Matemática universitária — Graduação 2 · Bachelor Year 2

2Álgebra linear

A álgebra linear do volume do primeiro ano de graduação trabalhava sobre $\R$ ou $\C$ em dimensão finita e admitia o determinante geral. Este capítulo suprime as três restrições: a teoria é enunciada sobre um corpo arbitrário $K$ , o jogo entre um espaço e seu dual é desenvolvido sistematicamente (bases duais, anuladores, transpostas) e o determinante é enfim construído a partir das formas multilineares alternadas e da assinatura de Capítulo 1 — quitando todas as admissões do primeiro ano.

Em todo o capítulo, $K$ é um corpo ( $\Q$ , $\R$ , $\C$ ou $\Z/p\Z$ — a teoria não se importa) e, salvo menção contrária, os espaços têm dimensão finita sobre $K$ . Os resultados do primeiro ano (bases, dimensão, teorema do núcleo e da imagem, matrizes) transferem-se palavra por palavra: suas demonstrações nunca usaram nada além dos axiomas de corpo.

2.1 Espaço dual

Definição 2.1 (Espaço dual, base dual)

O dual de $E$ é $E^* = \mathcal{L}(E, K)$ , o espaço das formas lineares. Se $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ é uma base de $E$ , as formas coordenadas $e_1^*, \dots, e_n^*$ definidas por $e_i^*(e_j) = \delta_{ij}$ (Kronecker: $1$ se $i = j$ , e $0$ caso contrário) formam a base dual $\mathcal{B}^*$ de $E^*$ ; em particular $\dim E^* = \dim E$ , e

x = \sum_{i=1}^{n} e_i^*(x)\, e_i \quad (x \in E), \qquad \varphi = \sum_{i=1}^{n} \varphi(e_i)\, e_i^* \quad (\varphi \in E^*).

Demonstração de que $\mathcal{B}^*$ é uma base. Livre: aplicando uma combinação nula $\sum \lambda_i e_i^* = 0$ a $e_j$ obtém-se $\lambda_j = 0$ . Geradora: para $\varphi \in E^*$ , a forma $\varphi - \sum_i \varphi(e_i) e_i^*$ anula todo $e_j$ , logo é nula (uma aplicação linear que se anula numa base é nula). As duas fórmulas exibidas acima são os mesmos cálculos lidos no sentido direto. ∎

Exemplo 2.2

Em $K_n[X]$ com a base $(1, X, \dots, X^n)$ : a base dual é $P \mapsto \frac{P^{(k)}(0)}{k!}$ (coeficientes de Taylor). Outra base do dual: as avaliações $P \mapsto P(x_i)$ em $n + 1$ pontos distintos — sua base “pré-dual” em $K_n[X]$ é exatamente a família dos polinômios de Lagrange $L_i$ (volume do primeiro ano de graduação), pois $L_i(x_j) = \delta_{ij}$ . A interpolação é dualidade.

Método 2.3 (Bases duais e anteduais na prática)

Para desenvolver uma forma $\varphi$ numa base $(e_i)$ de $E$ : as coordenadas são os valores $\varphi(e_i)$ — não há sistema a resolver. Para achar a base $(u_j)$ de $E$ cuja dual é uma dada base $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ (a antedual): resolva os $n$ sistemas lineares

\varphi_i(u_j) = \delta_{ij} \qquad (1 \leq i \leq n),

uma coluna $u_j$ de cada vez; em termos matriciais, se as linhas de $M$ listam os coeficientes dos $\varphi_i$ numa base conhecida de $E^*$ , as colunas de $M^{-1}$ são os $u_j$ . A existência e a unicidade da antedual são demonstradas no problema de fim de semana deste capítulo; o cálculo é sempre essa inversão.

Exemplo 2.4 (Uma base dual de $\R^2$ , inteiramente calculada)

Para a base $b_1 = (1, 1)$ , $b_2 = (1, -1)$ de $\R^2$ : a base dual $(b_1^*, b_2^*)$ deve satisfazer $b_i^*(b_j) = \delta_{ij}$ . Escrevendo $b_1^*(x, y) = \alpha x + \beta y$ , as condições $\alpha + \beta = 1$ e $\alpha - \beta = 0$ dão

b_1^*(x, y) = \frac{x + y}{2}, \qquad\text{e do mesmo modo}\qquad b_2^*(x, y) = \frac{x - y}{2} .

Verificações de bom senso: $b_1^*$ não é $e_1^* + e_2^*$ avaliado ingenuamente — a base dual depende da base inteira, e não de cada vetor separadamente (substituir $b_2$ por $(0, 1)$ transforma $b_1^*$ em $x \mapsto x$ ). E a fórmula de desenvolvimento funciona: $(x, y) = \frac{x+y}2\,b_1 + \frac{x-y}2\,b_2$ , a decomposição par/ímpar de um par — as bases duais são extratoras de coordenadas, e esta extrai as partes simétrica e antissimétrica.

Definição 2.5 (Anulador)

Para um subespaço $F \subseteq E$ , o anulador é

F^{\circ} = \{\varphi \in E^* : \varphi|_F = 0\},

um subespaço de $E^*$ .

Teorema 2.6 (Dimensão do anulador)

$\dim F^{\circ} = \dim E - \dim F$ . Além disso, $F \mapsto F^\circ$ inverte as inclusões, e $F$ é recuperado a partir de seu anulador:

F = \{x \in E : \forall\varphi \in F^\circ,\ \varphi(x) = 0\}.

Por consequência, todo subespaço de dimensão $p$ em dimensão $n$ é o conjunto solução de $n - p$ equações lineares independentes — e reciprocamente.

Demonstração. Escolha uma base $(e_1, \dots, e_p)$ de $F$ completada numa base de $E$ . Uma forma $\varphi = \sum \varphi(e_i) e_i^*$ anula $F$ se e somente se seus $p$ primeiros coeficientes se anulam: $F^\circ = \operatorname{Vect}(e_{p+1}^*, \dots, e_n^*)$ , de dimensão $n - p$ . A inversão das inclusões é imediata. Para a recuperação: o membro da direita contém $F$ ; reciprocamente, se $x \notin F$ , complete uma base de $F$ com $x$ e outros vetores; a forma coordenada de $x$ nessa base anula $F$ mas não $x$ . A leitura em “equações” toma uma base $(\varphi_1, \dots, \varphi_{n-p})$ de $F^\circ$ : então $F = \bigcap \ker\varphi_j$ , uma interseção de $n - p$ hiperplanos independentes. ∎

Exemplo 2.7 (Um anulador, nos dois sentidos)

Seja $F = \operatorname{Vect}\bigl((1, 2, 1),\ (1, 0, -1)\bigr) \subseteq \R^3$ . Uma forma $\varphi = a\,e_1^* + b\,e_2^* + c\,e_3^*$ anula $F$ se e somente se

a + 2b + c = 0 \qquad\text{e}\qquad a - c = 0 ,

isto é, $c = a$ e $b = -a$ : $F^\circ = \R\,(e_1^* - e_2^* + e_3^*)$ , de dimensão $3 - 2 = 1$ como exige o Teorema 2.6. Lendo no sentido inverso: $F = \{(x, y, z) : x - y + z = 0\}$ — o plano recuperado como núcleo da única forma que gera $F^\circ$ . Passar de uma família geradora a equações é calcular um anulador; passar de equações a uma parametrização é calcular um pré-anulador. (Verificação: os dois vetores geradores satisfazem $x - y + z = 0$ .)

Definição 2.8 (Aplicação transposta)

Para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , a transposta $u^{\mathsf T} \in \mathcal{L}(F^*, E^*)$ é

u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u .

Ela satisfaz $(v \circ u)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T} \circ v^{\mathsf T}$ e, em bases duais, a matriz de $u^{\mathsf T}$ é a matriz transposta de $u$ — o que finalmente explica a transposição do primeiro ano.

Exemplo 2.9 (A transposta, entrada por entrada)

Seja $u \colon \R^2 \to \R^3$ de matriz $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 2\\ 0 & 1\\ 3 & 0\end{smallmatrix}\right)$ nas bases canônicas. Para $\psi = b_1f_1^* + b_2f_2^* + b_3f_3^* \in (\R^3)^*$ , calcule $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ na base de $\R^2$ :

(\psi \circ u)(e_1) = \psi(1, 0, 3) = b_1 + 3b_3, \qquad (\psi \circ u)(e_2) = \psi(2, 1, 0) = 2b_1 + b_2 .

Logo $u^{\mathsf T}(\psi) = (b_1 + 3b_3)\,e_1^* + (2b_1 + b_2)\,e_2^*$ e, nas bases duais, a matriz de $u^{\mathsf T}$ é

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3\\ 2 & 1 & 0\end{pmatrix} = A^{\mathsf T} :

a transposta abstrata é a matriz virada, sem nenhum cálculo que reste a aceitar por fé. Note o mecanismo: a $j$ -ésima coluna de $A$ tornou-se a $j$ -ésima linha da nova matriz porque $\psi \circ u$ lê as saídas de $u$ através dos coeficientes de $\psi$ .

Proposição 2.10

$\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^{\circ}$ e $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^{\circ}$ . Por consequência, $\operatorname{rk}(u^{\mathsf T}) = \operatorname{rk}(u)$ : o posto por linhas é igual ao posto por colunas, demonstrado estruturalmente.

Demonstração. $\psi \in \ker u^{\mathsf T} \iff \psi \circ u = 0 \iff \psi$ anula $\operatorname{im} u$ : a primeira identidade. Para a segunda: $u^{\mathsf T}(\psi) = \psi \circ u$ anula $\ker u$ sempre, logo $\operatorname{im} u^{\mathsf T} \subseteq (\ker u)^\circ$ ; as dimensões coincidem pelo teorema do núcleo e da imagem e por Teorema 2.6:

\operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \dim F^* - \dim\ker u^{\mathsf T} = \dim F - \bigl(\dim F - \operatorname{rk} u\bigr) = \operatorname{rk} u = \dim (\ker u)^{\circ} . \qedhere

∎

Exemplo 2.11 (O posto lido dos dois lados)

Seja

A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 & 1\\ 0 & 1 & 1 & 1\\ 1 & 3 & 1 & 2 \end{pmatrix} .

