q}\norm{u_n}$ , que tende a $0$ (critério de Cauchy para a série real das normas): $(S_N)$ é de Cauchy, logo convergente. A desigualdade passa ao limite a partir da desigualdade triangular finita. ∎

Exemplo 5.22 (Exponencial de matriz, primeiro contato)

A exponencial de matriz: $\mathcal{M}_n(K)$ com qualquer norma submultiplicativa ( $\vertiii{AB} \leq \vertiii A \vertiii B$ ) é de Banach (dimensão finita). Então, para toda $A$ ,

\eu^A = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{A^k}{k!}

converge absolutamente ( $\vertiii{A^k/k!} \leq \vertiii A^k /k!$ , somável): está bem definida. O Capítulo 16 a explora sistematicamente.

Exemplo 5.23 (Uma série de Neumann que termina)

Para $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & \frac12\\ 0 & 0\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A < 1$ em qualquer norma de operador construída sobre as normas do Exemplo 5.2, e $A^2 = 0$ , de modo que a série geométrica desaba:

(I - A)^{-1} = \sum_{k \geq 0} A^k = I + A = \begin{pmatrix}1 & \tfrac12\\ 0 & 1\end{pmatrix},

verificado por $(I - A)(I + A) = I - A^2 = I$ . A nilpotência trunca a série exatamente como truncou a exponencial no Capítulo 3; e o exemplo calibra as expectativas: a inversa de Neumann é uma série infinita em geral, e um polinômio precisamente quando a perturbação é nilpotente, sendo o erro após $N$ termos sempre majorado pela cauda geométrica $\vertiii A^{N+1}/(1 - \vertiii A)$ .

Exemplo 5.24 (A exponencial de um gerador de rotações)

Tome $A = \left(\begin{smallmatrix}0 & -\theta\\ \theta & 0\end{smallmatrix}\right)$ . Então $A^2 = -\theta^2 I$ , de modo que as potências ciclam com período quatro, e a série se separa em partes pares e ímpares:

\eu^{A} = \sum_{k}\frac{A^k}{k!} = \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j}}{(2j)!}\Bigr) I + \Bigl(\sum_{j}\frac{(-1)^j\theta^{2j+1}}{(2j+1)!}\Bigr) \frac{A}{\theta} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta\\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix},

sendo todos os rearranjos autorizados pela convergência absoluta. A exponencial de um gerador antissimétrico é uma rotação — calculada aqui apenas a partir da série, três capítulos antes de a equação diferencial $x' = Ax$ (Capítulo 16) explicar por quê: $\eu^{tA}$ é movimento circular uniforme. A lição final: as identidades entre séries de matrizes demonstram-se exatamente como as escalares, uma vez que uma norma submultiplicativa certifique a convergência absoluta.

Exemplo 5.25 (Norma do sup significa uniforme: o dicionário)

A afirmação $\norm{f_n - f}_\infty \to 0$ é a convergência uniforme: um único número, $\sup_x\abs{f_n(x) - f(x)}$ , majora o erro em todos os pontos simultaneamente. O dicionário em ação para $f_n(x) = x^n$ em $\intcc{0}{1}$ : pontualmente, $f_n \to 0$ em $\intco{0}{1}$ e $f_n(1) = 1$ ; na norma, $\norm{f_n - 0}_\infty = 1 \not\to 0$ e, de fato, o limite pontual é descontínuo, logo fora do alcance de um limite em $\norm\cdot_\infty$ dentro de $C(\intcc01)$ (que é fechado para limites uniformes, Teorema 4.9). Em $\intcc{0}{a}$ , $a < 1$ : $\norm{f_n}_\infty = a^n \to 0$ — a convergência uniforme é restaurada ao encolher o domínio. Todo enunciado de convergência do Capítulo 10 é um enunciado sobre essa única norma; ter o dicionário em mente reduz aquele capítulo à metade.

Observação 5.26 (Armadilhas comuns)

(i) Uma norma de operador depende das duas normas escolhidas: a mesma matriz tem $\vertiii\cdot_\infty$ dada pelas somas por linha (Exercício 5.4) e uma $\vertiii\cdot_1$ diferente (somas por coluna); citar “a” norma de uma matriz sem nomear as normas subjacentes não significa nada. (ii) $\vertiii{AB} \leq \vertiii A\,\vertiii B$ é uma desigualdade, em geral estrita — as potências podem encolher muito mais depressa do que a cota $\vertiii A^k$ sugere, e é justamente esse o propósito das normas adaptadas (problema de fim de semana deste capítulo, questão 22). (iii) “Linear implica contínua” é um privilégio da dimensão finita: a derivação sobre polinômios é linear e ilimitada (Exemplo 5.7). (iv) A convergência absoluta de $\sum u_n$ só ajuda quando o espaço é completo (o Exercício 7.9 constrói o contraexemplo). (v) Em dimensão infinita, um supremo sobre a bola unitária é um supremo genuíno: não suponha que ele seja atingido (Exercício 5.8).

Observação 5.27 (Perspectivas dentro deste volume)

Três encontros ficam marcados. Com o Capítulo 7: num espaço de Banach, as séries absolutamente convergentes convergem, de modo que as séries geométrica e exponencial de operadores tornam-se ferramentas cotidianas — inverter $I - A$ , definir $\eu^{A}$ (Exemplo 7.2). Com os Capítulo 10 e Capítulo 11: a convergência de sequências de funções e de séries de potências é a convergência em $\bigl(C, \norm\cdot_\infty\bigr)$ (Exemplo 5.25), e o raio de convergência é um enunciado sobre quais séries geométricas dominam. Com o Capítulo 14: as normas $\norm\cdot_2$ e $\norm\cdot_\infty$ discordam de verdade em $C(\intcc{0}{1})$ (Exemplo 5.8), e é exatamente por isso que a convergência em média quadrática das séries de Fourier e a convergência uniforme são dois teoremas distintos com dois preços distintos.

Observação 5.28 (Onde este capítulo é usado)

As normas de operador e a série geométrica movem os argumentos de perturbação do Capítulo 15 (teorema da função inversa) e a exponencial de matriz do Capítulo 16; a equivalência das normas autoriza silenciosamente todo argumento do tipo “escolha sua norma preferida” no Capítulo 10 e adiante; e a divisão finito/infinito do teorema de Riesz — tornada quantitativa no problema de fim de semana deste capítulo — é a razão pela qual o volume do terceiro ano de graduação precisa de ferramentas novas (convergência fraca, Arzelà–Ascoli, projeções em espaços de Hilbert) onde este volume ainda podia extrair subsequências convergentes.

