Matemática universitária — Graduação 3 · Bachelor Year 3

19Equações diferenciais ordinárias

O segundo ano resolveu equações diferenciais lineares e enunciou o teorema de Cauchy–Lipschitz; este capítulo o demonstra — e duas vezes: existência e unicidade pelo ponto fixo de Banach, estrutura global pela teoria das soluções maximais e pelo teorema da fuga dos compactos. A teoria linear é então reconstruída sobre fundamentos honestos (resolvente, wronskiano, exponencial de matriz, Duhamel), e a segunda metade do capítulo abre a teoria qualitativa — fluxos, equilíbrios, funções de Lyapunov e estabilidade por linearização: como compreender soluções que jamais serão calculadas. O pêndulo, no problema de fim de semana, é o estudo de caso eterno. Ao longo de todo o capítulo, $U \subseteq \R\times\R^d$ é aberto e $f \colon U \to \R^d$ é contínua; uma solução de $x' = f(t, x)$ é uma aplicação $\mathcal C^1$ $x \colon I \to \R^d$ (com $I$ intervalo) de gráfico em $U$ que satisfaz a equação.

19.1 Cauchy–Lipschitz

Definição 19.1

$f$ é localmente lipschitziana em $x$ se todo ponto de $U$ tem uma vizinhança $V$ e uma constante $L$ com $\norm{f(t, x_1) - f(t, x_2)} \leq L\norm{x_1 - x_2}$ para $(t, x_1), (t, x_2) \in V$ . Se $f$ é $\mathcal C^1$ (ou apenas se $\partial_xf$ existe e é contínua), ela é localmente lipschitziana em $x$ : em uma vizinhança compacta convexa, pela desigualdade do valor médio com $L = \sup\vertiii{\partial_xf}$ .

Teorema 19.2 (Cauchy–Lipschitz, local)

Sejam $f$ contínua e localmente lipschitziana em $x$ , e $(t_0, x_0) \in U$ . Existe $T > 0$ tal que o problema de Cauchy

x' = f(t, x), \qquad x(t_0) = x_0

tem exatamente uma solução em $[t_0 - T, t_0 + T]$ .

Demonstração. Escolha $a, b > 0$ com $Q = [t_0 - a, t_0 + a]\times\bar B(x_0, b) \subseteq U$ , no qual $\norm f \leq M$ e $f$ é $L$ -lipschitziana em $x$ . Uma função $\mathcal C^1$ é solução se, e somente se, satisfaz a equação integral

x(t) = x_0 + \int_{t_0}^{t}f\bigl(s, x(s)\bigr)\,\dd s

(teorema fundamental do cálculo, nos dois sentidos). Sejam $T = \min\bigl(a, \frac bM, \frac1{2L}\bigr)$ , $I = [t_0 - T, t_0 + T]$ , e

\mathcal E = \{x \in \mathcal C(I, \R^d) : \norm{x(t) - x_0} \leq b\ \text{em } I\},

um subconjunto fechado do espaço de Banach $(\mathcal C(I, \R^d), \norm\cdot_\infty)$ : completo (Definição 7.1). Defina $\Phi(x)(t) = x_0 + \int_{t_0}^tf(s, x(s))\dd s$ : para $x \in \mathcal E$ , $\norm{\Phi(x)(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq MT \leq b$ — $\Phi$ leva $\mathcal E$ nele mesmo — e, para $x, y \in \mathcal E$ :

\norm{\Phi(x)(t) - \Phi(y)(t)} \leq \Bigl|\int_{t_0}^t L\,\norm{x(s) - y(s)}\,\dd s\Bigr| \leq LT\,\norm{x - y}_\infty \leq \tfrac12\norm{x - y}_\infty :

uma contração. O ponto fixo de Banach (Teorema 7.4) dá um único ponto fixo em $\mathcal E$ : existência, e unicidade entre as soluções que permanecem em $\bar B(x_0, b)$ — mas toda solução em $I$ ali permanece ( $\norm{x(t) - x_0} \leq M\abs{t - t_0} \leq b$ enquanto o gráfico ficar em $Q$ , por um argumento de continuidade): unicidade em $I$ . ∎

Lema 19.3 (Grönwall)

Sejam $u \colon I \to \intco0\infty$ contínua, $t_0 \in I$ , e suponha

u(t) \leq \alpha + \beta\,\Bigl|\int_{t_0}^{t}u(s)\,\dd s\Bigr| \qquad (t \in I)

com $\alpha \geq 0$ , $\beta > 0$ . Então $u(t) \leq \alpha\,\eu^{\beta\abs{t - t_0}}$ em $I$ .