Posto por colunas: a terceira linha é a soma das duas primeiras, logo $\operatorname{rk} A \leq 2$ ; as colunas $1$ e $2$ são livres: $\operatorname{rk} A = 2$ . O núcleo da transposta: resolvendo $A^{\mathsf T}y = 0$ obtém-se $y \in \R\,(1, 1, -1)$ , de modo que $\ker A^{\mathsf T}$ tem dimensão $1 = 3 - 2$ : exatamente $(\operatorname{im} A)^\circ$ sob a identificação de $(\R^3)^*$ com os vetores linha, como afirma a Proposição 2.10 — a única relação “linha $_3$ = linha $_1$ + linha $_2$ ” é o anulador do espaço das colunas. O posto por linhas ( $2$ linhas livres) e o posto por colunas coincidem não por acaso, mas porque ambos valem $\operatorname{rk} A = \operatorname{rk} A^{\mathsf T}$ .

Exemplo 2.12 (A dualidade lê uma regra de quadratura)

Por que uma regra como a de Simpson (Exercício 2.4) existe e por que ela é única? A dualidade responde antes de qualquer cálculo. Em $E = \R_2[X]$ , a integral $P \mapsto \int_0^1 P$ é um vetor específico do dual tridimensional $E^*$ ; as avaliações em $0$ , $\frac12$ , $1$ formam uma base de $E^*$ ; logo a integral se desenvolve de modo único sobre elas — esse desenvolvimento é a regra de Simpson, com coeficientes e tudo. Uma contagem de dimensões também calibra as expectativas: em $\R_3[X]$ , quatro dimensões de formas não podem em geral ser geradas por três avaliações, de modo que a exatidão sobre as cúbicas não é devida pela dualidade; que Simpson integre as cúbicas exatamente assim mesmo é uma simetria de brinde (cancelamento de grau ímpar em torno de $\frac12$ ), a ser verificada à mão. As regras com $n + 1$ nós são desenvolvimentos da forma integração numa base de avaliações de $\R_n[X]^*$ : a existência e a unicidade custam um teorema de base dual; só os graus de brinde custam trabalho.

2.2 Formas multilineares alternadas

Definição 2.13

Uma aplicação $f \colon E^n \to K$ é $n$ -linear quando é linear em cada variável, e alternada quando se anula sempre que dois argumentos são iguais. Ser alternada implica ser antissimétrica: trocar dois argumentos muda o sinal (desenvolva $f(\dots, x + y, \dots, x + y, \dots) = 0$ ); mais geralmente, para $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ ,

f(x_{\sigma(1)}, \dots, x_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma)\, f(x_1, \dots, x_n),

decompondo $\sigma$ em transposições (Teorema 1.21).

Teorema 2.14 (Teorema fundamental dos determinantes)

Sejam $\dim E = n$ e $\mathcal{B} = (e_1, \dots, e_n)$ uma base. O espaço das formas $n$ -lineares alternadas sobre $E$ tem dimensão $1$ : toda forma desse tipo é um múltiplo de

\det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) = \sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_n} \varepsilon(\sigma) \prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i}, \qquad x_j = \sum_{i} a_{ij} e_i ,

e $\det_{\mathcal{B}}$ é a única que assume o valor $1$ em $\mathcal{B}$ .

Demonstração. Seja $f$ uma forma $n$ -linear alternada. Desenvolvendo cada argumento em $\mathcal{B}$ pela multilinearidade,

f(x_1, \dots, x_n) = \sum_{i_1, \dots, i_n} a_{i_1,1}\cdots a_{i_n,n}\, f(e_{i_1}, \dots, e_{i_n}).

Os termos com índice repetido se anulam (é alternada); as listas sobreviventes $(i_1, \dots, i_n)$ são as injetivas, isto é, $i_k = \sigma(k)$ para uma permutação $\sigma$ , e a antissimetria reordena $f(e_{\sigma(1)}, \dots, e_{\sigma(n)}) = \varepsilon(\sigma) f(e_1, \dots, e_n)$ . Logo

f = f(e_1, \dots, e_n) \cdot \det{}_{\mathcal{B}} :

toda forma alternada é esse múltiplo, desde que $\det_{\mathcal{B}}$ ela mesma (a soma exibida) seja $n$ -linear alternada e assuma o valor $1$ em $\mathcal B$ . A multilinearidade é clara (cada parcela é linear em cada coluna). Valor em $\mathcal B$ : o único termo não nulo é $\sigma = \mathrm{id}$ . Alternada: suponha $x_j = x_k$ ( $j \neq k$ ), de modo que as colunas de coordenadas satisfazem $a_{i j} = a_{i k}$ para todo $i$ . Emparelhe cada $\sigma$ com $\sigma' = \sigma\circ(j\,k)$ — uma involução sem ponto fixo em $\mathfrak{S}_n$ . Os produtos emparelhados coincidem:

\prod_i a_{\sigma'(i),\,i} = a_{\sigma(k),\,j}\; a_{\sigma(j),\,k} \prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i} = a_{\sigma(k),\,k}\; a_{\sigma(j),\,j} \prod_{i \neq j,k} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_i a_{\sigma(i),\,i},

usando a igualdade das colunas $j$ e $k$ ; ao passo que $\varepsilon(\sigma') = -\varepsilon(\sigma)$ . Cada par contribui com zero: a soma se anula. ∎

Exemplo 2.15 (Sarrus, deduzido e demolido)

Para $n = 3$ a fórmula das permutações tem exatamente $3! = 6$ termos. Listando $\mathfrak{S}_3$ por assinatura — $\mathrm{id}$ , $(1\,2\,3)$ , $(1\,3\,2)$ pares; $(1\,2)$ , $(1\,3)$ , $(2\,3)$ ímpares — obtém-se

\det A = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{21}a_{32}a_{13} + a_{31}a_{12}a_{23} - a_{21}a_{12}a_{33} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{11}a_{32}a_{23} :

precisamente a regra das “diagonais” de Sarrus ensinada na escola — agora um teorema, com os sinais misteriosos identificados como assinaturas. A demolição: para $n = 4$ há $24$ permutações, das quais apenas $8$ são capturadas por qualquer esquema de diagonais; Sarrus não tem versão em grau $4$ , e o desenvolvimento por cofatores (Teorema 2.17 (4)) assume o comando. Contar termos também é um aviso: a fórmula das permutações tem $n!$ parcelas, de modo que ela é uma definição, e não um algoritmo — o escalonamento calcula $\det$ em $O(n^3)$ operações.

Definição 2.16 (Determinantes)

O determinante de uma família numa base é $\det_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n)$ ; o determinante de uma matriz $A$ é o determinante de suas colunas na base canônica — a fórmula das permutações acima; o determinante de um endomorfismo $u$ é o escalar $\det u$ tal que

\det{}_{\mathcal{B}}\bigl(u(x_1), \dots, u(x_n)\bigr) = \det u \cdot \det{}_{\mathcal{B}}(x_1, \dots, x_n) \quad \text{para todo } x_i

(o membro da esquerda é $n$ -linear alternado, logo um múltiplo de $\det_\mathcal{B}$ pelo Teorema 2.14; o fator não depende de $\mathcal{B}$ ).

Teorema 2.17 (O cálculo dos determinantes, demonstrado)

$\det(uv) = \det u\,\det v$ ; $\;\det(AB) = \det A \det B$ .
$u$ é invertível $\iff \det u \neq 0$ ; uma família é uma base $\iff$ seu determinante em alguma base é não nulo.
$\det(A^{\mathsf T}) = \det A$ .
O desenvolvimento por cofatores ao longo de qualquer linha ou coluna, como enunciado no volume do primeiro ano de graduação, vale; matrizes semelhantes têm o mesmo determinante.

Demonstração. (1) Aplique duas vezes a relação de definição: $\det_{\mathcal B}(uv(x_i)) = \det u \cdot \det_{\mathcal B}(v(x_i)) = \det u \det v \cdot \det_{\mathcal B}(x_i)$ .

(2) Se $u$ é invertível, $\det u \det u^{-1} = \det \mathrm{id} = 1 \neq 0$ . Se não, as imagens $u(e_i)$ são ligadas; exprimindo uma pelas outras e desenvolvendo, $\det_{\mathcal B}(u(e_i)) = 0$ (ser alternada mata as direções repetidas), logo $\det u = 0$ . O critério de base é o mesmo enunciado para famílias.

(3) Na fórmula das permutações, reindexe cada produto por $j = \sigma(i)$ , isto é, $i = \tau(j)$ com $\tau = \sigma^{-1}$ : os fatores são os mesmos números em outra ordem, logo

\prod_{i=1}^{n} a_{\sigma(i),\,i} = \prod_{j=1}^{n} a_{j,\,\tau(j)} ,

e $\varepsilon(\tau) = \varepsilon(\sigma)^{-1} = \varepsilon(\sigma)$ (os valores são $\pm1$ ; $\varepsilon$ é um morfismo). Somar sobre $\sigma$ é o mesmo que somar sobre $\tau$ (a inversão é uma bijeção de $\mathfrak{S}_n$ ):

\det A = \sum_{\tau}\varepsilon(\tau)\prod_j a_{j,\tau(j)} = \det(A^{\mathsf T}),

sendo a última soma a fórmula das permutações aplicada às entradas transpostas $(A^{\mathsf T})_{ij} = a_{ji}$ .