5.5 Exercícios

Exercício 5.1 ★

Em $\R^2$ , desenhe as bolas unitárias de $\norm\cdot_1$ , $\norm\cdot_2$ , $\norm\cdot_\infty$ e demonstre as desigualdades $\norm x_\infty \leq \norm x_2 \leq \norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ com as melhores constantes em dimensão $2$ .

Solução

Solução de Exercício 5.1.

Bolas unitárias: um losango ( $\norm\cdot_1$ ), um disco ( $\norm\cdot_2$ ), um quadrado ( $\norm\cdot_\infty$ ), encaixados nessa ordem. Desigualdades: $\norm x_\infty \leq \norm x_2$ (um quadrado é no máximo a soma); $\norm x_2 \leq \norm x_1$ (elevando ao quadrado: $x_1^2 + x_2^2 \leq (\abs{x_1} + \abs{x_2})^2$ ); $\norm x_1 \leq 2\norm x_\infty$ (dois termos, cada um $\leq \max$ ). Otimalidade: $(1, 0)$ torna as duas primeiras igualdades; $(1, 1)$ dá $\norm x_1 = 2\norm x_\infty$ e mostra também que $\norm x_2 = \sqrt2 \norm x_\infty$ e $\norm x_1 = \sqrt2 \norm x_2$ são as razões extremas no outro sentido.

Exercício 5.2 ★

$N(f) = \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ é uma norma em $C^1(\intcc{0}{1})$ ? Compare-a com $\norm{f}_\infty$ : uma desigualdade vale, a outra falha (exiba).

Solução

Solução de Exercício 5.2.

Axiomas de norma: a homogeneidade e a desigualdade triangular são herdadas termo a termo; separação: $N(f) = 0$ força $f' = 0$ (logo $f$ constante) e $f(0) = 0$ : $f = 0$ . É uma norma.

Comparação: $\norm f_\infty \leq N(f)$ , pois $\abs{f(x)} \leq \abs{f(0)} + \abs{\int_0^x f'} \leq \abs{f(0)} + \norm{f'}_\infty$ . A recíproca falha: tome $f_n(x) = \frac1n \sin(nx)$ : então $\norm{f_n}_\infty \leq \frac1n \to 0$ enquanto $N(f_n) = 0 + \norm{\cos(nx)}_\infty = 1$ . Nenhuma constante $C$ dá $N \leq C\norm\cdot_\infty$ .

Exercício 5.3 ★

Calcule a norma de operador de $u(f) = \int_0^1 f(t)\,\eu^t\,\dd t$ em $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_\infty\bigr) \to \R$ , e a do deslocamento $S(x_1, x_2, \dots, x_n) = (x_2, \dots, x_n, 0)$ em $(K^n, \norm\cdot_\infty)$ .

Solução

Solução de Exercício 5.3.

$\abs{u(f)} \leq \norm f_\infty \int_0^1 \eu^t\,\dd t = (\eu - 1)\norm f_\infty$ , com igualdade para $f \equiv 1$ : $\vertiii u = \eu - 1$ .

Deslocamento: $\norm{S(x)}_\infty = \max(\abs{x_2}, \dots, \abs{x_n}) \leq \norm x_\infty$ , com igualdade em $x = e_2$ : $\vertiii S = 1$ (para $n \geq 2$ ).

Exercício 5.4 ★★

Em $(\R^n, \norm\cdot_\infty)$ , prove que a norma de operador de uma matriz $A$ é $\vertiii A_\infty = \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ (a maior soma de valores absolutos por linha). Calcule-a para $\begin{pmatrix} 1 & -2\\ 3 & 1\end{pmatrix}$ .

Solução

Solução de Exercício 5.4.

Cota superior: para $\norm x_\infty \leq 1$ ,

\abs{(Ax)_i} = \Bigl|\sum_j a_{ij}x_j\Bigr| \leq \sum_j \abs{a_{ij}},

logo $\norm{Ax}_\infty \leq \max_i \sum_j \abs{a_{ij}}$ . Atingida: seja $i_0$ um índice que realiza o máximo e tome $x_j = \operatorname{sign}(a_{i_0 j})$ (entradas de módulo $1$ ): então $(Ax)_{i_0} = \sum_j \abs{a_{i_0 j}}$ . Daí a fórmula. Para a matriz dada: somas por linha $3$ e $4$ : $\vertiii A_\infty = 4$ .

Exercício 5.5 ★★

Prove que $GL_n(K)$ é aberto em $\mathcal{M}_n(K)$ e que $A \mapsto A^{-1}$ é contínua nele. Sugestão: para a abertura, se $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ então $A + H = A(I + A^{-1}H)$ com $\vertiii{A^{-1}H} < 1$ , e $I + B$ é invertível para $\vertiii B < 1$ pela série geométrica (Teorema 5.21); para a continuidade, majore $(A+H)^{-1} - A^{-1}$ usando a mesma série.

Solução

Solução de Exercício 5.5.

Série geométrica: para $\vertiii B < 1$ , a série $\sum B^k$ converge absolutamente no espaço de Banach $\mathcal{M}_n(K)$ (Teorema 5.21, $\vertiii{B^k} \leq \vertiii B^k$ ), e

(I - B)\sum_{k=0}^{K} B^k = I - B^{K+1} \longrightarrow I :

pela continuidade do produto (Proposição 5.12), $(I - B)\sum_{k\geq0} B^k = I$ , logo $I - B$ é invertível com inversa igual à soma (e $\vertiii{(I-B)^{-1}} \leq \frac{1}{1 - \vertiii B}$ ).

Abertura: para $A$ invertível e $\vertiii H < \frac{1}{\vertiii{A^{-1}}}$ : $A + H = A(I + A^{-1}H)$ com $\vertiii{A^{-1}H} \leq \vertiii{A^{-1}}\vertiii H < 1$ : invertível. Logo uma bola em torno de $A$ permanece em $GL_n$ .

Continuidade da inversão: com $B = -A^{-1}H$ ,

(A + H)^{-1} - A^{-1} = \bigl((I - B)^{-1} - I\bigr)A^{-1} = \Bigl(\sum_{k \geq 1} B^k\Bigr) A^{-1},

de norma $\leq \frac{\vertiii B}{1 - \vertiii B}\vertiii{A^{-1}} \to 0$ quando $H \to 0$ .

Exercício 5.6 ★★

Seja $\varphi$ uma forma linear num espaço normado $E$ . Prove que $\varphi$ é contínua se e somente se $\ker\varphi$ é fechado. (Se $\ker\varphi$ é fechado e $\varphi \neq 0$ , escolha $a$ com $\varphi(a) = 1$ e $r > 0$ com $B(a, r) \cap \ker\varphi = \emptyset$ ; deduza $\abs{\varphi(h)} \leq \frac{1}{r}\norm h$ por um argumento de reescalamento em $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ .)