Demonstração. Para $t \geq t_0$ : ponha $v(t) = \alpha + \beta\int_{t_0}^tu(s)\dd s$ , de modo que $u \leq v$ , $v' = \beta u \leq \beta v$ , e $(v\eu^{-\beta(t - t_0)})' \leq 0$ : $v(t) \leq v(t_0)\eu^{\beta(t-t_0)} = \alpha\eu^{\beta(t - t_0)}$ . Para $t \leq t_0$ , aplique o mesmo a $\tilde u(t) = u(2t_0 - t)$ . ∎

Corolário 19.4 (Unicidade e dependência contínua)

Sob as hipóteses do Teorema 19.2, duas soluções de $x' = f(t,x)$ que coincidem em um ponto coincidem em seu intervalo comum de definição. Quantitativamente, se $x, y$ são duas soluções cujos gráficos estão em uma região onde $f$ é $L$ -lipschitziana em $x$ , então

\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(t_0) - y(t_0)}\,\eu^{L\abs{t - t_0}} .

Demonstração. A estimativa: $u = \norm{x - y}$ satisfaz $u(t) \leq u(t_0) + L\abs{\int_{t_0}^tu}$ (subtraia as equações integrais); Grönwall. Unicidade global: o conjunto de coincidência $\{t : x(t) = y(t)\}$ é fechado no intervalo comum, não vazio e aberto — em torno de qualquer ponto de coincidência, cubra um pedaço compacto do gráfico comum por um número finito de caixas lipschitzianas e aplique a estimativa com $u(t_1) = 0$ em cada uma: localmente $x \equiv y$ . Um subconjunto não vazio, aberto e fechado de um intervalo é o intervalo todo. ∎

19.2 Soluções maximais

Teorema 19.5 (Soluções maximais; fuga dos compactos)

Suponha $f$ contínua e localmente lipschitziana em $x$ .

Todo problema de Cauchy tem uma única solução maximal $x \colon \intoo{T_-}{T_+} \to \R^d$ : toda outra solução por $(t_0, x_0)$ é sua restrição. O intervalo é aberto.
(Fuga) Para todo compacto $K \subseteq U$ existe $\varepsilon > 0$ tal que $(t, x(t)) \notin K$ para todo $t \in \intoo{T_+ - \varepsilon}{T_+}$ (e simetricamente em $T_-$ ): o gráfico de uma solução maximal acaba por deixar todo compacto de $U$ . Em particular, para $U = \R\times\R^d$ e $T_+ < +\infty$ : $\norm{x(t)} \to +\infty$ quando $t \to T_+^-$ (explosão).

Demonstração. (1) Seja $\mathcal S$ o conjunto de todas as soluções por $(t_0, x_0)$ ; pelo Corolário 19.4, duas quaisquer coincidem na interseção de seus intervalos, de modo que se colam: em $J = \bigcup_{y \in \mathcal S}I_y$ , defina $x(t) = y(t)$ para qualquer $y$ definida em $t$ : uma solução bem definida, evidentemente maximal e única. $J$ é aberto: uma solução definida em uma extremidade poderia ser prolongada pelo Teorema 19.2 nessa extremidade.

(2) Suponha que a afirmação falhe em $T_+$ : existem $t_n \to T_+$ com $(t_n, x(t_n)) \in K$ ; note que isso força $T_+ < \infty$ ou, se $T_+ = \infty$ , nada há a demonstrar ( $K$ é limitado em tempo). Seja, pois, $T_+ < \infty$ . Compacidade: constantes uniformes $M, L, a, b$ servem para todos os dados de Cauchy em uma vizinhança de $K$ — concretamente, cubra $K$ por um número finito de caixas $Q_i$ como na demonstração do teorema local e seja $T^* > 0$ o mínimo dos tempos de existência correspondentes: todo dado de Cauchy em $K$ lança uma solução que vive pelo menos $T^*$ além de seu instante inicial. Aplicando isso em $(t_n, x(t_n))$ com $t_n > T_+ - T^*/2$ , estende-se $x$ além de $T_+$ (a extensão coincide com $x$ por unicidade e, depois, a prolonga): contradição com a maximalidade. Logo o gráfico deixa $K$ definitivamente antes de $T_+$ . Para $U = \R\times\R^d$ : se $\norm{x(t)}\not\to\infty$ , uma sequência $t_n \to T_+$ manteria $(t_n, x(t_n))$ no compacto $[t_0, T_+]\times\bar B(0, R)$ : excluído. ∎

Corolário 19.6 (Existência global sob crescimento linear)

Se $U = I\times\R^d$ (com $I$ intervalo aberto) e $\norm{f(t, x)} \leq \alpha(t)\norm x + \beta(t)$ com $\alpha, \beta$ contínuas, então toda solução maximal está definida em todo $I$ .

Demonstração. Em um compacto $[t_0, T] \subseteq I$ : $\norm{x(t)} \leq \norm{x_0} + \int_{t_0}^t(\alpha\norm x + \beta)$ , de modo que, por Grönwall (com $\alpha, \beta$ limitadas por $A, B$ ali), $\norm{x(t)} \leq (\norm{x_0} + B(T - t_0))\eu^{A(T - t_0)}$ : limitada. Se $T_+ < \sup I$ , o gráfico permanece em um compacto de $I\times\R^d$ perto de $T_+$ : contradiz a fuga (Teorema 19.5). ∎

19.3 Sistemas lineares

Ao longo de toda esta seção, $A \colon I \to M_d(\R)$ e $b \colon I \to \R^d$ são contínuas; o sistema é $x' = A(t)x + b(t)$ — crescimento linear: todas as soluções maximais vivem em todo $I$ (Corolário 19.6).