(4) Fixe a coluna $j$ e decomponha $x_j = \sum_i a_{ij} e_i$ por linearidade: $\det A = \sum_i a_{ij}\, \det(\dots, e_i, \dots)$ , e levar $e_i$ à última posição ( $n - i$ transposições de linhas, $n - j$ de colunas, via (3)) identifica $\det(\dots, e_i, \dots) = (-1)^{i+j}\Delta_{ij}$ com o menor: exatamente a regra dos cofatores do primeiro ano. Semelhança: $\det(P^{-1}AP) = \det P^{-1}\det A \det P = \det A$ por (1). ∎

Exemplo 2.18 (Desenvolvimento por cofatores, executado)

Calcule

\det\begin{pmatrix} 2 & 1 & 3\\ 0 & 4 & 1\\ 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}

ao longo da primeira coluna (dois zeros de preguiça: um). Os sinais seguem o tabuleiro de damas $(-1)^{i+j}$ :

2\,\det\begin{pmatrix}4 & 1\\ 2 & 0\end{pmatrix} - 0 + 1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 3\\ 4 & 1\end{pmatrix} = 2(0 - 2) + (1 - 12) = -15 .

Confira por Sarrus (Exemplo 2.15): $0 + 1 + 0 - 12 - 0 - 4 = -15$ . Estratégia, e não doutrina: desenvolva ao longo da linha com mais zeros e, quando nenhuma tiver nenhum, fabrique alguns primeiro por operações elementares — uma rodada de eliminação custa menos do que duas camadas de cofatores.

Exemplo 2.19 (Um determinante pelas regras)

Seja $J \in \mathcal{M}_n(K)$ a matriz de uns e $a \in K$ ; calculamos $\det(aI_n + J)$ com as ferramentas recém-demonstradas. Toda coluna de $aI_n + J$ soma da mesma maneira: some todas as linhas à primeira (o determinante não muda — somar um múltiplo de uma linha a outra acrescenta um termo de direção repetida, morto pela alternância). A primeira linha torna-se $(a + n, a + n, \dots, a + n)$ ; ponha $a + n$ em evidência pela linearidade nessa linha, depois subtraia a primeira coluna de todas as demais: o que resta é triangular com diagonal $(1, a, \dots, a)$ . Logo

\det(aI_n + J) = (a + n)\,a^{\,n-1}.

A lição final: as raízes $a = 0$ (multiplicidade $n - 1$ ) e $a = -n$ dizem que $J$ tem autovalor $0$ com multiplicidade $n - 1$ e autovalor $n$ uma vez — o espectro da matriz de posto um $J$ , um capítulo antes da hora (o Capítulo 3 tornará isso sistemático).

Exemplo 2.20 (Um determinante pela fórmula das permutações)

Para uma matriz com muitos zeros a fórmula é prática por si só: em

A = \begin{pmatrix} 0 & a & 0 & 0\\ 0 & 0 & b & 0\\ 0 & 0 & 0 & c\\ d & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix},

a única permutação que colhe entradas não nulas é o $4$ -ciclo $\sigma = (1\,2\,3\,4)$ que leva a coluna $1 \to$ na linha $4$ , etc.; $\varepsilon(\sigma) = (-1)^3 = -1$ , logo $\det A = -abcd$ . (Confira por três trocas de colunas até chegar a uma matriz diagonal.)

Exemplo 2.21 (Uma Vandermonde pela fórmula do produto)

Para os nós $0, 1, 2$ (usados por regras de quadratura como a de Exercício 2.4), o determinante de Vandermonde de Exercício 2.11 se calcula num relance:

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\ 0 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \end{pmatrix} = (1 - 0)(2 - 0)(2 - 1) = 2 ,

e por desenvolvimento direto ao longo da primeira coluna: $1\cdot(4 - 2) = 2$ : coincidem. A não anulação para nós distintos é toda a teoria da interpolação em um só determinante: as formas de avaliação $P \mapsto P(a_i)$ são uma base do dual exatamente quando esse determinante é não nulo, isto é, sempre que os $a_i$ são distintos — o Exemplo 2.2 quantificado.

2.3 O traço, revisitado

Proposição 2.22

O traço $\operatorname{tr} \colon \mathcal{M}_n(K) \to K$ é a única forma linear com $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ e $\operatorname{tr}(I_n) = n$ (para $\operatorname{char} K = 0$ ); o traço de um endomorfismo está bem definido por qualquer representação matricial, e

\operatorname{tr}(u) = \sum_{i} e_i^*\bigl(u(e_i)\bigr)

em qualquer base — a dualidade escreve o traço sem base.

Demonstração. $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ e a invariância por mudança de base foram demonstradas no primeiro ano. Unicidade: uma forma linear $t$ com $t(AB) = t(BA)$ anula todo comutador $AB - BA$ . Afirmamos que os comutadores geram o hiperplano de traço nulo, de dimensão $n^2 - 1$ . Bastam duas famílias de comutadores. A regra de multiplicação das matrizes elementares é $E_{ab}E_{cd} = \delta_{bc}E_{ad}$ . Para $i \neq j$ ela dá

E_{ii}E_{ij} - E_{ij}E_{ii} = E_{ij} - 0 = E_{ij}

(o segundo produto é $E_{ij}E_{ii} = \delta_{ji}E_{ii} = 0$ , pois $j \neq i$ ): toda $E_{ij}$ fora da diagonal é um comutador. E

E_{ij}E_{ji} - E_{ji}E_{ij} = E_{ii} - E_{jj} .

As $E_{ij}$ ( $i \neq j$ , em número de $n^2 - n$ ) junto com as $E_{11} - E_{jj}$ ( $j \geq 2$ , em número de $n - 1$ ) são $n^2 - 1$ matrizes de traço nulo linearmente independentes: elas geram o hiperplano $\ker\operatorname{tr}$ . Assim $t$ se anula onde $\operatorname{tr}$ se anula e se fatora por ela: $t = c\operatorname{tr}$ ; então $t(I) = n$ obriga $c = 1$ . A fórmula exibida: a $i$ -ésima entrada diagonal da matriz de $u$ é precisamente $e_i^*(u(e_i))$ . ∎

Observação 2.23 (Armadilhas comuns)

(i) O determinante é $n$ -linear nas colunas, e não linear na matriz: $\det(A + B) \neq \det A + \det B$ em geral, e $\det(\lambda A) = \lambda^n\det A$ , e não $\lambda\det A$ . (ii) A transposição inverte os produtos: $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ ; esquecer a inversão arruína todo cálculo que envolva inversas. (iii) O anulador $F^\circ$ vive em $E^*$ , e não em $E$ : ele só se torna o familiar “complemento ortogonal” depois que um produto interno identifica $E$ com $E^*$ (Capítulo 12); nenhuma identificação dessas é canônica. (iv) “Posto por linhas igual a posto por colunas” não significa que o espaço das linhas seja igual ao espaço das colunas — os dois vivem em espaços diferentes ( $K^n$ e $K^m$ ) e estão relacionados por Proposição 2.10, não são iguais. (v) A fórmula das permutações é um instrumento de demonstração: para números, use operações elementares e cofatores (Exemplo 2.15).

Exemplo 2.24 (O emparelhamento traço reparte o espaço de matrizes)

Em $\mathcal{M}_2(\R)$ com o emparelhamento $\langle A, B\rangle = \operatorname{tr}(AB)$ do Exercício 2.9: decomponha $M = \left(\begin{smallmatrix}1 & 4\\ 2 & 3\end{smallmatrix}\right)$ em parte simétrica e parte antissimétrica,

M = S + A, \qquad S = \tfrac12(M + M^{\mathsf T}) = \begin{pmatrix}1 & 3\\ 3 & 3\end{pmatrix}, \qquad A = \tfrac12(M - M^{\mathsf T}) = \begin{pmatrix}0 & 1\\ -1 & 0\end{pmatrix}.

Então $\operatorname{tr}(SA) = \operatorname{tr} \left(\begin{smallmatrix}-3 & 1\\ -3 & 3\end{smallmatrix}\right) = 0$ : as duas partes são “ortogonais” para o emparelhamento traço — um caso do fato geral (demonstrado no problema de fim de semana deste capítulo) de que as matrizes antissimétricas formam exatamente o anulador das simétricas. A dualidade enxerga a decomposição $\mathcal{M}_n = \mathcal{S}_n \oplus \mathcal{A}_n$ antes que qualquer produto interno seja escolhido.

Observação 2.25 (Perspectivas dentro deste volume)

Observe as três construções deste capítulo trocarem de figurino adiante. A transposta volta no Capítulo 3: $u$ e $u^{\mathsf T}$ têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades geométricas (problema de fim de semana deste capítulo, questão 15), e é por isso que as análises por linhas e por colunas de uma matriz nunca discordam. O determinante torna-se função de um parâmetro no Capítulo 3 ( $\chi_u(X) = \det(X\,\mathrm{id} - u)$ ) e um jacobiano no Capítulo 20, onde sua multilinearidade vira o fator de mudança de variáveis. O traço semeia os invariantes de semelhança: é o segundo coeficiente de $\chi_u$ , a soma dos autovalores e, no fim das contas, a integral da diagonal em identidades ao estilo Capítulo 14. Um capítulo de álgebra linear, três longas sombras.

Observação 2.26 (Onde este capítulo é usado)

O espaço dual não é uma abstração pela abstração: os anuladores e as transpostas governam a teoria da resolubilidade dos sistemas lineares (o problema de fim de semana deste capítulo deduz deles a alternativa de Fredholm em dimensão finita), os emparelhamentos não degenerados reaparecem como a forma polar no Capítulo 12 e o adjunto no Capítulo 13, e o determinante aqui construído move todo o Capítulo 3. No volume do terceiro ano de graduação, a mesma dualidade, transportada para dimensão infinita, torna-se o teorema de representação de Riesz e a teoria de Fredholm em espaços de Hilbert — com a compacidade substituindo as contagens de dimensão usadas aqui.