Solução

Solução de Exercício 5.6.

Contínua $\Rightarrow$ núcleo fechado: imagem inversa do fechado $\{0\}$ (Teorema 4.6).

Reciprocamente, suponha $\ker\varphi$ fechado e $\varphi \neq 0$ . Escolha $a$ com $\varphi(a) = 1$ ; como $a \notin \ker\varphi$ e o núcleo é fechado, alguma bola $B(a, r)$ não o encontra. Seja agora $h \in E$ com $\varphi(h) \neq 0$ : o vetor $a - \frac{h}{\varphi(h)}$ está em $\ker\varphi$ , logo fora de $B(a, r)$ :

\Bigl\Vert \frac{h}{\varphi(h)} \Bigr\Vert \geq r \quad\Longrightarrow\quad \abs{\varphi(h)} \leq \frac{\norm h}{r},

desigualdade trivialmente verdadeira também quando $\varphi(h) = 0$ : cota (4) do Teorema 5.6: contínua.

Exercício 5.7 ★★

Prove que $\bigl(C(\intcc{0}{1}), \norm\cdot_1\bigr)$ não é completo: mostre que as funções $f_n$ , rampas afins de $0$ a $1$ em $\bigl[\frac12 - \frac1n, \frac12\bigr]$ (valendo $0$ antes e $1$ depois), formam uma sequência de Cauchy sem limite contínuo em $\norm\cdot_1$ .

Solução

Solução de Exercício 5.7.

Seja $f_n$ igual a $0$ em $\intcc{0}{\frac12 - \frac1n}$ , afim até o valor $1$ em $\frac12$ , e depois $1$ em $\intcc{\frac12}{1}$ . Para $m \geq n$ , $f_m - f_n$ tem suporte num intervalo de comprimento $\frac1n$ com valores em $\intcc{-1}{1}$ : $\norm{f_m - f_n}_1 \leq \frac1n$ : de Cauchy.

Suponha $f_n \to f$ em $\norm\cdot_1$ com $f$ contínua. Em $\intcc{0}{\frac12 - \delta}$ ( $\delta$ fixo): $\int \abs{f} = \int\abs{f - f_n} \leq \norm{f - f_n}_1 \to 0$ para $n > \frac1\delta$ , logo $\int_0^{1/2 - \delta}\abs f = 0$ e, pela positividade estrita, $f = 0$ aí — para todo $\delta$ : $f = 0$ em $\intoo{0}{\frac12}$ . Do mesmo modo, $f = 1$ em $\intcc{\frac12}{1}$ (as $f_n$ valem todas $1$ aí). Pela continuidade em $\frac12$ : $0 = 1$ , absurdo. Não existe limite: o espaço não é completo.

Exercício 5.8 ★★★

Em $E = C(\intcc{0}{1})$ com $\norm\cdot_\infty$ , considere

\varphi(f) = \sum_{n \geq 1} (-1)^n\, 2^{-n} f\bigl(\tfrac1n\bigr).

Prove que $\varphi$ é uma forma linear contínua bem definida com $\vertiii\varphi = 1$ , mas que o supremo que define $\vertiii\varphi$ não é atingido na bola unitária fechada. (Cota superior: desigualdade triangular. Norma $= 1$ : construa $f_K$ contínuas com $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ e $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ para $n \leq K$ — os pontos $\frac1n$ estão isolados uns dos outros. Não atingimento: a igualdade forçaria $f(\frac1n) = (-1)^n$ para todo $n$ , incompatível com a continuidade de $f$ em $0$ , pois $\frac1n \to 0$ .)

Solução

Solução de Exercício 5.8.

Boa definição e continuidade: $\abs{\varphi(f)} \leq \sum 2^{-n} \norm f_\infty = \norm f_\infty$ , logo $\varphi$ é uma forma linear com $\vertiii\varphi \leq 1$ (a série converge absolutamente para cada $f$ ).

Norma $1$ : fixe $K$ ; os pontos $1, \frac12, \dots, \frac1K$ são dois a dois distintos, logo existe uma $f_K$ contínua, $\norm{f_K}_\infty \leq 1$ , com $f_K(\frac1n) = (-1)^n$ para $n \leq K$ (interpolação afim por partes, constante perto de $0$ ). Então

\varphi(f_K) \geq \sum_{n=1}^{K} 2^{-n} - \sum_{n > K} 2^{-n} = 1 - 2^{-K+1} \xrightarrow[K \to \infty]{} 1 .

Não atingida: se $\norm f_\infty \leq 1$ e $\varphi(f) = 1$ , cada termo tem de contribuir com seu máximo: $(-1)^n f(\frac1n) = 1$ para todo $n$ (caso contrário, o déficit estrito de um termo não pode ser compensado, sendo todos os termos $\leq 2^{-n}$ ). Logo $f(\frac1n) = (-1)^n$ ; mas $\frac1n \to 0$ e $f$ é contínua em $0$ , o que forçaria a convergência contraditória de $(-1)^n$ . Portanto o supremo não é máximo — impossível em dimensão finita, onde a bola unitária fechada é compacta.

Exercício 5.9 ★★★

Seja $E$ um espaço normado no qual a bola unitária fechada é compacta. Redemonstre, sem citar o Teorema 5.17, que toda sequência limitada tem subsequência convergente, e prove que toda forma linear em $E$ é contínua se e somente se $\dim E < \infty$ . (Para a dimensão infinita, construa uma forma descontínua definindo-a livremente numa sequência normalizada linearmente independente e estendendo — admitindo a existência de um complemento algébrico.)

Solução

Solução de Exercício 5.9.

Sequências limitadas: uma sequência limitada está em alguma bola fechada $\overline B(0, R) = R\,\overline B(0,1)$ , compacta (imagem da bola unitária compacta pelo homeomorfismo $x \mapsto Rx$ ): extraia aí.

Formas lineares: se $\dim E < \infty$ , toda aplicação linear de $E$ é contínua (Teorema 5.13). Reciprocamente, suponha $\dim E = \infty$ (o que, pelo Teorema 5.17, está de fato excluído pela hipótese de compacidade — o ponto desta questão é a implicação entre as duas propriedades em espaços normados gerais): escolha uma sequência normalizada linearmente independente $(e_n)$ , complete-a numa base algébrica (admitida) e defina $\varphi(e_n) = n$ , $\varphi = 0$ nos demais vetores da base, estendendo por linearidade. Então $\abs{\varphi(e_n)} = n$ com $\norm{e_n} = 1$ : ilimitada na bola unitária, descontínua. Assim “todas as formas contínuas” força a dimensão finita.

