O que é espaço métrico completo?

Exemplo 4.8 (De Cauchy sem limite)

Em $X = \Q$ com a distância usual, os truncamentos decimais de $\sqrt2$,

satisfazem $\abs{x_p - x_q} \leq 10^{-\min(p,q)}$: são de Cauchy em $\Q$. Um limite em $\Q$ seria também o limite em $\R$, a saber $\sqrt2 \notin \Q$: não existe limite em $X$. A incompletude é a presença desses “limites fantasmas”; a completude de $\R$ foi projetada no volume do primeiro ano de graduação precisamente para dar a toda sequência de Cauchy um lar.

Exemplo 4.13 (Uma equação integral)

Em $X = C(\intcc{0}{1})$ (completo, Teorema 4.9), considere $T(f)(x) = 1 + \frac12 \int_0^x f(t)\,\dd t$. Para $f, g \in X$:

de modo que $T$ é uma $\frac12$-contração: ela tem um único ponto fixo contínuo — a solução de $f' = \frac f2$, $f(0) = 1$, a saber $\eu^{x/2}$. Esse esquema, industrializado, torna-se o teorema de Cauchy–Lipschitz do Capítulo 16.

Exemplo 4.14 (Um ponto fixo numérico: $x = \cos x$)

No completo $X = \intcc{0}{1}$, a aplicação $f = \cos$ leva $X$ em $\intcc{\cos 1}{1} \subseteq X$ e é uma contração: pela desigualdade do valor médio,

Banach: uma única solução de $x = \cos x$ em $\intcc01$ (logo em $\R$: todo ponto fixo real está em $\intcc{-1}{1}$ e depois em $\intcc{\cos 1}{1}$ após uma aplicação), e a iteração $x_{n+1} = \cos x_n$ converge para ela a partir de qualquer início: $x_\infty \approx 0.739085$, o famoso número obtido martelando a tecla do cosseno de uma calculadora. A cota de erro prevê um decaimento em $(\sin1)^n/(1 - \sin1)$ — cerca de um algarismo a cada $13$ toques; a cota a posteriori do problema de fim de semana deste capítulo (questão 14) certifica cada passo em tempo real.

Exemplo 7.5 (Perturbando a identidade)

Seja $g \colon \R^d \to \R^d$ $k$-lipschitziana com $k < 1$. Então $\varphi = \mathrm{id} + g$ é um homeomorfismo de $\R^d$ sobre $\R^d$. Injetividade, com um módulo quantitativo:

A sobrejetividade é o teorema do ponto fixo: resolver $\varphi(x) = y$ significa $x = y - g(x)$, e $x \mapsto y - g(x)$ é uma $k$-contração do espaço completo $\R^d$ — existe uma única solução $x = \psi(y)$ para cada $y$. A desigualdade exibida torna a inversa $\psi$ lipschitziana de constante $\frac1{1-k}$: um homeomorfismo, com cotas explícitas para ambos os módulos. Esse enunciado de aparência inofensiva é o motor dentro do teorema da função inversa (Capítulo 20): perto de um ponto em que $Df$ é inversível, $f$ é uma aplicação linear inversível mais uma pequena perturbação lipschitziana, e o exemplo de hoje faz o resto. Ele também quantifica a robustez numérica: um sistema perturbado por menos do que a margem da inversa permanece solúvel, com a solução deslocando-se no máximo $\frac{1}{1-k}$ vezes a perturbação.