2.4 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Em $\R^3$ , sejam $\varphi_1(x,y,z) = x + y$ , $\varphi_2 = y + z$ , $\varphi_3 = x + z$ . Prove que $(\varphi_1, \varphi_2, \varphi_3)$ é uma base de $(\R^3)^*$ e determine a base de $\R^3$ da qual ela é a dual.

Solução

Solução de Exercício 2.1.

Três formas num dual de dimensão $3$ : basta a liberdade. Uma relação $\alpha\varphi_1 + \beta\varphi_2 + \gamma\varphi_3 = 0$ avaliada em $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ dá $\alpha + \gamma = 0$ , $\alpha + \beta = 0$ , $\beta + \gamma = 0$ , donde $\alpha = \beta = \gamma = 0$ .

Base pré-dual $(u_1, u_2, u_3)$ : resolva $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ . Escrevendo $u_j = (x, y, z)$ : para $u_1$ : $x + y = 1$ , $y + z = 0$ , $x + z = 0$ dá $u_1 = \bigl(\tfrac12, \tfrac12, -\tfrac12\bigr)$ ; simetricamente $u_2 = \bigl(-\tfrac12, \tfrac12, \tfrac12\bigr)$ , $u_3 = \bigl(\tfrac12, -\tfrac12, \tfrac12\bigr)$ .

Exercício 2.2 ★

Calcule pela fórmula das permutações os determinantes de

\begin{pmatrix} 0 & 0 & a\\ 0 & b & 0\\ c & 0 & 0 \end{pmatrix}, \qquad \begin{pmatrix} a & b & 0 & 0\\ c & d & 0 & 0\\ 0 & 0 & e & f\\ 0 & 0 & g & h \end{pmatrix},

e enuncie a regra de blocos diagonais que a segunda sugere.

Solução

Solução de Exercício 2.2.

Primeira matriz: a única permutação de produto não nulo leva $1 \mapsto 3$ , $2 \mapsto 2$ , $3 \mapsto 1$ — a transposição $(1\,3)$ , de assinatura $-1$ : determinante $-abc$ .

Segunda: uma permutação com produto não nulo não pode misturar os dois blocos (uma entrada que os ligue vale $0$ ), logo ela se separa numa permutação de $\{1,2\}$ vezes uma de $\{3,4\}$ , e a assinatura é o produto das duas assinaturas: a soma se fatora como

(ad - bc)(eh - fg) .

Regra geral sugerida (e verdadeira, com a mesma demonstração): o determinante de uma matriz diagonal por blocos é o produto dos determinantes dos blocos.

Exercício 2.3 ★

Seja $F = \{(x,y,z,t) \in \R^4 : x + y = z + t \text{ e } x = 2y\}$ . Dê uma base de $F^\circ$ e confira o Teorema 2.6 nas dimensões.

Solução

Solução de Exercício 2.3.

$F$ é definido pelas duas equações independentes $\varphi_1(x,y,z,t) = x + y - z - t = 0$ e $\varphi_2 = x - 2y = 0$ : pelo Teorema 2.6 lido no sentido inverso, $F^\circ = \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — elas pertencem a $F^\circ$ por construção, são livres (não proporcionais), e $\dim F^\circ = 4 - \dim F = 4 - 2 = 2$ pois $\dim F = 2$ (duas equações independentes em $\R^4$ ). Base: $(\varphi_1, \varphi_2)$ ; dimensões: $2 + 2 = 4$ , como exige o teorema.

Exercício 2.4 ★★

Sejam $a_0, \dots, a_n$ pontos distintos de $K$ e $\varphi_i \colon P \mapsto P(a_i)$ em $K_n[X]$ . Prove que $(\varphi_0, \dots, \varphi_n)$ é uma base de $K_n[X]^*$ , identifique sua base pré-dual e desenvolva a forma $P \mapsto \int_0^1 P(t)\,\dd t$ (para $K = \R$ , $n = 2$ , $a_i = 0, \frac12, 1$ ) nessa base — reconhecendo a regra de Simpson.

Solução

Solução de Exercício 2.4.

As $\varphi_i$ são $n + 1$ formas num espaço de dimensão $(n+1)$ : basta a liberdade. Se $\sum_i \lambda_i \varphi_i = 0$ , avalie no polinômio de Lagrange $L_j$ dos nós: $\lambda_j = 0$ . A base pré-dual é $(L_0, \dots, L_n)$ , pois $\varphi_i(L_j) = L_j(a_i) = \delta_{ij}$ .

Para a forma integral com nós $0, \frac12, 1$ em $\R_2[X]$ : $\int_0^1 P = \sum_i c_i P(a_i)$ com $c_i = \int_0^1 L_i$ . Calcule: $L_0 = 2(X - \tfrac12)(X - 1)$ , $\int_0^1 L_0 = \frac16$ ; $L_1 = -4X(X-1)$ , $\int_0^1 L_1 = \frac46$ ; $L_2 = 2X(X - \tfrac12)$ , $\int_0^1 L_2 = \frac16$ . Logo

\int_0^1 P = \frac{1}{6}\Bigl(P(0) + 4P\bigl(\tfrac12\bigr) + P(1)\Bigr) \quad (P \in \R_2[X]) :

a regra de Simpson, exata sobre as quadráticas — um enunciado sobre bases duais.

Exercício 2.5 ★★

Seja $u \in \mathcal{L}(E)$ com $\dim E = n$ e $\operatorname{rk} u = 1$ . Prove que $u = \varphi(\cdot)\, a$ para um vetor $a$ e uma forma $\varphi$ ; que $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ ; e que $u^2 = (\operatorname{tr} u)\, u$ . Deduza $\det(I + u) = 1 + \operatorname{tr} u$ .

Solução

Solução de Exercício 2.5.

$\operatorname{im} u = Ka$ para algum $a \neq 0$ ; então $u(x) = \varphi(x)\,a$ , em que $\varphi(x)$ é a coordenada de $u(x)$ em $a$ — linear em $x$ . Traço: complete $a = e_1$ numa base; a matriz de $u$ tem colunas $\varphi(e_j)\,e_1$ , de modo que sua única entrada diagonal é $\varphi(e_1) = \varphi(a)$ : $\operatorname{tr} u = \varphi(a)$ . Então

u^2(x) = \varphi(x)\, u(a) = \varphi(x)\varphi(a)\, a = (\operatorname{tr} u)\, u(x).

Determinante, em dois casos. Se $\varphi(a) \neq 0$ : tome uma base qualquer do hiperplano $\ker\varphi$ e acrescente $a$ . Então $u$ anula $\ker\varphi$ (aí $u(x) = \varphi(x)a = 0$ ) e $u(a) = \varphi(a)\,a$ : a matriz de $I + u$ é diagonal, $(1, \dots, 1,\, 1 + \varphi(a))$ , logo $\det(I + u) = 1 + \varphi(a) = 1 + \operatorname{tr} u$ . Se $\varphi(a) = 0$ : então $a \in \ker\varphi$ ; tome uma base de $\ker\varphi$ cujo primeiro vetor seja $a$ e acrescente um vetor $b$ com $\varphi(b) = 1$ . Então $I + u$ fixa a base de $\ker\varphi$ e leva $b \mapsto b + a$ : triangular com diagonal de uns, $\det(I + u) = 1 = 1 + \operatorname{tr} u$ . Os dois casos concordam com a fórmula.

Exercício 2.6 ★★

Prove que todo hiperplano de $\mathcal{M}_n(K)$ ( $n \geq 2$ ) contém uma matriz invertível. Sugestão: um hiperplano é $\{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ para algum $A \neq 0$ (Exercício 2.9). Se $A$ é escalar, exiba uma matriz invertível de traço nulo; caso contrário, ache uma $M$ invertível que faça $AM$ ter diagonal nula — uma matriz do tipo permutação resolve.

Solução

Solução de Exercício 2.6.

Pelo Exercício 2.9, o hiperplano é $H_A = \{M : \operatorname{tr}(AM) = 0\}$ com $A \neq 0$ .

Se $A = \lambda I$ : $H_A$ é o hiperplano de traço nulo; a matriz da permutação $n$ -ciclo (uns nas posições $(i, i+1)$ e $(n, 1)$ ) é invertível (seu determinante vale $\pm 1$ pelo cálculo do Exemplo 2.20) e tem traço nulo.

Se $A$ não é escalar: primeiro ache uma $P$ invertível tal que $B = P^{-1}AP$ tenha uma entrada não nula fora da diagonal $b_{ji}$ ( $j \neq i$ ). De fato, se $A$ já tem uma, tome $P = I$ ; se $A$ é diagonal com duas entradas distintas $d_1 \neq d_2$ , conjugar pela transvecção $P = I + E_{12}$ produz a entrada fora da diagonal $d_1 - d_2 \neq 0$ (calcule: $P^{-1}AP = A + (d_1 - d_2)E_{12}$ ); e uma matriz diagonal com todas as entradas iguais é escalar, caso excluído. Ponha agora $M' = I + tE_{ij}$ com $t = -\operatorname{tr}(B)/b_{ji}$ : então

\operatorname{tr}(BM') = \operatorname{tr} B + t\,b_{ji} = 0,

e $M'$ é invertível (triangular com diagonal de uns). Desfazendo a conjugação, $M = PM'P^{-1}$ é invertível e $\operatorname{tr}(AM) = \operatorname{tr}(BM') = 0$ : $M \in H_A$ .

Exercício 2.7 ★★

(Derivada do determinante) Para $A \in \mathcal{M}_n(\R)$ , prove a partir da multilinearidade que

\frac{\dd}{\dd t}\Big|_{t=0} \det(I_n + tA) = \operatorname{tr} A ,

e deduza $\det(\eu^{tA}) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ admitindo a diferenciabilidade de $t \mapsto \det(\eu^{tA})$ e a propriedade de grupo $\eu^{(s+t)A} = \eu^{sA}\eu^{tA}$ (estabelecida no Capítulo 16).