Teorema 19.7 (Estrutura)

As soluções do sistema homogêneo $x' = A(t)x$ formam um espaço vetorial $S_H$ de dimensão $d$ ; para cada $t_0$ , a avaliação $x \mapsto x(t_0)$ é um isomorfismo $S_H \to \R^d$ . O resolvente $R(t, s) \in GL_d(\R)$ , definido por: $t \mapsto R(t, s)v$ é a solução de valor $v$ em $s$ , satisfaz

R(s,s) = I,\quad R(t, u)R(u, s) = R(t, s),\quad \partial_tR(t,s) = A(t)R(t,s),

e o problema não homogêneo é resolvido pela fórmula de Duhamel:

x(t) = R(t, t_0)\,x_0 + \int_{t_0}^{t}R(t, s)\,b(s)\,\dd s .

Por fim, o wronskiano $w(t) = \det R(t, s)$ obedece à fórmula de Liouville $w' = \operatorname{tr}A(t)\,w$ , de modo que $w(t) = \exp\bigl(\int_s^t\operatorname{tr}A\bigr) > 0$ .

Demonstração. A linearidade da equação faz das soluções um espaço vetorial; a avaliação é linear, injetora (unicidade: uma solução que se anula em $t_0$ é $\equiv 0$ ) e sobrejetora (existência): dimensão $d$ . As propriedades do resolvente reafirmam a unicidade (ambos os lados de cada identidade resolvem o mesmo problema de Cauchy); a inversibilidade vem de $R(s,t)R(t,s) = I$ . Duhamel: derive a fórmula — $x'(t) = A(t)R(t,t_0)x_0 + R(t,t)b(t) + \int_{t_0}^tA(t)R(t,s)b(s)\dd s = A(t)x(t) + b(t)$ (a derivação sob a integral é legítima: o integrando é $\mathcal C^1$ em $t$ , com derivada contínua em $(t,s)$ ; ou verifique pela equação integral). Liouville: $w(t + h) = \det\bigl(R(t+h, t)\bigr)w(t)$ e $R(t + h, t) = I + hA(t) + o(h)$ (da equação integral), de modo que $\det = 1 + h\operatorname{tr}A(t) + o(h)$ (expansão de $\det$ em $I$ ): $w'(t) = \operatorname{tr}A(t)\,w(t)$ ; integre a EDO linear escalar. ∎

Teorema 19.8 (Exponencial de matriz)

Para $A \in M_d(\C)$ , a série $\eu^{A} = \sum_{n\geq0}\frac{A^n}{n!}$ converge (absolutamente, em qualquer norma submultiplicativa), $\eu^{A+B} = \eu^A\eu^B$ sempre que $AB = BA$ , e $t \mapsto \eu^{tA}$ é o resolvente do sistema de coeficientes constantes: $R(t,s) = \eu^{(t-s)A}$ ; ela é $\mathcal C^\infty$ com $\frac{\dd}{\dd t}\eu^{tA} = A\eu^{tA}$ . Além disso: se $\operatorname{Re}\lambda < -\alpha < 0$ para todo autovalor $\lambda$ de $A$ , então $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ para $t \geq 0$ .

Demonstração. Convergência: $\vertiii{A^n/n!} \leq \vertiii A^n/n!$ , somável (Exercício 7.1(b) na álgebra de Banach $M_d$ ). Para $A, B$ que comutam: o produto de Cauchy das duas séries absolutamente convergentes se rearranja, via o teorema binomial (válido quando $AB = BA$ ), em $\sum_n\frac{(A+B)^n}{n!}$ . Derivabilidade, diretamente: $\frac{\eu^{(t+h)A} - \eu^{tA}}h = \eu^{tA}\frac{\eu^{hA} - I}{h} \to \eu^{tA}A$ , pois $\norm{\frac{\eu^{hA} - I}h - A} \leq \sum_{n\geq2}\frac{\abs h^{n-1}\vertiii A^n}{n!} = O(h)$ . Logo $t \mapsto \eu^{(t - s)A}v$ resolve o problema de Cauchy que define $R(t,s)v$ . Cota espectral: pela forma de Jordan (Teorema 3.18), $A = P(D + N)P^{-1}$ com $D$ diagonal carregando os autovalores, $N$ nilpotente e $DN = ND$ . Então $\eu^{tA} = P\,\eu^{tD}\eu^{tN}P^{-1}$ com $\vertiii{\eu^{tD}} \leq \eu^{-(\alpha + \delta)t}$ para algum $\delta > 0$ ( $t \geq 0$ ) e $\eu^{tN}$ polinomial em $t$ (nilpotência): o produto é $\leq C\eu^{-\alpha t}$ (um polinômio é vencido por $\eu^{-\delta t}$ ). ∎

Exemplo 19.9 (O plano, classificado)

Para $x' = Ax$ com $A \in M_2(\R)$ inversível, o retrato de fase perto de $0$ é decidido por $\tau = \operatorname{tr}A$ e $\delta = \det A$ , através dos autovalores $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