Exercício 5.10 ★★

Em $C(\intcc{0}{1})$ , prove $\norm f_1 \leq \norm f_2 \leq \norm f_\infty$ (Cauchy–Schwarz para a primeira) e mostre, com a família $f_n(x) = x^n$ , que nenhuma das desigualdades pode ser invertida a menos de constante: as três normas são duas a duas não equivalentes.

Solução

Solução de Exercício 5.10.

Cauchy–Schwarz com a função constante $1$ : $\norm f_1 = \int_0^1 \abs f\cdot 1 \leq \bigl(\int_0^1 f^2\bigr)^{1/2}\bigl(\int_0^1 1\bigr)^{1/2} = \norm f_2$ . E $\norm f_2^2 = \int f^2 \leq \norm f_\infty^2$ . Para $f_n(x) = x^n$ :

\norm{f_n}_1 = \frac1{n+1}, \qquad \norm{f_n}_2 = \frac1{\sqrt{2n+1}}, \qquad \norm{f_n}_\infty = 1 .

Então $\norm{f_n}_2/\norm{f_n}_1 = \frac{n+1}{\sqrt{2n+1}} \to \infty$ e $\norm{f_n}_\infty/\norm{f_n}_2 = \sqrt{2n+1} \to \infty$ : nenhuma desigualdade recíproca, nenhum par é equivalente.

Exercício 5.11 ★★

(Distância a um hiperplano) Seja $\varphi$ uma forma linear contínua não nula num espaço normado $E$ . Prove que

d\bigl(x, \ker\varphi\bigr) = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi} \qquad (x \in E),

e verifique em Exercício 5.8 que o ínfimo não precisa ser atingido por nenhum ponto do hiperplano.

Solução

Solução de Exercício 5.11.

Cota inferior para a distância: para $h \in \ker\varphi$ , $\abs{\varphi(x)} = \abs{\varphi(x - h)} \leq \vertiii\varphi\,\norm{x - h}$ ; tome o ínfimo sobre $h$ : $d(x, \ker\varphi) \geq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ .

Cota superior: podemos supor $\varphi(x) \neq 0$ . Dado $\varepsilon > 0$ , escolha um unitário $u$ com $\abs{\varphi(u)} \geq \vertiii\varphi - \varepsilon > 0$ e ponha $h = x - \frac{\varphi(x)}{\varphi(u)}\,u$ : então $\varphi(h) = 0$ e

\norm{x - h} = \frac{\abs{\varphi(x)}}{\abs{\varphi(u)}} \leq \frac{\abs{\varphi(x)}}{\vertiii\varphi - \varepsilon}.

Faça $\varepsilon \to 0$ : $d(x, \ker\varphi) \leq \abs{\varphi(x)}/\vertiii\varphi$ ; igualdade.

Não atingimento: tome $\varphi$ como no Exercício 5.8 ( $\vertiii\varphi = 1$ , não atingida) e qualquer $x$ com $\varphi(x) \neq 0$ . Se algum $h \in \ker\varphi$ realizasse $\norm{x - h} = \abs{\varphi(x)}$ , o vetor unitário $v = (x - h)/\norm{x - h}$ satisfaria $\abs{\varphi(v)} = \abs{\varphi(x)}/\norm{x - h} = 1 = \vertiii\varphi$ : a norma de operador seria atingida — contradição.

Exercício 5.12 ★★★

Em $E = \R[X]$ (todos os polinômios), sejam $N_1(P) = \sup_{\intcc{0}{1}}\abs P$ e $N_2(P) = \sup_{\intcc{0}{2}}\abs P$ . Mostre que $N_1 \leq N_2$ mas que $N_1$ e $N_2$ não são equivalentes; deduza que a identidade $(E, N_2) \to (E, N_1)$ é uma bijeção linear contínua cuja inversa é descontínua. Mostre por fim que $(E, N_1)$ não é completo (somas parciais de Taylor de $\eu^x$ ). Os três fenômenos são impossíveis em dimensão finita — diga por quê.

Solução

Solução de Exercício 5.12.

$N_1 \leq N_2$ é a monotonicidade do sup no domínio, de modo que a identidade $(E, N_2) \to (E, N_1)$ é $1$ -lipschitziana. Para $P_n(x) = (x/2)^n$ : $N_2(P_n) = 1$ (atingida em $x = 2$ ) enquanto $N_1(P_n) = 2^{-n}$ : uma cota $N_2 \leq CN_1$ daria $1 \leq C2^{-n}$ para todo $n$ : impossível. Logo as normas não são equivalentes e a identidade inversa é uma bijeção linear descontínua.

Incompletude: seja $S_n = \sum_{k=0}^{n}\frac{X^k}{k!}$ . Para $m > n$ , $N_1(S_m - S_n) \leq \sum_{k>n}\frac1{k!} \to 0$ : de Cauchy para $N_1$ . Se $S_n \to P$ em $(E, N_1)$ , então pontualmente $P(x) = \lim S_n(x) = \eu^x$ em $\intcc{0}{1}$ ; mas um polinômio de grau $d$ não pode ser igual a $\eu^x$ num intervalo (derive $d + 1$ vezes: o membro da esquerda morre, $\eu^x$ não). Nenhum limite em $E$ : não é completo.

Em dimensão finita os três fenômenos são impossíveis: todas as normas são equivalentes, todo espaço normado é completo, e a inversa de uma bijeção linear é linear a partir de um espaço de dimensão finita, logo contínua (Teorema 5.13).

5.6 Problema: melhor aproximação e o teorema de Chebyshev

Quão bem uma função pode ser aproximada por polinômios de um dado grau, e qual polinômio faz isso melhor? Do lado da existência, a resposta pertence a este capítulo: a compacidade em dimensão finita faz as melhores aproximações existirem. Do lado explícito, um caso não trivial pode ser resolvido inteiramente na unha — entre todos os polinômios mônicos de grau $n$ , o de menor norma do sup em $\intcc{-1}{1}$ é o polinômio de Chebyshev (normalizado), de norma $2^{1-n}$ : o teorema extremal de Chebyshev. O problema demonstra os dois lados e depois mede quão mal a compacidade falha em dimensão infinita: a bola unitária de $C(\intcc{0}{1})$ contém constelações infinitas de pontos a distância mútua $1$ .

Problema 5.1

Problema de fim de semana — o teorema extremal de Chebyshev e a geometria da bola unitária

As normas sem índice são normas do sup no segmento indicado.

Parte I — Melhor aproximação em espaços normados.