Solução

Solução de Exercício 2.7.

$\det(I + tA)$ é, pela fórmula das permutações, um polinômio em $t$ ; seu termo constante é $1$ ( $t = 0$ ). Seu coeficiente em $t$ : desenvolva $\det$ como forma alternada das colunas $e_j + t\,c_j(A)$ ; pela multilinearidade, os termos lineares em $t$ substituem exatamente uma $e_j$ por $c_j(A)$ :

\sum_{j} \det(e_1, \dots, c_j(A), \dots, e_n) = \sum_j a_{jj} = \operatorname{tr} A ,

(o determinante com todas as colunas canônicas exceto $c_j(A)$ na posição $j$ colhe a $j$ -ésima entrada diagonal). Logo a derivada em $0$ vale $\operatorname{tr} A$ .

Seja $g(t) = \det(\eu^{tA})$ . A propriedade de grupo dá $g(s + t) = g(s)g(t)$ (multiplicatividade do $\det$ ), $g$ é derivável e $g'(0) = \operatorname{tr} A$ pelo que precede ( $\eu^{tA} = I + tA + O(t^2)$ ). Um morfismo derivável $(\R, +) \to (\R^*, \times)$ satisfaz $g' = g'(0)\,g$ (derive $g(s+t)$ em $s$ no ponto $0$ ), logo $g(t) = \eu^{t\operatorname{tr} A}$ pela unicidade das soluções de $y' = cy$ com $y(0) = 1$ (volume do primeiro ano de graduação).

Exercício 2.8 ★★

(Circulante, $3 \times 3$ ) Sejam $j = \eu^{2\iu\pi/3}$ e

C = \begin{pmatrix} a & b & c\\ c & a & b\\ b & c & a \end{pmatrix} \in \mathcal{M}_3(\C).

Verifique que as colunas da matriz de Vandermonde de $1, j, j^2$ são autovetores de $C$ e deduza

\det C = (a + b + c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).

Solução

Solução de Exercício 2.8.

Seja $v_k = (1, j^k, j^{2k})^{\mathsf T}$ para $k = 0, 1, 2$ . Usando $1 + j + j^2 = 0$ e $j^3 = 1$ :

C v_k = \begin{pmatrix} a + b j^k + c j^{2k}\\ c + a j^k + b j^{2k}\\ b + c j^k + a j^{2k} \end{pmatrix} = (a + b j^k + c j^{2k}) \begin{pmatrix} 1\\ j^k\\ j^{2k}\end{pmatrix},

(confira a segunda linha: $j^k(a + bj^k + cj^{2k}) = aj^k + bj^{2k} + cj^{3k} = c + aj^k + bj^{2k}$ ). Logo $v_k$ é autovetor com autovalor $\lambda_k = a + bj^k + cj^{2k}$ . Os $v_k$ formam uma base (Vandermonde dos $1, j, j^2$ distintos), logo $C$ é diagonalizável com esses autovalores e

\det C = \lambda_0\lambda_1\lambda_2 = (a+b+c)(a + bj + cj^2)(a + bj^2 + cj).

Exercício 2.9 ★★★

Prove que toda forma linear $t$ em $\mathcal{M}_n(K)$ é $M \mapsto \operatorname{tr}(AM)$ para uma única $A$ : a aplicação $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ é um isomorfismo de $\mathcal{M}_n(K)$ sobre seu dual. Deduza de novo o enunciado de unicidade da Proposição 2.22.

Solução

Solução de Exercício 2.9.

A aplicação $\Theta \colon A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ é linear de $\mathcal{M}_n(K)$ em seu dual, entre espaços de mesma dimensão $n^2$ : basta a injetividade. Se $\operatorname{tr}(AM) = 0$ para toda $M$ , tome $M = E_{ji}$ : $\operatorname{tr}(A E_{ji}) = a_{ij} = 0$ para todos $i, j$ : $A = 0$ . Logo $\Theta$ é um isomorfismo.

Unicidade do traço (Proposição 2.22): uma forma $t$ que anula todos os comutadores é $\operatorname{tr}(A\,\cdot)$ para alguma $A$ com $\operatorname{tr}(A(MN - NM)) = 0$ para todos $M, N$ , isto é, $\operatorname{tr}((AM - MA)N) = 0$ para todos $N$ (ciclicidade), isto é, $AM = MA$ para toda $M$ (injetividade de $\Theta$ ): $A$ comuta com tudo, logo é escalar ( $A$ comuta com todas as $E_{ij}$ força as entradas fora da diagonal a serem $0$ e as entradas diagonais a serem iguais), logo $t = c \operatorname{tr}$ .

Exercício 2.10 ★★★

Seja $u, v \in \mathcal{L}(E)$ com $u \circ v - v \circ u = u$ . Prove que $u$ é nilpotente. Sugestão: mostre $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ para todo $k \geq 1$ (calcule $u^k v - v u^k$ por indução) e use em seguida o fato a seguir, a ser demonstrado pelas identidades de Newton ou por indução sobre a dimensão: um endomorfismo de um $\C$ -espaço vetorial cujas potências têm todas traço nulo é nilpotente. Trabalhe sobre $\C$ .

Solução

Solução de Exercício 2.10.

Trabalhe sobre $\C$ (uma matriz real é nilpotente se e somente se o é como matriz complexa: a nilpotência é $u^n = 0$ ).

Etapa 1: $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ para $k \geq 1$ . Por indução, $u^k v - v u^k = k\, u^k$ : para $k = 1$ é a hipótese; para o passo,

u^{k+1}v - vu^{k+1} = u^k(uv - vu) + (u^k v - v u^k)u = u^{k+1} + k\,u^{k+1} .

Tomando traços: $0 = \operatorname{tr}(u^k v) - \operatorname{tr}(vu^k) = k \operatorname{tr}(u^k)$ , logo $\operatorname{tr}(u^k) = 0$ .

Etapa 2: traços de potências nulos implicam nilpotência (sobre $\C$ ). Sejam $\lambda_1, \dots, \lambda_r$ os autovalores não nulos distintos de $u$ com multiplicidades $m_1, \dots, m_r$ (no polinômio característico, que se decompõe sobre $\C$ — Capítulo 3). Os traços das potências valem $\operatorname{tr}(u^k) = \sum_i m_i \lambda_i^k$ (trigonalize: a diagonal da $k$ -ésima potência de uma matriz triangular é formada pelas $k$ -ésimas potências). O sistema $\sum_i m_i \lambda_i^k = 0$ para $k = 1, \dots, r$ é invertível à Vandermonde nas incógnitas $m_i\lambda_i$ (matriz $(\lambda_i^{k-1})$ vezes a diagonal $\lambda_i$ , com todos os $\lambda_i \neq 0$ distintos): todo $m_i \lambda_i = 0$ , impossível com $m_i \geq 1$ a menos que $r = 0$ . Logo $u$ não tem autovalor não nulo: seu polinômio característico é $(-X)^n$ , e Cayley–Hamilton (Capítulo 3) dá $u^n = 0$ : nilpotente.

Exercício 2.11 ★★

(Vandermonde) Para $a_0, \dots, a_n \in K$ , prove

\det\begin{pmatrix} 1 & 1 & \cdots & 1\\ a_0 & a_1 & \cdots & a_n\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ a_0^n & a_1^n & \cdots & a_n^n \end{pmatrix} = \prod_{0 \leq i < j \leq n} (a_j - a_i).

(Veja o determinante como polinômio em $a_n$ : identifique seu grau, suas raízes e seu coeficiente dominante; faça indução.)

Solução

Solução de Exercício 2.11.

Escreva $V(a_0, \dots, a_n)$ para o determinante e faça indução sobre $n$ ; $V(a_0) = 1$ inicia. Fixe $a_0, \dots, a_{n-1}$ e considere $D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}, T)$ , o determinante de última coluna $(1, T, \dots, T^n)$ : desenvolvendo ao longo dessa coluna, $D$ é um polinômio de grau $\leq n$ em $T$ cujo coeficiente em $T^n$ é o menor $V(a_0, \dots, a_{n-1})$ . Suponha primeiro que $a_0, \dots, a_{n-1}$ sejam distintos. Para cada $T = a_i$ ( $i < n$ ) duas colunas coincidem, logo $D(a_i) = 0$ : com $n$ raízes distintas e grau $\leq n$ ,

D(T) = V(a_0, \dots, a_{n-1}) \prod_{i=0}^{n-1}(T - a_i),

e $T = a_n$ mais a hipótese de indução dão a fórmula do produto. Se dois dos $a_0, \dots, a_{n-1}$ coincidem, os dois membros valem $0$ (colunas repetidas; um fator repetido), e a fórmula vale trivialmente.

Exercício 2.12 ★★★

Seja $A, B, C, D \in \mathcal{M}_n(K)$ com $K$ infinito, e suponha $CD = DC$ . Prove que

\det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} = \det(AD - BC).

(Trate primeiro o caso $D$ invertível, multiplicando à direita por $\left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ ; depois substitua $D$ por $D + tI$ e compare dois polinômios em $t$ .)

Solução

Solução de Exercício 2.12.

$D$ invertível. Multiplique à direita pela matriz por blocos $T = \left(\begin{smallmatrix} I & 0\\ -D^{-1}C & I\end{smallmatrix}\right)$ , que é triangular por blocos com diagonal de uns, $\det T = 1$ (seu determinante, pela fórmula das permutações, só colhe os blocos diagonais — a regra de blocos do Exercício 2.2):

\begin{pmatrix} A & B\\ C & D\end{pmatrix} T = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ C - DD^{-1}C & D\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} A - BD^{-1}C & B\\ 0 & D\end{pmatrix},

cujo determinante é $\det(A - BD^{-1}C)\det D = \det\bigl((A - BD^{-1}C)D\bigr) = \det(AD - BD^{-1}CD)$ . Como $CD = DC$ , $BD^{-1}CD = BC$ : o determinante vale $\det(AD - BC)$ .