$\delta < 0$ : autovalores reais de sinais opostos — uma sela; duas trajetórias entram, duas saem, e todas as demais passam ao largo. Sempre instável.
$\delta > 0$ , $\tau^2 \geq 4\delta$ : autovalores reais de mesmo sinal ( $= \operatorname{sign}\tau$ ) — um nó, estável se, e somente se, $\tau < 0$ ; as trajetórias são tangentes à direção própria lenta.
$\delta > 0$ , $\tau^2 < 4\delta$ , $\tau \neq 0$ : autovalores complexos conjugados $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — uma espiral (foco), estável se, e somente se, $\tau < 0$ ; as soluções são rotações $\eu^{\tau t/2}\times$ de período $\frac{2\pi}\omega$ .
$\tau = 0$ , $\delta > 0$ : autovalores puramente imaginários — um centro: órbitas fechadas (elipses), estabilidade sem estabilidade assintótica, exatamente o caso limite que o Teorema 19.12 não consegue decidir para sistemas não lineares (o equilíbrio inferior do pêndulo, Problema 19.1, fica aqui).

A parábola de fronteira $\tau^2 = 4\delta$ carrega os nós degenerados (blocos de Jordan: trajetórias com uma única direção tangente). Tudo se lê em dois números — e é por isso que o primeiro reflexo diante de um retrato de fase plano é calcular $\operatorname{tr}$ e $\det$ ; por exemplo, $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscilador amortecido): $\delta = 1 > 0$ , $\tau = -c$ : espiral estável para $0 < c < 2$ , nó estável para $c \geq 2$ — subamortecimento contra superamortecimento, em um relance.

19.4 Fluxos, equilíbrios, estabilidade

Considere agora a equação autônoma $x' = F(x)$ , com $F \colon \Omega \to \R^d$ localmente lipschitziana no aberto $\Omega \subseteq \R^d$ . Escreva $\varphi_t(x_0) = x(t)$ para a solução maximal com $x(0) = x_0$ (o fluxo); a autonomia dá a propriedade de grupo $\varphi_{t+s} = \varphi_t\circ\varphi_s$ onde definida (ambos os lados resolvem o mesmo problema no instante $s$ ).

Definição 19.10

Um equilíbrio é um ponto $\bar x$ com $F(\bar x) = 0$ (de modo que $\varphi_t(\bar x) = \bar x$ ). Ele é estável se, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que $\norm{x_0 - \bar x} < \delta$ implica que a solução existe para todo $t \geq 0$ com $\norm{\varphi_t(x_0) - \bar x} < \varepsilon$ ; é assintoticamente estável se, além disso, $\varphi_t(x_0) \to \bar x$ para todo $x_0$ perto de $\bar x$ .

Teorema 19.11 (Funções de Lyapunov)

Sejam $\bar x$ um equilíbrio e $V \colon \mathcal V \to \R$ uma função $\mathcal C^1$ em uma vizinhança de $\bar x$ com:

V(\bar x) = 0,\qquad V(x) > 0 \text{ para } x \neq \bar x, \qquad \dot V(x) = \nabla V(x)\cdot F(x) \leq 0 .

Então $\bar x$ é estável. Se, além disso, $\dot V < 0$ fora de $\bar x$ , então $\bar x$ é assintoticamente estável.

Demonstração. Ao longo de uma solução, $\frac{\dd}{\dd t}V(x(t)) = \dot V(x(t)) \leq 0$ : $V$ decresce. Dado $\varepsilon$ (pequeno o bastante para que $\bar B(\bar x, \varepsilon) \subseteq \mathcal V$ ), ponha $m = \min\{V(x) : \norm{x - \bar x} = \varepsilon\} > 0$ (compacidade, positividade) e escolha $\delta < \varepsilon$ com $V < m$ em $B(\bar x, \delta)$ (continuidade). Uma solução que parte de $B(\bar x, \delta)$ satisfaz $V(x(t)) < m$ em todos os instantes posteriores, de modo que nunca pode atingir a esfera $\norm{x - \bar x} = \varepsilon$ (onde $V \geq m$ ): ela permanece na bola — e então existe para todo $t \geq 0$ : a solução fica no compacto $\bar B$ , de modo que o Teorema 19.5(2) (fuga dos compactos) força $T_+ = +\infty$ . Eis a estabilidade.

Caso assintótico: seja $x(t)$ partindo de $B(\bar x, \delta)$ ; $V(x(t))$ decresce até algum $c \geq 0$ . Se $c > 0$ : a trajetória permanece em $K = \{x \in \bar B(\bar x, \varepsilon): V(x) \geq c\}$ , um compacto que exclui uma vizinhança de $\bar x$ ( $V$ é contínua com $V(\bar x) = 0 < c$ ). Em $K$ , a função $\dot V$ é contínua e estritamente negativa, logo $\mu = \max_K\dot V < 0$ (compacidade); então $V(x(t)) \leq V(x(0)) + \mu t \to -\infty$ : absurdo, $V \geq 0$ . Assim $c = 0$ e $x(t) \to \bar x$ (os pontos a distância $\geq \rho$ de $\bar x$ dentro da bola têm $V \geq m_\rho > 0$ ). ∎

Teorema 19.12 (Estabilidade por linearização)

Sejam $F$ de classe $\mathcal C^1$ , $F(\bar x) = 0$ , $A = DF(\bar x)$ . Se todo autovalor de $A$ tem $\operatorname{Re}\lambda < 0$ , então $\bar x$ é assintoticamente estável.