Seja $F$ um subespaço de dimensão finita de um espaço normado $E$ e $x \in E$ . Prove que a distância $d(x, F) = \inf_{f \in F}\norm{x - f}$ é atingida (reduza a uma parte fechada e limitada de $F$ e use o Teorema 5.13).
Uma norma é estritamente convexa quando $\norm u = \norm v = 1$ e $u \neq v$ implicam $\bigl\Vert\frac{u + v}2\bigr\Vert < 1$ . Mostre que $\norm\cdot_2$ em $\R^n$ é estritamente convexa (identidade do paralelogramo) e que $\norm\cdot_1$ e $\norm\cdot_\infty$ não o são para $n \geq 2$ .
Prove que, para uma norma estritamente convexa, a melhor aproximação da questão 1 é única.
Em $(\R^2, \norm\cdot_\infty)$ , calcule todas as melhores aproximações de $x = (0, 1)$ pela reta $F = \operatorname{Vect}\bigl((1,0)\bigr)$ : um intervalo de minimizantes.
Em $\bigl(C(\intcc{a}{b}), \norm\cdot_\infty\bigr)$ , mostre que a melhor aproximação de $f$ por constantes é única, igual a $c^* = \frac{\max f + \min f}{2}$ , com distância $\frac{\max f - \min f}{2}$ ; calcule as duas para $f(x) = x^2$ em $\intcc{0}{1}$ .

Parte II — Polinômios de Chebyshev.

Mostre que existe exatamente um polinômio $T_n$ com $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ para todo $\theta$ (recorrência $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ a partir da fórmula de adição do cosseno), que $\deg T_n = n$ , e que seu coeficiente dominante é $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ .
Mostre que $\abs{T_n} \leq 1$ em $\intcc{-1}{1}$ , com $T_n(\eta_k) = (-1)^k$ nos $n + 1$ pontos $\eta_k = \cos\frac{k\pi}{n}$ ( $k = 0, \dots, n$ ), e que as raízes de $T_n$ são os $n$ pontos $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ , que se intercalam com os $\eta_k$ .
Calcule $T_2, T_3, T_4$ e verifique a alternância de $T_3$ em $\eta_0, \dots, \eta_3 = 1, \frac12, -\frac12, -1$ por avaliação direta.
Para $\abs x \geq 1$ , prove

$T_n(x) = \frac{\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n + \bigl(x - \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n}{2},$

e deduza $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2 - 1}\bigr)^n \to \infty$ geometricamente para $x > 1$ fixo.
Prove a lei de composição $T_m \circ T_n = T_{mn}$ (verifique em $\intcc{-1}{1}$ e invoque a rigidez dos polinômios).

Parte III — O teorema extremal de Chebyshev. Escreva $Q_n = 2^{1-n}T_n$ (mônico, pela questão 6).

Seja $P$ mônico de grau $n \geq 1$ com $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P < 2^{1-n}$ . Avaliando $D = Q_n - P$ nos pontos $\eta_k$ e contando as trocas de sinal, obtenha uma contradição. Conclua:

$\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P \;\geq\; 2^{1-n} \qquad\text{para todo } P \text{ mônico de grau } n.$
(Caso de igualdade) Suponha $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n}$ com $P$ mônico de grau $n$ , e ponha $D = Q_n - P \neq 0$ . Mostre que $(-1)^kD(\eta_k) \geq 0$ para todo $k$ ; mostre que cada um dos $n$ intervalos $\intcc{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ contém um zero de $D$ , e que um zero comum a dois intervalos consecutivos é um ponto interior $\eta_k$ no qual também $D' = 0$ . Conclua que $D$ tem $n$ zeros contados com multiplicidade, logo $D = 0$ : o minimizante é exatamente $Q_n$ — o teorema extremal de Chebyshev.
Reformule o teorema como uma distância: em $\intcc{-1}{1}$ ,

$d_\infty\bigl(X^n,\ \R_{n-1}[X]\bigr) = 2^{1-n},$

com melhor aproximação única $X^n - Q_n$ ; e mostre, pela substituição afim $x = \frac{1+t}2$ , que em $\intcc{0}{1}$ a distância se torna $2^{1-2n}$ .
(Nós de interpolação ótimos) Para $n$ nós $x_1, \dots, x_n \in \intcc{-1}{1}$ , o polinômio nodal $\omega(x) = \prod_i(x - x_i)$ é mônico de grau $n$ . Deduza da questão 12 qual escolha de nós minimiza $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega$ , o fator dependente dos nós na cota clássica do erro de interpolação, e dê o valor mínimo.
Verifique à mão o caso $n = 2$ do teorema (ache $\inf_c \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c}$ diretamente) e calcule numericamente a distância da questão 13 em $\intcc{0}{1}$ para $n = 10$ . O que o tamanho dela diz sobre o gráfico de $x^{10}$ ?

Parte IV — A bola unitária de $C(\intcc{0}{1})$ .

Seja $g_k(x) = x^{2^k}$ . Mostre que $\norm{g_k}_\infty = 1$ e $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para $j > k$ (avalie no ponto em que $x^{2^k} = \frac12$ ): uma sequência limitada explícita sem subsequência convergente — a bola unitária fechada não é compacta, na unha.
(Lema de Riesz, refinado) Seja $F$ um subespaço próprio de dimensão finita de um espaço normado $E$ . Usando a questão 1, produza um vetor unitário $x$ com $d(x, F) = 1$ exatamente — e não apenas $\geq 1 - \varepsilon$ como no lema do Teorema 5.17.
Deduza: em todo espaço normado de dimensão infinita existe uma sequência de vetores unitários com distâncias mútuas $\geq 1$ , e redemonstre com isso o teorema de Riesz.
Em $C(\intcc{0}{1})$ , exiba explicitamente uma tal constelação: as funções tenda $h_n$ com suporte em $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ e valor de pico $1$ . Verifique $\norm{h_n} = 1$ , $\norm{h_n - h_m} = 1$ para $n \neq m$ , e note que $h_n \to 0$ pontualmente mas não uniformemente.
(A precompacidade falha) Mostre que a bola unitária fechada de $C(\intcc{0}{1})$ não pode ser coberta por um número finito de bolas de raio $\frac13$ (cada uma dessas bolas contém no máximo um $h_n$ ) — em contraste com a etapa de precompacidade na demonstração do Teorema 4.20.

Parte V — Normas em ação sobre matrizes, e síntese.