$D$ qualquer. Seja $D_t = D + tI$ ; então $CD_t = D_tC$ ainda vale. Ambos

f(t) = \det\begin{pmatrix} A & B\\ C & D_t\end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad g(t) = \det(AD_t - BC)

são funções polinomiais de $t$ . O polinômio $\det(D + tI)$ é mônico de grau $n$ , logo tem no máximo $n$ raízes: para todo $t$ salvo um número finito, $D_t$ é invertível e $f(t) = g(t)$ pelo primeiro caso. Dois polinômios sobre um corpo infinito que coincidem em infinitos pontos são iguais: $f = g$ , e $t = 0$ conclui.

2.5 Problema: a alternativa de Fredholm

Quando o sistema linear $u(x) = b$ tem solução? A resposta completa é um enunciado de dualidade: exatamente quando $b$ é anulado por toda forma linear que anula a imagem de $u$ — e essas formas são calculáveis, por serem o núcleo da transposta. Este problema de fim de semana constrói o dicionário completo da dualidade em dimensão finita (fatoração de formas, bidualidade, cálculo de anuladores, a transposta), demonstra a alternativa de Fredholm em dimensão finita e fecha com a forma traço e uma caracterização: o traço é o único invariante linear da semelhança. Em todo o problema, $E$ e $F$ são $K$ -espaços vetoriais de dimensão finita, $n = \dim E$ .

Problema 2.1

Problema de fim de semana — dualidade em dimensão finita e a alternativa de Fredholm

Notação: para $S \subseteq E^*$ , o pré-anulador é $S_\circ = \{x \in E : \varphi(x) = 0 \text{ para todo } \varphi \in S\}$ ; os anuladores $F^\circ$ e as transpostas $u^{\mathsf T}$ são os de Definição 2.5 e Definição 2.8.

Parte I — O lema de fatoração. Seja $\varphi_1, \dots, \varphi_p, \varphi \in E^*$ .

Sejam $\Phi \colon E \to K^p$ , $x \mapsto (\varphi_1(x), \dots, \varphi_p(x))$ . Identifique $\ker\Phi$ , mostre que $\Phi^{\mathsf T}$ leva as formas coordenadas de $K^p$ nas $\varphi_i$ , e deduza

$\dim \bigl(\ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p\bigr) = n - \dim \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p).$
(Lema de fatoração) Prove a equivalência:

$\varphi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p) \iff \ker\varphi_1 \cap \dots \cap \ker\varphi_p \subseteq \ker\varphi .$
Deduza: $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ é livre se e somente se $\bigcap_i \ker\varphi_i$ tem dimensão $n - p$ ; e um subespaço de codimensão $p$ é uma interseção de $p$ hiperplanos, nunca de menos.
Em $\R^4$ , sejam $\varphi_1 = x + y - z$ , $\varphi_2 = y + z - t$ , $\psi = x + 2y - t$ e $\psi' = x + y + t$ . Decida, pelo lema de fatoração, se $\psi$ e $\psi'$ pertencem a $\operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ .
Em $E = \R_2[X]$ , mostre que $\psi_0 \colon P \mapsto P(0)$ , $\psi_1 \colon P \mapsto P(1)$ , $\psi_2 \colon P \mapsto \int_0^1 P(t)\dd t$ formam uma base de $E^*$ , calcule a base $(P_0, P_1, P_2)$ de $E$ da qual ela é a dual e determine o único $P \in \R_2[X]$ com $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

Parte II — Bidualidade e o cálculo dos anuladores.

Mostre que a aplicação de avaliação $J \colon E \to E^{**}$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x)$ , é linear e injetiva, logo um isomorfismo em dimensão finita.
(Duplo anulador) Mostre que $J(F) = F^{\circ\circ} := (F^\circ)^\circ$ para todo subespaço $F \subseteq E$ : sob a identificação $J$ , o anulador do anulador é o próprio subespaço.
Prove o cálculo dos anuladores: $(F + G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$ e $(F \cap G)^\circ = F^\circ + G^\circ$ .
Deduza (e demonstre também diretamente): duas formas não nulas com o mesmo núcleo são proporcionais.
(Base antedual) Mostre que, para toda base $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ de $E^*$ , existe uma única base $(u_1, \dots, u_n)$ de $E$ com $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ .

Parte III — O cálculo das transpostas.

Mostre que $u \mapsto u^{\mathsf T}$ é uma bijeção linear de $\mathcal{L}(E, F)$ sobre $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ , e que $(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{\mathsf T})^{-1}$ quando $u$ é invertível.
(Naturalidade) Mostre que $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F \circ u$ : sob os isomorfismos de avaliação, a dupla transposta é $u$ .
Mostre: $u$ é sobrejetiva se e somente se $u^{\mathsf T}$ é injetiva; $u$ é injetiva se e somente se $u^{\mathsf T}$ é sobrejetiva.
Para $u \in \mathcal{L}(E)$ : um subespaço $F$ é estável por $u$ se e somente se $F^\circ$ é estável por $u^{\mathsf T}$ .
Mostre que $\ker(u^{\mathsf T} - \lambda\, \mathrm{id}_{E^*}) = \bigl(\operatorname{im}(u - \lambda\, \mathrm{id}_E)\bigr)^\circ$ e deduza que $u$ e $u^{\mathsf T}$ têm os mesmos autovalores com as mesmas multiplicidades geométricas.

Parte IV — A alternativa de Fredholm.

Prove que $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ para $u \in \mathcal{L}(E, F)$ , e deduza a alternativa de Fredholm em dimensão finita: a equação $u(x) = b$ tem solução se e somente se toda $\psi \in F^*$ com $u^{\mathsf T}\psi = 0$ satisfaz $\psi(b) = 0$ .
Forma matricial: para $A \in \mathcal{M}_{m,n}(K)$ e $b \in K^m$ , exatamente uma das afirmações vale: (i) $Ax = b$ tem solução; (ii) existe $y \in K^m$ com $A^{\mathsf T}y = 0$ e $y^{\mathsf T}b = 1$ . Prove tanto o “no máximo uma” quanto o “ao menos uma”.
Determine todos os $b \in \R^3$ para os quais o sistema

$x + y = b_1, \qquad y + z = b_2, \qquad x + 2y + z = b_3$

tem solução, calculando o núcleo da matriz transposta.
(Um problema de Neumann discreto) Em $E = \R^n$ ( $n \geq 3$ ), defina $L$ por $(Lx)_k = x_k - \frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$ , índices módulo $n$ . Mostre que $L^{\mathsf T} = L$ (identificações canônicas), mostre que $\ker L$ é a reta dos vetores constantes (olhe uma coordenada máxima) e conclua: $Lx = b$ é resolúvel se e somente se $\sum_k b_k = 0$ .

Parte V — A forma traço e o teorema de invariância. Lembre do Exercício 2.9 que $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ identifica $\mathcal{M}_n(K)$ com seu dual. Suponha $\operatorname{char} K = 0$ (por exemplo, $K = \Q, \R, \C$ ).

Sob essa identificação, mostre que o anulador do subespaço $\mathcal{S}_n$ das matrizes simétricas é o subespaço $\mathcal{A}_n$ das matrizes antissimétricas, e reciprocamente.
Mostre que o anulador do hiperplano $\mathfrak{sl}_n = \{M : \operatorname{tr} M = 0\}$ é a reta $K I_n$ ; equivalentemente, uma forma linear que se anula em todas as matrizes de traço nulo é um múltiplo do traço.
Mostre que toda matriz de $\mathcal{M}_n(K)$ é a soma de duas matrizes invertíveis.
(O traço é o único invariante linear de semelhança) Seja $t$ uma forma linear em $\mathcal{M}_n(K)$ com $t(PMP^{-1}) = t(M)$ para toda $M$ e toda $P$ invertível. Mostre primeiro que $t(PX) = t(XP)$ para $P$ invertível, depois que $t(BX) = t(XB)$ para toda $B$ , e conclua que $t = c \operatorname{tr}$ para algum $c \in K$ .
Mostre que $\operatorname{rk} u \leq r$ se e somente se $u$ é uma soma de $r$ aplicações de posto $\leq 1$ , isto é, $u = \sum_{i=1}^{r} \psi_i(\cdot)\,f_i$ com $\psi_i \in E^*$ , $f_i \in F$ ; deduza $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .
(Síntese) Redija o dicionário demonstrado neste problema: subespaços versus anuladores, somas versus interseções, aplicações versus transpostas, resolubilidade versus ortogonalidade ao núcleo transposto, traço versus semelhança. Para cada entrada, cite a questão que a demonstrou e diga em uma frase o que substitui as contagens de dimensão quando a dimensão se torna infinita (o volume do terceiro ano de graduação torna isso preciso em espaços de Hilbert).

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. $\Phi$ é linear com $\ker\Phi = \bigcap_i \ker\varphi_i$ (uma $p$ -upla se anula se e somente se cada entrada se anula). Para as formas coordenadas $\varepsilon_i$ de $K^p$ : $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i) = \varepsilon_i \circ \Phi = \varphi_i$ , logo $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T} \supseteq \operatorname{Vect}(\varphi_i)$ ; reciprocamente $\operatorname{im}\Phi^{\mathsf T}$ é gerado pelas $\Phi^{\mathsf T}(\varepsilon_i)$ (as $\varepsilon_i$ geram $(K^p)^*$ ). Logo $\operatorname{rk}\Phi = \operatorname{rk} \Phi^{\mathsf T} = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_1, \dots, \varphi_p) =: r$ (Proposição 2.10), e o teorema do núcleo e da imagem dá $\dim\bigcap_i\ker\varphi_i = n - r$ .