Demonstração. Translade $\bar x$ para $0$ e escreva $F(x) = Ax + g(x)$ com $g(x) = o(\norm x)$ (derivabilidade $\mathcal C^1$ ). Tome $\alpha > 0$ com $\vertiii{\eu^{tA}} \leq C\eu^{-\alpha t}$ ( $t \geq 0$ ; Teorema 19.8) e $r > 0$ com $\norm{g(x)} \leq \frac{\alpha}{2C}\norm x$ para $\norm x \leq r$ . Duhamel com $b(s) = g(x(s))$ :

x(t) = \eu^{tA}x_0 + \int_0^t\eu^{(t-s)A}g(x(s))\,\dd s,

válido enquanto $\norm{x(s)} \leq r$ . Então $u(t) = \eu^{\alpha t}\norm{x(t)}$ satisfaz

u(t) \leq C\norm{x_0} + \int_0^{t}C\,\frac{\alpha}{2C}\,u(s)\,\dd s ,

de modo que Grönwall dá $u(t) \leq C\norm{x_0}\eu^{\alpha t/2}$ , isto é, $\norm{x(t)} \leq C\norm{x_0}\eu^{-\alpha t/2}$ . Se $\norm{x_0} < r/C$ , a cota a priori mantém $\norm{x(t)} < r$ para todo $t$ (um argumento de continuidade e bootstrapping: o conjunto dos instantes em que $\norm x \leq r$ é aberto e fechado em $\intco0{T_+}$ , dada a estimativa estrita), a solução é global e converge a $0$ exponencialmente: estabilidade assintótica. ∎

Método 19.13

Diante de uma EDO: (1) existência e unicidade — verifique se é localmente lipschitziana (em geral $\mathcal C^1$ ); (2) globalidade — crescimento linear, limitação, ou um compacto invariante via função de Lyapunov ou integral primeira; na falta disso, suspeite de explosão e teste na caricatura escalar $x' = x^2$ ; (3) sistemas lineares — resolvente, Duhamel e, para coeficientes constantes, a estrutura espectral de $A$ ; (4) questões qualitativas — equilíbrios, linearize e cace uma função de Lyapunov (a energia, quando o sistema é mecânico) ou uma integral primeira cujos conjuntos de nível aprisionem as trajetórias. O problema de fim de semana percorre o método inteiro no pêndulo.

Retrato de fase do pêndulo x'' = - x no plano (x, x'): curvas de nível da energia E = x'22 - x. Curvas fechadas (em azul): oscilações, E < 1; curvas correntes (em laranja): rotações completas, E > 1; entre elas, a separatriz (em vermelho), E = 1, ligando os equilíbrios instáveis (±π, 0). O problema de fim de semana demonstra tudo o que esta figura sugere. — Retrato de fase do pêndulo $x'' = -\sin x$ no plano $(x, x')$ : curvas de nível da energia $E = \frac{x'^2}2 - \cos x$ . Curvas fechadas (em azul): oscilações, $E < 1$ ; curvas correntes (em laranja): rotações completas, $E > 1$ ; entre elas, a *separatriz* (em vermelho), $E = 1$ , ligando os equilíbrios instáveis $(\pm\pi, 0)$ . O problema de fim de semana demonstra tudo o que esta figura sugere.

19.5 Exercícios

Exercício 19.1 ★

Resolva explicitamente e determine o intervalo maximal: (a) $x' = x^2$ , $x(0) = 1$ ; (b) $x' = 1 + x^2$ , $x(0) = 0$ ; (c) $x' = x(1-x)$ , $x(0) = \frac12$ . Reconcilie cada resposta com o Teorema 19.5(2) e com o Corolário 19.6.

Solução

Solução de Exercício 19.1.

(a) Separando as variáveis: $x(t) = \frac1{1 - t}$ em $\intoo{-\infty}1$ : explosão em $T_+ = 1$ , com $x(t) \to +\infty$ — exatamente o Teorema 19.5(2). (b) $x(t) = \tan t$ em $\intoo{-\pi/2}{\pi/2}$ : explosão nos dois extremos. (c) $x(t) = \frac{1}{1 + \eu^{-t}}$ , global: a solução permanece em $\intoo01$ , um conjunto limitado, de modo que o gráfico não pode escapar de todo compacto de $\R\times\R$ em tempo finito — $T_\pm = \pm\infty$ . Note que (a) e (b) não contradizem o Corolário 19.6: $x^2$ e $1 + x^2$ têm crescimento superlinear.