Prove que todo autovalor $\lambda$ de $A \in \mathcal{M}_n(\C)$ satisfaz $\abs\lambda \leq \vertiii A$ para toda norma de operador; aplique o Exercício 5.4 para majorar os autovalores de $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ e compare com o módulo verdadeiro deles.
(Normas adaptadas) Seja $A$ diagonalizável, $A = P\,\mathrm{diag}(\lambda_1, \dots, \lambda_n)\,P^{-1}$ . Mostre que $N_P(x) = \norm{P^{-1}x}_\infty$ é uma norma cuja norma de operador satisfaz $\vertiii A_{N_P} = \max_i\abs{\lambda_i}$ .
Deduza: para $A$ diagonalizável, $A^k \to 0$ se e somente se todos os autovalores satisfazem $\abs{\lambda_i} < 1$ — a equivalência das normas torna a conclusão independente da norma. Verifique em $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ .
(As constantes de equivalência explodem) Em $\R_n[X]$ , compare $N_c(P) = \max_k \abs{a_k}$ (coeficientes) e $\norm{P}_{\intcc{0}{1}}$ : ambas são normas, logo são equivalentes para cada $n$ fixo; mas mostre, usando o minimizante mônico da questão 13 em $\intcc{0}{1}$ , que a melhor constante $C_n$ em $N_c \leq C_n\norm\cdot_{\intcc{0}{1}}$ satisfaz $C_n \geq 2^{2n-1}$ . Conclua em uma frase por que “todas as normas são equivalentes” morre em dimensão infinita.
(Síntese) Uma frase para cada: onde a compacidade das bolas de dimensão finita trabalhou (questões 1 e 12); o que a convexidade estrita governa; o que a constelação das questões 18–19 destrói; e como a questão 24 quantifica o fracasso. Nomeie o cume (o teorema extremal de Chebyshev) e diga onde a melhor aproximação encontra sua casa moderna (o teorema da projeção em espaços de Hilbert, volume do terceiro ano de graduação, onde a completude substitui a compacidade).

Solução

Solução de Problema 5.1.

1. Os candidatos que vale a pena considerar formam $K = \{f \in F : \norm{x - f} \leq \norm x\}$ : não vazio ( $0 \in K$ ), fechado (imagem inversa de um intervalo fechado pela aplicação contínua $f \mapsto \norm{x - f}$ , intersectada com o fechado $F$ , Corolário 5.14), limitado ( $\norm f \leq \norm{f - x} + \norm x \leq 2\norm x$ ). No espaço $F$ de dimensão finita, fechado e limitado significa compacto (Teorema 5.13); a função contínua $f \mapsto \norm{x - f}$ atinge em $K$ seu ínfimo, que é igual ao ínfimo sobre todo o $F$ (todo $f \notin K$ dá $\norm{x - f} > \norm x \geq \inf$ ).

2. Identidade do paralelogramo em $(\R^n, \norm\cdot_2)$ : $\norm{u + v}^2 + \norm{u - v}^2 = 2\norm u^2 + 2\norm v^2$ (desenvolva os quadrados das somas de coordenadas). Para $u \neq v$ unitários:

\Bigl\Vert\frac{u+v}2\Bigr\Vert^2 = 1 - \frac{\norm{u - v}^2}{4} < 1 .

Não estritamente convexas: para $\norm\cdot_\infty$ , tome $u = (1, 1, 0, \dots)$ , $v = (1, -1, 0, \dots)$ : vetores unitários cujo ponto médio $(1, 0, \dots)$ tem norma $1$ ; para $\norm\cdot_1$ , tome $u = (1, 0, \dots)$ , $v = (0, 1, 0, \dots)$ : ponto médio $(\frac12, \frac12, 0, \dots)$ de norma $1$ .

3. Seja $d = d(x, F)$ . Se $d = 0$ : $x \in \overline F = F$ e o único minimizante é $x$ . Se $d > 0$ e $f_1 \neq f_2$ minimizam ambos: $u = \frac{x - f_1}{d}$ e $v = \frac{x - f_2}{d}$ são vetores unitários distintos, logo

\Bigl\Vert x - \frac{f_1 + f_2}2\Bigr\Vert = d\,\Bigl\Vert\frac{u + v}2\Bigr\Vert < d ,

com $\frac{f_1 + f_2}2 \in F$ : contradiz a definição de $d$ . Minimizante único.

4. $\norm{(0,1) - t(1,0)}_\infty = \max(\abs t, 1) \geq 1$ , com igualdade se e somente se $\abs t \leq 1$ : os minimizantes formam o segmento $\{t(1, 0) : t \in \intcc{-1}{1}\}$ , todos à distância $1$ — a unicidade falha exatamente porque a bola quadrada tem lados retos (questão 2).

5. Sejam $M = \max f$ , $m = \min f$ (atingidos: compacidade). Para qualquer constante $c$ : $\sup\abs{f - c} \geq \max(M - c,\, c - m) \geq \frac{M - m}2$ , a última desigualdade porque as duas quantidades têm média $\frac{M-m}2$ ; a igualdade em ambas força $M - c = c - m$ , isto é, $c = c^* = \frac{M + m}2$ . Reciprocamente, $\sup\abs{f - c^*} = \max(M - c^*, c^* - m) = \frac{M - m}2$ . Melhor constante única. Para $f(x) = x^2$ em $\intcc01$ : $c^* = \frac12$ , distância $\frac12$ .

6. De $\cos(n{+}1)\theta + \cos(n{-}1)\theta = 2\cos\theta\cos n\theta$ : os polinômios definidos por $T_0 = 1$ , $T_1 = X$ , $T_{n+1} = 2XT_n - T_{n-1}$ satisfazem $T_n(\cos\theta) = \cos n\theta$ por indução. Unicidade: dois polinômios que coincidem em $\intcc{-1}{1}$ (uma infinidade de pontos) são iguais. Indução de novo: $\deg T_n = n$ tem coeficiente dominante $2^{n-1}$ para $n \geq 1$ ( $T_1$ : coeficiente $1 = 2^0$ ; a recorrência o dobra).

7. Todo $x \in \intcc{-1}{1}$ é $\cos\theta$ , e $\abs{\cos n\theta} \leq 1$ . Em $\eta_k = \cos\frac{k\pi}n$ : $T_n(\eta_k) = \cos k\pi = (-1)^k$ , e $1 = \eta_0 > \eta_1 > \dots > \eta_n = -1$ . Raízes: $\cos n\theta = 0$ se e somente se $\theta = \frac{(2k-1)\pi}{2n}$ : os $n$ pontos distintos $\cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ e, como $\frac{(k-1)\pi}n < \frac{(2k-1)\pi}{2n} < \frac{k\pi}n$ , cada raiz fica estritamente entre dois extremos consecutivos.

8. $T_2 = 2X^2 - 1$ , $T_3 = 4X^3 - 3X$ , $T_4 = 8X^4 - 8X^2 + 1$ . Para $T_3$ : $T_3(1) = 1$ , $T_3(\tfrac12) = \tfrac12 - \tfrac32 = -1$ , $T_3(-\tfrac12) = 1$ , $T_3(-1) = -1$ : alternância perfeita.