2. ( $\Leftarrow$ ) Guarde uma subfamília livre maximal, digamos $\varphi_1, \dots, \varphi_r$ , que gera o mesmo espaço (de modo que a hipótese continua a ler-se $\bigcap_{i \leq r}\ker\varphi_i \subseteq \ker\varphi$ : a interseção sobre todos os $i$ é igual à interseção sobre $i \leq r$ , sendo cada forma descartada uma combinação). A aplicação $\Psi = (\varphi_1, \dots, \varphi_r) \colon E \to K^r$ é sobrejetiva (questão 1: seu posto vale $r$ ). Se $\Psi(x) = \Psi(y)$ então $x - y \in \ker\Psi \subseteq \ker\varphi$ , logo $\varphi(x) = \varphi(y)$ : $\varphi$ se fatora como $\varphi = \lambda \circ \Psi$ com $\lambda \colon K^r \to K$ bem definida; $\lambda$ é linear porque $\Psi$ é linear e sobrejetiva (para $t = \Psi(x)$ , $t' = \Psi(x')$ : $\lambda(t + \alpha t') = \varphi(x + \alpha x') = \lambda(t) + \alpha\lambda(t')$ ). Escrevendo $\lambda = \sum c_i \varepsilon_i$ : $\varphi = \sum_{i \leq r} c_i\varphi_i$ . ( $\Rightarrow$ ) Se $\varphi = \sum c_i \varphi_i$ , toda $x$ que anula todo $\varphi_i$ anula $\varphi$ .

3. Pela questão 1, $\dim\bigcap\ker\varphi_i = n - r$ com $r = \dim\operatorname{Vect}(\varphi_i) \leq p$ , e $r = p$ se e somente se a família é livre. Um subespaço $F$ de codimensão $p$ : seu anulador tem dimensão $p$ (Teorema 2.6); uma base $(\varphi_1, \dots, \varphi_p)$ de $F^\circ$ dá $F = \bigcap_i\ker\varphi_i$ (a fórmula de recuperação). Menos que isso: uma interseção de $q$ hiperplanos tem dimensão $\geq n - q > n - p$ pela questão 1.

4. Calcule $\ker\varphi_1 \cap \ker\varphi_2$ : de $x + y - z = 0$ e $y + z - t = 0$ , parametrize por $(y, z)$ : $x = z - y$ , $t = y + z$ , dando o plano dos vetores $(z - y,\; y,\; z,\; y + z)$ . Nele, $\psi = x + 2y - t = (z - y) + 2y - (y + z) = 0$ : pelo lema de fatoração $\psi \in \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ — de fato $\psi = \varphi_1 + \varphi_2$ . Mas $\psi' = x + y + t = (z - y) + y + (y + z) = y + 2z$ não é identicamente nula aí ( $y = 1, z = 0$ dá $1$ ): $\psi' \notin \operatorname{Vect}(\varphi_1, \varphi_2)$ .

5. Três formas num espaço de dimensão $3$ : basta a liberdade. Se $a\psi_0 + b\psi_1 + c\psi_2 = 0$ , teste em $1, X, X^2$ : $a + b + c = 0$ , $b + \frac c2 = 0$ , $b + \frac c3 = 0$ ; subtraindo as duas últimas obtém-se $c = 0$ , depois $b = 0$ , $a = 0$ . Base antedual: escrevendo $P = \alpha + \beta X + \gamma X^2$ e resolvendo $\psi_i(P_j) = \delta_{ij}$ ( $P(0) = \alpha$ , $P(1) = \alpha + \beta + \gamma$ , $\int_0^1 P = \alpha + \frac\beta2 + \frac\gamma3$ ):

P_0 = 1 - 4X + 3X^2, \qquad P_1 = -2X + 3X^2, \qquad P_2 = 6X - 6X^2 .

(Confira, por exemplo: $\int_0^1 P_2 = 3 - 2 = 1$ , $P_2(0) = P_2(1) = 0$ .) O problema de interpolação se resolve pelas coordenadas na base antedual:

P = 1\cdot P_0 + 2\cdot P_1 + \tfrac32\, P_2 = 1 + X

(coeficiente em $X$ igual a $-4 - 4 + 9 = 1$ , coeficiente em $X^2$ igual a $3 + 6 - 9 = 0$ ); de fato $P(0) = 1$ , $P(1) = 2$ , $\int_0^1 P = \frac32$ .

6. Linearidade: para toda $\varphi$ , $J(x + \alpha y)(\varphi) = \varphi(x + \alpha y) = J(x)(\varphi) + \alpha J(y)(\varphi)$ , isto é, $J(x + \alpha y) = J(x) + \alpha J(y)$ . Injetividade: se $x \neq 0$ , complete $x = e_1$ numa base; a forma coordenada $e_1^*$ tem $J(x)(e_1^*) = 1 \neq 0$ . Como $\dim E^{**} = \dim E^* = \dim E$ , injetiva implica bijetiva.

7. Inclusão: para $x \in F$ e $\varphi \in F^\circ$ , $J(x)(\varphi) = \varphi(x) = 0$ , logo $J(F) \subseteq F^{\circ\circ}$ . Dimensões (Teorema 2.6 duas vezes):

\dim F^{\circ\circ} = \dim E^* - \dim F^\circ = n - (n - \dim F) = \dim F = \dim J(F),

sendo $J$ injetiva. Portanto $J(F) = F^{\circ\circ}$ .

8. Primeira identidade: $\varphi$ anula $F + G$ se e somente se anula tanto $F$ quanto $G$ (ela anula somas se e somente se anula as parcelas): $(F+G)^\circ = F^\circ \cap G^\circ$ . Segunda: a inclusão $F^\circ + G^\circ \subseteq (F \cap G)^\circ$ é clara (cada parcela anula $F \cap G$ ). Dimensões, usando a primeira identidade e Grassmann:

\dim(F^\circ + G^\circ) = \dim F^\circ + \dim G^\circ - \dim(F^\circ \cap G^\circ) = (n - \dim F) + (n - \dim G) - \bigl(n - \dim(F + G)\bigr),

o que, por Grassmann em $E$ , é igual a $n - \dim(F \cap G) = \dim(F \cap G)^\circ$ : igualdade.

9. Pelo lema: $\ker\psi \subseteq \ker\varphi$ com $p = 1$ dá $\varphi \in \operatorname{Vect}(\psi)$ , e $\varphi \neq 0$ torna o escalar não nulo. Diretamente: escolha $x_0$ com $\psi(x_0) \neq 0$ ; todo $x$ se escreve $x = \bigl(x - \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)}x_0\bigr) + \frac{\psi(x)}{\psi(x_0)} x_0$ com o primeiro termo em $\ker\psi = \ker\varphi$ ; aplicando $\varphi$ : $\varphi(x) = \frac{\varphi(x_0)}{\psi(x_0)}\psi(x)$ .

10. Tome a base dual $(\varphi_1^*, \dots, \varphi_n^*)$ de $(\varphi_1, \dots, \varphi_n)$ dentro de $E^{**}$ (Definição 2.1 aplicado a $E^*$ ) e ponha $u_j = J^{-1}(\varphi_j^*)$ : uma base de $E$ ( $J$ é um isomorfismo, questão 6), com $\varphi_i(u_j) = J(u_j)(\varphi_i) = \varphi_j^*(\varphi_i) = \delta_{ij}$ . Unicidade: as condições $\varphi_i(u_j) = \delta_{ij}$ determinam $J(u_j)$ na base $(\varphi_i)$ , logo determinam $u_j$ .

11. Linearidade: $(u + \alpha v)^{\mathsf T}\psi = \psi \circ (u + \alpha v) = u^{\mathsf T}\psi + \alpha\, v^{\mathsf T}\psi$ . Injetividade: se $u \neq 0$ , escolha $x$ com $u(x) \neq 0$ e $\psi$ com $\psi(u(x)) \neq 0$ (o truque da forma coordenada da questão 6): $u^{\mathsf T}\psi \neq 0$ . Os espaços $\mathcal{L}(E,F)$ e $\mathcal{L}(F^*, E^*)$ têm ambos dimensão $\dim E \dim F$ : bijetiva. Se $u$ é invertível, a regra de inversão $(vu)^{\mathsf T} = u^{\mathsf T}v^{\mathsf T}$ dá $u^{\mathsf T}(u^{-1})^{\mathsf T} = (u^{-1}u)^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{E^*}$ e $(u^{-1})^{\mathsf T}u^{\mathsf T} = (uu^{-1})^{\mathsf T} = \mathrm{id}_{F^*}$ , logo $(u^{\mathsf T})^{-1} = (u^{-1})^{\mathsf T}$ .

12. Para $x \in E$ e $\psi \in F^*$ :

\bigl(u^{\mathsf T\mathsf T}(J_E x)\bigr)(\psi) = (J_E x)\bigl(u^{\mathsf T}\psi\bigr) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = \psi\bigl(u(x)\bigr) = \bigl(J_F(u(x))\bigr)(\psi).

Como $\psi$ é arbitrária, $u^{\mathsf T\mathsf T} \circ J_E = J_F \circ u$ .

13. Pela Proposição 2.10: $\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im} u)^\circ$ , logo $u$ sobrejetiva $\iff \operatorname{im} u = F \iff (\operatorname{im}u)^\circ = \{0\}$ (Teorema 2.6) $\iff u^{\mathsf T}$ injetiva. E $\operatorname{im} u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$ , logo $u$ injetiva $\iff \ker u = \{0\} \iff (\ker u)^\circ = E^*$ $\iff u^{\mathsf T}$ sobrejetiva.