Exercício 19.2 ★

Sejam $x, y$ soluções de $x' = f(t,x)$ com $f$ globalmente $L$ -lipschitziana em $x$ em $\R\times\R^d$ . (a) Demonstre $\norm{x(t) - y(t)} \leq \norm{x(0) - y(0)}\eu^{L\abs t}$ e mostre com um exemplo (linear!) que o fator $\eu^{L\abs t}$ é atingido. (b) Deduza que a aplicação de fluxo $x_0 \mapsto x(t; x_0)$ é contínua e, de fato, lipschitziana nos conjuntos limitados.

Solução

Solução de Exercício 19.2.

(a) Essa é a estimativa do Corolário 19.4 com $t_0 = 0$ . Otimalidade: para $x' = Lx$ (globalmente $L$ -lipschitziana), duas soluções diferem exatamente de $(x_0 - y_0)\eu^{Lt}$ . (b) A estimativa se lê: a aplicação de fluxo no tempo $t$ é $\eu^{L\abs t}$ -lipschitziana na condição inicial — continuidade, uniformemente para $t$ em compactos; em conjuntos limitados de $f$ não globalmente lipschitzianas, repita o mesmo num tubo compacto em torno das trajetórias com a constante local.

Exercício 19.3 ★★

Mostre que cada uma das seguintes tem todas as soluções maximais globais em $\R$ , citando o teorema adequado: (a) $x' = \sin(tx)$ ; (b) $x' = \frac{t\,x}{1 + x^2}$ ; (c) $x'' + q(t)x = 0$ com $q$ contínua (converta a um sistema de primeira ordem); (d) $x' = A(t)x$ com $A$ contínua e limitada — e dê a cota de Grönwall para $\norm{x(t)}$ .

Solução

Solução de Exercício 19.3.

(a) $\abs{\sin(tx)} \leq 1$ : limitada, isto é, crescimento linear com $\alpha = 0$ , $\beta = 1$ : Corolário 19.6 em $U = \R\times\R$ . (b) $\abs{tx/(1 + x^2)} \leq \abs t\cdot\frac12$ : de novo sublinear (de fato limitada em compactos de tempo): global. (c) $X = (x, x')$ : $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -q(t) & 0\end{smallmatrix}\bigr)X$ : linear com coeficientes contínuos: global (o quadro do Teorema 19.7). (d) Global; Grönwall como no Corolário 19.6: $\norm{x(t)} \leq \norm{x(t_0)}\,\eu^{M\abs{t - t_0}}$ com $M = \sup\vertiii{A}$ .

Exercício 19.4 ★★

(a) Calcule $\eu^{tA}$ para $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & -1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ , $\bigl(\begin{smallmatrix}\lambda & 1\\ 0 & \lambda\end{smallmatrix}\bigr)$ e $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ 1 & 0\end{smallmatrix}\bigr)$ . (b) Resolva o oscilador forçado $x'' + x = \cos(\omega t)$ por Duhamel (na forma de sistema), para $\omega \neq 1$ e para $\omega = 1$ : a ressonância aparece como o termo secular $t\sin t$ .

Solução

Solução de Exercício 19.4.

(a) $A^2 = -I$ para a primeira: $\eu^{tA} = \cos t\,I + \sin t\,A = \bigl(\begin{smallmatrix}\cos t & -\sin t\\ \sin t & \cos t\end{smallmatrix}\bigr)$ . Bloco de Jordan: $\lambda I$ e $N$ comutam: $\eu^{tA} = \eu^{\lambda t}\bigl(\begin{smallmatrix}1 & t\\ 0 & 1\end{smallmatrix}\bigr)$ . Terceira: $A^2 = I$ : $\eu^{tA} = \cosh t\,I + \sinh t\,A$ .

(b) Sistema $X' = \bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\-1&0 \end{smallmatrix}\bigr)X + \bigl(\begin{smallmatrix}0\\ \cos\omega t\end{smallmatrix}\bigr)$ ; Duhamel com o resolvente da rotação dá as soluções particulares: para $\omega \neq 1$ , $x_p(t) = \frac{\cos(\omega t)}{1 - \omega^2}$ (verifique diretamente); para $\omega = 1$ , a integral $\int_0^t\sin(t - s)\cos s\,\dd s = \frac t2\sin t$ produz o crescimento secular $x_p = \frac t2\sin t$ : ressonância — a forçante bombeia energia na frequência natural e a amplitude cresce linearmente.

Exercício 19.5 ★★

Para a equação escalar $x'' + p(t)x' + q(t)x = 0$ : (a) Mostre que o wronskiano $w = x_1x_2' - x_1'x_2$ de duas soluções satisfaz $w' = -p\,w$ (Abel) e deduza que duas soluções com $w \neq 0$ em algum ponto formam uma base. (b) Dada uma solução $x_1$ que não se anula, encontre a solução geral por redução de ordem: ponha $x_2 = x_1\int \frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ e verifique. Aplique a $t^2x'' - 2x = 0$ em $\intoo0{+\infty}$ com $x_1(t) = t^2$ .

Solução

Solução de Exercício 19.5.

