O que é estabilidade (Lyapunov)?

Exemplo 19.9 (O plano, classificado)

Para $x' = Ax$ com $A \in M_2(\R)$ inversível, o retrato de fase perto de $0$ é decidido por $\tau = \operatorname{tr}A$ e $\delta = \det A$, através dos autovalores $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$:

• $\delta < 0$: autovalores reais de sinais opostos — uma sela; duas trajetórias entram, duas saem, e todas as demais passam ao largo. Sempre instável.
• $\delta > 0$, $\tau^2 \geq 4\delta$: autovalores reais de mesmo sinal ($= \operatorname{sign}\tau$) — um nó, estável se, e somente se, $\tau < 0$; as trajetórias são tangentes à direção própria lenta.
• $\delta > 0$, $\tau^2 < 4\delta$, $\tau \neq 0$: autovalores complexos conjugados $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — uma espiral (foco), estável se, e somente se, $\tau < 0$; as soluções são rotações $\eu^{\tau t/2}\times$ de período $\frac{2\pi}\omega$.
• $\tau = 0$, $\delta > 0$: autovalores puramente imaginários — um centro: órbitas fechadas (elipses), estabilidade sem estabilidade assintótica, exatamente o caso limite que o Teorema 19.12 não consegue decidir para sistemas não lineares (o equilíbrio inferior do pêndulo, Problema 19.1, fica aqui).

A parábola de fronteira $\tau^2 = 4\delta$ carrega os nós degenerados (blocos de Jordan: trajetórias com uma única direção tangente). Tudo se lê em dois números — e é por isso que o primeiro reflexo diante de um retrato de fase plano é calcular $\operatorname{tr}$ e $\det$; por exemplo, $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscilador amortecido): $\delta = 1 > 0$, $\tau = -c$: espiral estável para $0 < c < 2$, nó estável para $c \geq 2$ — subamortecimento contra superamortecimento, em um relance.