14. Se $u(F) \subseteq F$ e $\varphi \in F^\circ$ : $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) = \varphi(u(x)) = 0$ para $x \in F$ , logo $u^{\mathsf T}\varphi \in F^\circ$ . Reciprocamente, se $u(F) \not\subseteq F$ , escolha $x \in F$ com $u(x) \notin F$ ; pela fórmula de recuperação do Teorema 2.6 existe $\varphi \in F^\circ$ com $\varphi(u(x)) \neq 0$ : então $(u^{\mathsf T}\varphi)(x) \neq 0$ embora $x \in F$ , logo $u^{\mathsf T}\varphi \notin F^\circ$ : $F^\circ$ não é estável.

15. $u^{\mathsf T} - \lambda\,\mathrm{id}_{E^*} = (u - \lambda\,\mathrm{id}_E)^{\mathsf T}$ (a transposição é linear e $\mathrm{id}^{\mathsf T} = \mathrm{id}$ ), logo seu núcleo é $(\operatorname{im}(u - \lambda\,\mathrm{id}))^\circ$ (Proposição 2.10), de dimensão

n - \operatorname{rk}(u - \lambda\,\mathrm{id}) = \dim\ker(u - \lambda\,\mathrm{id})

pelo teorema do núcleo e da imagem. Em particular, um núcleo é não nulo se e somente se o outro o é: mesmos autovalores, mesmas multiplicidades geométricas.

16. Inclusão: se $b = u(x)$ e $u^{\mathsf T}\psi = 0$ , então $\psi(b) = \psi(u(x)) = (u^{\mathsf T}\psi)(x) = 0$ : logo $\operatorname{im} u \subseteq (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ . Dimensões: para um subespaço $S \subseteq F^*$ , $S_\circ = J_F^{-1}(S^\circ)$ (desdobre: $y \in S_\circ$ se e somente se toda $\psi \in S$ anula $y$ , se e somente se $J_F(y) \in S^\circ$ ), logo $\dim S_\circ = \dim F - \dim S$ . Com $S = \ker u^{\mathsf T}$ :

\dim(\ker u^{\mathsf T})_\circ = \dim F - \dim\ker u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u^{\mathsf T} = \operatorname{rk} u :

igualdade de dimensões, logo $\operatorname{im} u = (\ker u^{\mathsf T})_\circ$ . Reformulando: $b \in \operatorname{im} u$ se e somente se $\psi(b) = 0$ para toda $\psi$ com $u^{\mathsf T}\psi = 0$ — a alternativa de Fredholm.

17. Identifique $(K^m)^*$ com $K^m$ por $y \mapsto \psi_y$ , $\psi_y(v) = y^{\mathsf T}v$ ; então $(u^{\mathsf T}\psi_y)(x) = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x$ , logo $u^{\mathsf T}\psi_y = \psi_{A^{\mathsf T}y}$ : a transposta é a matriz transposta. No máximo uma: se $Ax = b$ e $A^{\mathsf T}y = 0$ , então $y^{\mathsf T}b = y^{\mathsf T}Ax = (A^{\mathsf T}y)^{\mathsf T}x = 0 \neq 1$ . Ao menos uma: se (i) falha, a questão 16 fornece $\psi_y$ com $A^{\mathsf T}y = 0$ e $y^{\mathsf T}b \neq 0$ ; reescale $y$ para torná-lo $1$ .

18. $A = \left(\begin{smallmatrix} 1 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 1\\ 1 & 2 & 1\end{smallmatrix}\right)$ (terceira linha = primeira + segunda, logo $A$ é singular). Resolva $A^{\mathsf T}y = 0$ : $y_1 + y_3 = 0$ , $y_1 + y_2 + 2y_3 = 0$ , $y_2 + y_3 = 0$ dão $y_1 = y_2 = -y_3$ : a reta gerada por $y = (1, 1, -1)$ . Fredholm: resolúvel se e somente se $y^{\mathsf T}b = b_1 + b_2 - b_3 = 0$ , isto é, $b_3 = b_1 + b_2$ — visivelmente a condição certa, pois a terceira equação é a soma das duas primeiras.

19. A matriz de $L$ tem $1$ na diagonal e $-\frac12$ nas posições $(k, k\pm1)$ (módulo $n$ ): simétrica, logo $L^{\mathsf T} = L$ sob a identificação da questão 17. Núcleo: se $Lx = 0$ então cada $x_k = \frac12(x_{k-1} + x_{k+1})$ . Seja $k_0$ um índice que maximiza $x_k$ ; a média dos dois vizinhos, ambos $\leq x_{k_0}$ , é igual a $x_{k_0}$ somente se ambos forem iguais a $x_{k_0}$ ; propagando ao longo do ciclo, $x$ é constante. Reciprocamente, as constantes são anuladas. Logo $\ker L^{\mathsf T} = \ker L = \R(1, \dots, 1)$ , e a alternativa de Fredholm diz: $Lx = b$ é resolúvel se e somente se $(1,\dots,1)^{\mathsf T} b = \sum_k b_k = 0$ — a condição de compatibilidade discreta: uma “distribuição de calor” num anel pode ser realizada por um potencial se e somente se seu fluxo total se anula.

20. Se $A$ é antissimétrica e $S$ simétrica:

\operatorname{tr}(AS) = \operatorname{tr}\bigl((AS)^{\mathsf T}\bigr) = \operatorname{tr}(S^{\mathsf T}A^{\mathsf T}) = -\operatorname{tr}(SA) = -\operatorname{tr}(AS),

logo $2\operatorname{tr}(AS) = 0$ e ( $\operatorname{char} K \neq 2$ ) $\operatorname{tr}(AS) = 0$ : $\mathcal{A}_n \subseteq \mathcal{S}_n^\circ$ (identificando o dual com as matrizes). Dimensões: $\dim\mathcal{S}_n^\circ = n^2 - \frac{n(n+1)}2 = \frac{n(n-1)}2 = \dim\mathcal{A}_n$ : igualdade. Trocando os papéis (mesmo cálculo), $\mathcal{A}_n^\circ = \mathcal{S}_n$ .

21. $\operatorname{tr}(I_nM) = \operatorname{tr} M = 0$ para $M \in \mathfrak{sl}_n$ : a reta $KI_n$ está no anulador, cuja dimensão é $n^2 - (n^2 - 1) = 1$ : igualdade. Traduzido pelo isomorfismo $A \mapsto \operatorname{tr}(A\,\cdot)$ : uma forma que se anula em $\mathfrak{sl}_n$ é $\operatorname{tr}(\lambda I_n\,\cdot) = \lambda\operatorname{tr}$ .

22. Seja $M \in \mathcal{M}_n(K)$ . O polinômio $t \mapsto \det(M - tI)$ é não nulo de grau $n$ , logo tem no máximo $n$ raízes; $K$ tem característica $0$ , logo é infinito: escolha $\lambda \neq 0$ que não seja raiz. Então $M = (M - \lambda I) + \lambda I$ escreve $M$ como soma de duas matrizes invertíveis.

23. Etapa 1: para $P$ invertível e $X$ qualquer, aplique a invariância a $M = XP$ : $t(P(XP)P^{-1}) = t(XP)$ , isto é, $t(PX) = t(XP)$ . Etapa 2: fixe $X$ ; os dois membros de $t(BX) = t(XB)$ são lineares em $B$ e coincidem nas $B$ invertíveis; pela questão 22 toda $B$ é soma de duas invertíveis, logo eles coincidem em toda parte. Etapa 3: $t$ anula todo comutador $XB - BX$ ; os comutadores geram $\mathfrak{sl}_n$ (mostrado na demonstração da Proposição 2.22), logo $t$ se anula em $\mathfrak{sl}_n$ e a questão 21 dá $t = c\operatorname{tr}$ . (Reciprocamente, toda $c\operatorname{tr}$ é invariante por semelhança: o traço é o invariante linear de semelhança.)

24. Se $\operatorname{rk} u = r' \leq r$ : tome uma base $(f_1, \dots, f_{r'})$ de $\operatorname{im} u$ e escreva $u(x) = \sum_{i=1}^{r'} \psi_i(x) f_i$ ; cada coordenada $\psi_i(x)$ de $u(x)$ é linear em $x$ (composição de $u$ com uma forma coordenada), logo $u$ é soma de $r' \leq r$ aplicações de posto $\leq1$ (complete com zeros). Reciprocamente, se $u = \sum_{i=1}^r \psi_i(\cdot)f_i$ , então $\operatorname{im} u \subseteq \operatorname{Vect}(f_1, \dots, f_r)$ : $\operatorname{rk} u \leq r$ . Subaditividade: escreva $u$ com $\operatorname{rk} u$ termos e $v$ com $\operatorname{rk} v$ termos; a soma tem $\operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ termos, logo $\operatorname{rk}(u + v) \leq \operatorname{rk} u + \operatorname{rk} v$ .

25. O dicionário: um subespaço $F$ corresponde a $F^\circ$ de dimensão complementar (Teorema 2.6), e de volta pela bidualidade (questões 6–7); as somas trocam com as interseções (questão 8); uma aplicação $u$ corresponde a $u^{\mathsf T}$ com $\ker u^{\mathsf T} = (\operatorname{im}u)^\circ$ , $\operatorname{im}u^{\mathsf T} = (\ker u)^\circ$ , postos iguais, injetividade e sobrejetividade trocadas, subespaços estáveis e autovalores em correspondência (questões 11–15); a equação $u(x) = b$ é resolúvel se e somente se $b$ é ortogonal a $\ker u^{\mathsf T}$ (questões 16–19); e em $\mathcal{M}_n$ o emparelhamento traço realiza todo o dicionário concretamente, com o traço como único invariante linear de semelhança (questões 20–23) e o posto como comprimento mínimo de uma decomposição em tensores elementares (questão 24). Em dimensão infinita as contagens de dimensão falham e são substituídas por hipóteses de fechamento sobre imagens e por completude — em espaços de Hilbert isso se torna o teorema de representação de Riesz e a teoria de Fredholm dos operadores compactos, demonstrada honestamente no volume do terceiro ano de graduação.