(a) $w' = x_1x_2'' - x_1''x_2 = x_1(-px_2' - qx_2) - (-px_1' - qx_1)x_2 = -p\,w$ : $w(t) = w(t_0)\eu^{-\int_{t_0}^tp}$ , nunca nulo nem identicamente nulo. Se $w \neq 0$ , os vetores $(x_i, x_i')(t_0)$ são independentes em $\R^2$ e, como o espaço de soluções tem dimensão $2$ (Teorema 19.7 para o sistema), $(x_1, x_2)$ é uma base.

(b) Com $u = \int\frac{\eu^{-\int p}}{x_1^2}$ : $x_2 = x_1u$ , $x_2' = x_1'u + \frac{\eu^{-\int p}}{x_1}$ , e

x_2'' + px_2' + qx_2 = u\,(x_1'' + px_1' + qx_1) + \Bigl(-\,p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1} + p\frac{\eu^{-\int p}}{x_1}\Bigr) = 0

(os termos cruzados se cancelam exatamente; expanda com cuidado). Para $t^2x'' - 2x = 0$ , isto é, $x'' - \frac2{t^2}x = 0$ ( $p = 0$ ) com $x_1 = t^2$ : $u = \int t^{-4} = -\frac1{3t^3}$ , de modo que $x_2 = -\frac1{3t}$ : solução geral $at^2 + \frac bt$ .

Exercício 19.6 ★★

(Logística) Para $x' = x(1 - x)$ : determine todos os equilíbrios e sua estabilidade (pelo Teorema 19.12 e diretamente); mostre que toda solução com $x(0) \in \intoo01$ é crescente, global, com limites $0$ e $1$ em $\mp\infty$ ; e resolva explicitamente para confirmar. Mostre, mais geralmente, que as soluções escalares autônomas são monótonas e conclua: não há soluções periódicas não constantes em dimensão $1$ .

Solução

Solução de Exercício 19.6.

Equilíbrios $0, 1$ ; $f'(x) = 1 - 2x$ : $f'(0) = 1 > 0$ (instável — as soluções próximas se afastam, como a forma explícita mostra), $f'(1) = -1 < 0$ : assintoticamente estável (Teorema 19.12 em dimensão $1$ ). Para $x(0) \in \intoo01$ : $f > 0$ ali, de modo que, enquanto a solução permanecer em $\intoo01$ , ela cresce; ela nunca pode atingir $0$ nem $1$ (unicidade: essas são trajetórias), de modo que ela permanece, é limitada — logo global — e cresce até um limite $L \in \intoc{x(0)}1$ . Se $f(L) \neq 0$ , então $x' \geq c > 0$ perto do limite, forçando $x$ a passar de $L$ : logo $f(L) = 0$ , $L = 1$ ; simetricamente, $x \to 0$ em $-\infty$ . Explicitamente, $x(t) = \frac1{1 + C\eu^{-t}}$ confirma tudo. Em geral: se uma solução escalar autônoma tivesse $x'(t_0) = 0$ , então $x(t_0)$ é um equilíbrio e a unicidade torna $x$ constante; caso contrário, $f(x(t))$ mantém sinal fixo (ela nunca se anula, e $t \mapsto f(x(t))$ é contínua): $x$ é estritamente monótona — de modo que uma solução periódica não constante é impossível.

Exercício 19.7 ★★

(Integrais primeiras) Seja $H \colon \Omega \to \R$ de classe $\mathcal C^1$ e considere o sistema hamiltoniano plano $x' = \partial_yH$ , $y' = -\partial_xH$ . (a) Mostre que $H$ é constante ao longo das soluções. (b) Para $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ : mostre que todas as soluções são globais e limitadas, e que a origem é estável (Lyapunov: $H$ ), embora a linearização ( $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\0&0\end{smallmatrix}\bigr)$ ) não seja assintoticamente estável: a linearização pode ser inconclusiva.

Solução

Solução de Exercício 19.7.

(a) $\frac{\dd}{\dd t}H(x,y) = H_xx' + H_yy' = H_xH_y + H_y(-H_x) = 0$ . (b) Os conjuntos de nível de $H = \frac{y^2}2 + \frac{x^4}4$ são compactos ( $H$ coerciva), de modo que as soluções ficam presas em compactos: globais e limitadas (Teorema 19.5). Estabilidade de $(0,0)$ : $V = H$ é definida positiva ( $H = 0$ só na origem) com $\dot V = 0$ : Teorema 19.11. A linearização $x' = y$ , $y' = 0$ tem a matriz nilpotente não diagonalizável de autovalor $0$ : o Teorema 19.12 nada diz (sua hipótese $\operatorname{Re}\lambda < 0$ falha) e, de fato, o sistema linearizado é instável ( $y_0 \ne 0$ deriva), ao passo que o não linear é estável: a linearização num equilíbrio não hiperbólico nada demonstra.