9. Sejam $u_\pm = x \pm \sqrt{x^2 - 1}$ para $x \geq 1$ : as raízes de $z^2 - 2xz + 1$ , com $u_+u_- = 1$ . A sequência $s_n = \frac{u_+^n + u_-^n}2$ satisfaz $s_{n+1} = 2x\,s_n - s_{n-1}$ (recorrência do tipo Newton vinda da quadrática), $s_0 = 1$ , $s_1 = x$ : mesma recorrência e mesmos valores iniciais que $n \mapsto T_n(x)$ , logo $s_n = T_n(x)$ para todo $n$ . Como $0 < u_- \leq 1 \leq u_+$ com $u_+ > 1$ para $x > 1$ : $T_n(x) \geq \frac{u_+^n}2 \to \infty$ e $T_n(x) \sim \frac12\bigl(x + \sqrt{x^2-1}\bigr)^n$ . (Para $x \leq -1$ use a paridade $T_n(-x) = (-1)^nT_n(x)$ , clara pela recorrência.)

10. Para todo $\theta$ : $T_m\bigl(T_n(\cos\theta)\bigr) = T_m(\cos n\theta) = \cos mn\theta = T_{mn}(\cos\theta)$ . Os polinômios $T_m \circ T_n$ e $T_{mn}$ coincidem em $\intcc{-1}{1}$ , logo são iguais.

11. $D = Q_n - P$ tem grau $\leq n - 1$ (os termos dominantes mônicos se cancelam). Nos extremos: $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 2^{1-n} - \abs{P(\eta_k)} > 0$ por hipótese. Logo $D$ assume valores não nulos de sinais alternados nos $n + 1$ pontos decrescentes $\eta_0 > \dots > \eta_n$ : pelo teorema do valor intermediário, ele tem ao menos $n$ raízes distintas, uma em cada intervalo aberto $\intoo{\eta_{k}}{\eta_{k-1}}$ . Um polinômio não nulo de grau $\leq n - 1$ não pode ter $n$ raízes; e $D = 0$ contradiz os sinais estritos. Contradição: $\sup\abs P \geq 2^{1-n}$ para todo $P$ mônico de grau $n$ .

12. Agora $(-1)^kD(\eta_k) = 2^{1-n} - (-1)^kP(\eta_k) \geq 0$ , pois $\abs{P} \leq 2^{1-n}$ . Em cada $\intcc{\eta_k}{\eta_{k-1}}$ ( $k = 1, \dots, n$ ), os valores de $D$ nas extremidades têm sinais fracos opostos: o teorema do valor intermediário fornece um zero $z_k$ no intervalo fechado. Se os $z_k$ puderem ser escolhidos dois a dois distintos, $D \neq 0$ , de grau $\leq n-1$ , tem $n$ raízes: contradição. Dois intervalos consecutivos só podem compartilhar o zero $z_k = z_{k+1} = \eta_k$ com $0 < k < n$ (interior). Aí, $D(\eta_k) = 0$ significa $P(\eta_k) = (-1)^k2^{1-n}$ , um valor extremo de $P$ em $\intcc{-1}{1}$ atingido num ponto interior: $P'(\eta_k) = 0$ ; e $\eta_k$ é também um extremo interior de $T_n$ : $Q_n'(\eta_k) = 0$ . Logo $D'(\eta_k) = 0$ : $\eta_k$ é raiz de multiplicidade $\geq 2$ , compensando o intervalo compartilhado. Em todos os casos $D$ tem ao menos $n$ raízes contadas com multiplicidade, e grau $\leq n - 1$ , logo $D = 0$ : $P = Q_n$ . O teorema extremal de Chebyshev está demonstrado: o único minimizante mônico é $2^{1-n}T_n$ , de norma do sup $2^{1-n}$ .

13. Os polinômios mônicos de grau $n$ são exatamente os $X^n - R$ com $R \in \R_{n-1}[X]$ , logo

d_\infty\bigl(X^n, \R_{n-1}[X]\bigr) = \min_{P \text{ mônico}}\ \sup_{\intcc{-1}{1}}\abs P = 2^{1-n},

unicamente em $R^* = X^n - Q_n$ . Substituição $x = \frac{1+t}2$ : se $P$ é mônico de grau $n$ em $\intcc01$ , então $t \mapsto 2^nP\bigl(\frac{1+t}2\bigr)$ é mônico em $\intcc{-1}{1}$ com sup igual a $2^n\sup_{\intcc01}\abs P$ : logo $\sup_{\intcc01}\abs P \geq 2^{-n}\cdot2^{1-n} = 2^{1-2n}$ , com igualdade exatamente para $P^*(x) = 2^{-n}Q_n(2x - 1)$ : em $\intcc{0}{1}$ a distância é $2^{1-2n}$ .

14. $\omega$ é mônico de grau $n$ , logo $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs\omega \geq 2^{1-n}$ com igualdade se e somente se $\omega = Q_n = 2^{1-n}T_n$ , isto é, se e somente se os nós forem as $n$ raízes de $T_n$ : $x_k = \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n}$ — os nós de Chebyshev. Valor mínimo: $2^{1-n}$ . Os nós equidistantes são estritamente piores; o fator de erro de interpolação é minimizado agrupando os nós perto das extremidades.

15. $n = 2$ à mão: $x^2$ percorre $\intcc01$ , logo $\sup_{\intcc{-1}{1}}\abs{x^2 - c} = \max(\abs c, \abs{1 - c}) \geq \frac12$ , minimizada em $c = \frac12$ : quadrática mônica minimal $x^2 - \frac12 = \frac12(2x^2 - 1) = Q_2$ , de valor $\frac12 = 2^{1-2}$ . Para $n = 10$ em $\intcc{0}{1}$ : $2^{1-20} = 2^{-19} \approx 1.9\cdot10^{-6}$ . Algum polinômio de grau $9$ fica a menos de dois milionésimos de $x^{10}$ em todo o $\intcc01$ : nessa escala os dois gráficos são indistinguíveis — a planura de $x^{10}$ perto de $0$ deixa que graus menores façam todo o trabalho.

16. $\norm{g_k}_\infty = g_k(1) = 1$ . Para $j > k$ ponha $a = 2^k$ , $b = 2^j \geq 2a$ , e avalie em $x_0 = 2^{-1/a}$ (de modo que $x_0^a = \frac12$ ):

g_k(x_0) - g_j(x_0) = \frac12 - \Bigl(\frac12\Bigr)^{b/a} \geq \frac12 - \frac14 = \frac14 .

Assim $\norm{g_k - g_j}_\infty \geq \frac14$ para todos $j \neq k$ : nenhuma subsequência é de Cauchy, nenhuma converge. A bola unitária fechada de $\bigl(C(\intcc01), \norm\cdot_\infty\bigr)$ não é compacta.

17. $F$ é fechado (Corolário 5.14) e próprio: escolha $y \notin F$ , de modo que $\delta = d(y, F) > 0$ . Pela questão 1 a distância é atingida em algum $f^* \in F$ . Ponha $x = \frac{y - f^*}{\delta}$ , um vetor unitário ( $\norm{y - f^*} = \delta$ ). Para todo $g \in F$ :

\norm{x - g} = \frac{\norm{y - (f^* + \delta g)}}{\delta} \geq \frac{\delta}{\delta} = 1 ,

pois $f^* + \delta g \in F$ . Logo $d(x, F) \geq 1$ ; e $d(x, F) \leq \norm{x - 0} = 1$ : exatamente $1$ .

18. Num $E$ de dimensão infinita, construa vetores unitários por indução: $x_1$ arbitrário; dados $x_1, \dots, x_k$ , o subespaço $F_k = \operatorname{Vect}(x_1, \dots, x_k)$ tem dimensão finita, logo é próprio, e a questão 17 dá um unitário $x_{k+1}$ com $d(x_{k+1}, F_k) = 1$ : em particular $\norm{x_{k+1} - x_i} \geq 1$ para $i \leq k$ . A sequência tem distâncias mútuas $\geq 1$ : a bola unitária contém uma sequência sem subsequência convergente, logo não é compacta — o teorema de Riesz, com a constante ótima $1$ .

19. Seja $h_n$ afim em cada metade de $\bigl[\frac1{n+1}, \frac1n\bigr]$ , subindo de $0$ até $1$ no ponto médio e voltando a $0$ , e nula fora daí: contínua, $\norm{h_n}_\infty = 1$ . Para $n \neq m$ os suportes se encontram no máximo numa extremidade comum, onde ambas se anulam; no pico de $h_n$ , $h_m = 0$ : $\norm{h_n - h_m}_\infty = 1$ exatamente. Para $x > 0$ fixo: $h_n(x) = 0$ assim que $\frac1n < x$ , e $h_n(0) = 0$ sempre: $h_n \to 0$ pontualmente; mas $\norm{h_n - 0}_\infty = 1$ : não uniformemente. Uma constelação explícita a distância mútua $1$ dentro da bola unitária.

20. Uma bola de raio $\frac13$ tem diâmetro $\leq \frac23 < 1$ , logo contém no máximo uma das $h_n$ (duas delas estão a distância $1$ ). Um número finito dessas bolas contém um número finito das infinitas $h_n$ : elas não podem cobrir a bola unitária. A precompacidade — que os espaços métricos compactos possuem, pela demonstração do Teorema 4.20 — falha do modo mais completo possível.

21. Se $Ax = \lambda x$ com $x \neq 0$ : $\abs\lambda\,\norm x = \norm{Ax} \leq \vertiii A\,\norm x$ , logo $\abs\lambda \leq \vertiii A$ . Para $\left(\begin{smallmatrix}1 & -2\\ 3 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : $\vertiii A_\infty = \max(1 + 2,\ 3 + 1) = 4$ (Exercício 5.4), de modo que todo autovalor tem módulo $\leq 4$ ; de fato $\chi_A = X^2 - 2X + 7$ dá $\lambda = 1 \pm \iu\sqrt6$ de módulo $\sqrt7 \approx 2.65$ : a cota é válida, mas não ótima.

22. $N_P$ é uma norma: $N_P(x) = 0$ força $P^{-1}x = 0$ , logo $x = 0$ ; a homogeneidade e a desigualdade triangular são herdadas de $\norm\cdot_\infty$ pela aplicação linear $P^{-1}$ . Norma de operador: com $y = P^{-1}x$ e $D = \mathrm{diag}(\lambda_i)$ ,

N_P(Ax) = \norm{P^{-1}AP\,y}_\infty = \norm{Dy}_\infty,

de modo que $\vertiii A_{N_P}$ é a norma de operador $\norm\cdot_\infty$ de $D$ , que é sua maior soma de valores absolutos por linha (Exercício 5.4): $\max_i\abs{\lambda_i}$ .

23. Se todos os $\abs{\lambda_i} < 1$ : $N_P(A^kx) \leq \rho^kN_P(x)$ com $\rho = \max\abs{\lambda_i} < 1$ , logo $A^kx \to 0$ para todo $x$ , e $A^k \to 0$ em qualquer norma de $\mathcal{M}_n$ (todas equivalentes em dimensão finita, Teorema 5.13; a convergência de $A^ke_j$ para cada $j$ é a convergência entrada a entrada). Se algum $\abs{\lambda} \geq 1$ com autovetor $x$ : $\norm{A^kx} = \abs\lambda^k\norm x \not\to 0$ . Para $A = \frac14\left(\begin{smallmatrix}1 & 2\\ 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ : autovalores $\frac14(1 \pm 2) = \frac34, -\frac14$ , ambos de módulo $< 1$ : $A^k \to 0$ .

24. As duas são normas no espaço de dimensão finita $\R_n[X]$ , logo equivalentes para cada $n$ . Tome o mônico minimal $P^*_n$ da questão 13 em $\intcc01$ : seu coeficiente de $X^n$ é $1$ , logo $N_c(P^*_n) \geq 1$ , enquanto $\norm{P^*_n}_{\intcc01} = 2^{1-2n}$ . Portanto

C_n \geq \frac{N_c(P^*_n)}{\norm{P^*_n}_{\intcc01}} \geq 2^{2n-1} .

As constantes de equivalência explodem com a dimensão: na união $\R[X]$ nenhuma constante única serve, que é exatamente a não equivalência vista no Exercício 5.12 — “todas as normas são equivalentes” é um teorema sobre uma dimensão de cada vez, e a dimensão infinita é onde ele morre.

25. A compacidade dos fechados limitados em dimensão finita produziu a existência das melhores aproximações (questão 1) e alimentou a contagem de zeros nos $n + 1$ pontos extremais (questões 11–12, via supremos atingidos). A convexidade estrita governa a unicidade da melhor aproximação — bolas redondas dão um minimizante, bolas de lados retos dão segmentos deles (questões 2–4). A constelação de vetores unitários a distância mútua $1$ (questões 17–19) destrói a compacidade da bola unitária e, com ela, a precompacidade (questão 20). A questão 24 quantifica o colapso: as constantes que relacionam duas normas em $\R_n[X]$ crescem como $4^n$ , de modo que nenhuma comparação uniforme sobrevive à passagem a $\R[X]$ . O cume é o teorema extremal de Chebyshev (questões 11–12): o único minimizante mônico $2^{1-n}T_n$ . A melhor aproximação encontra sua casa moderna nos espaços de Hilbert, onde o teorema da projeção substitui a compacidade pela completude mais a identidade do paralelogramo — demonstrado honestamente no volume do terceiro ano de graduação.