Exercício 19.8 ★★★

(Pêndulo amortecido) $x'' + cx' + \sin x = 0$ , $c > 0$ ; sistema: $x' = y$ , $y' = -\sin x - cy$ . (a) Mostre que $V(x, y) = \frac{y^2}2 + 1 - \cos x$ satisfaz $\dot V = -cy^2 \leq 0$ : a origem é estável. (b) $\dot V$ se anula em todo o eixo $y = 0$ : o critério estrito de Lyapunov falha. Demonstre a estabilidade assintótica assim mesmo, por linearização (Teorema 19.12): calcule os autovalores da matriz linearizada em $(0,0)$ e verifique $\operatorname{Re} < 0$ para todo $c > 0$ . (c) O que acontece no equilíbrio $(\pi, 0)$ ? Calcule a linearização e conclua (um autovalor positivo: instabilidade — você pode usar o enunciado de instabilidade informalmente ou produzir uma solução explícita do sistema linear que escapa).

Solução

Solução de Exercício 19.8.

(a) $\dot V = y\,y' + \sin x\cdot x' = y(-\sin x - cy) + y\sin x = -cy^2 \leq 0$ , e $V = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ é definida positiva em $\{\abs x < 2\pi\}$ em torno da origem: estável (Teorema 19.11). (b) A matriz linearizada em $(0,0)$ é $\bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ , de polinômio característico $\lambda^2 + c\lambda + 1$ : raízes $\frac{-c \pm \sqrt{c^2 - 4}}2$ — ambas reais negativas se $c \geq 2$ , complexas de parte real $-\frac c2 < 0$ se $0 < c < 2$ . Em todos os casos $\operatorname{Re}\lambda < 0$ : o Teorema 19.12 dá estabilidade assintótica (apesar do $\dot V$ degenerado). (c) Em $(\pi, 0)$ : $\sin(\pi + u) = -\sin u$ , linearização $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\1&-c\end{smallmatrix}\bigr)$ , característico $\lambda^2 + c\lambda - 1$ : raízes de sinais opostos ( $\lambda_+\lambda_- = -1$ ). Ao longo do autovetor instável, o sistema linear tem a solução explicitamente fugidia $\eu^{\lambda_+t}v_+$ com $\lambda_+ > 0$ : o pêndulo invertido é instável para todo amortecimento.

Exercício 19.9 ★★

(Fronteira da unicidade) Para $\alpha \in \intoo01$ , mostre que o problema $x' = \abs x^{\alpha}$ , $x(0) = 0$ tem infinitas soluções (adapte o Problema 7.1, Parte III). Mostre, ao contrário, que para $\alpha = 1$ (isto é, $x' = \abs x$ ) a solução por $0$ é única, e identifique com precisão qual hipótese do Teorema 19.2 distingue os dois casos.

Solução

Solução de Exercício 19.9.

Para $\alpha \in \intoo01$ : além de $x \equiv 0$ , cada

x_c(t) = \begin{cases}0 & t \leq c,\\ \bigl((1-\alpha)(t - c)\bigr)^{1/(1-\alpha)} & t \geq c, \end{cases}

é $\mathcal C^1$ e resolve a equação (o expoente $\frac1{1-\alpha} > 1$ faz a derivada se anular em $c$ ): um contínuo de soluções por $(0,0)$ . Para $\alpha = 1$ : $x \mapsto \abs x$ é globalmente $1$ -lipschitziana ( $\abs{\abs a - \abs b} \leq \abs{a - b}$ ), de modo que o Teorema 19.2 se aplica e a única solução por $0$ é $x \equiv 0$ . A fronteira é exatamente a condição de Lipschitz local em $0$ : $\abs x^\alpha$ tem quocientes de diferenças ilimitados ali para $\alpha < 1$ .

Exercício 19.10 ★★★

(Cotas a priori aprisionam soluções) Seja $F \colon \R^d \to \R^d$ localmente lipschitziana com $\langle F(x), x\rangle \leq 0$ sempre que $\norm x \geq R$ . (a) Mostre que a bola fechada $\bar B(0, R)$ é positivamente invariante: as soluções que partem de dentro ali permanecem para $t \geq 0$ . (Se $\norm{x(t_2)} > R$ , considere o último instante $t_1 < t_2$ com $\norm{x(t_1)} = R$ e estude $\frac{\dd}{\dd t}\norm{x(t)}^2$ em $\intcc{t_1}{t_2}$ .) (b) Deduza a existência global para a frente com dados na bola. Trate em seguida o sistema gradiente $x' = -\nabla G(x)$ , $G \in \mathcal C^2$ com $G(x) \to +\infty$ quando $\norm x \to \infty$ : mostre que $G$ decresce ao longo das soluções, que cada solução permanece no conjunto de subnível (limitado) $\{G \leq G(x_0)\}$ , e conclua a existência global para a frente.

Solução

Solução de Exercício 19.10.

(a) Suponha $\norm{x(t_2)} > R$ para algum $t_2 > 0$ com $\norm{x(0)} \leq R$ , e seja $t_1 = \sup\{t \leq t_2 : \norm{x(t)} \leq R\}$ : então $\norm{x(t_1)} = R$ e $\norm{x(t)} > R$ em $\intoc{t_1}{t_2}$ . Nesse intervalo, $g(t) = \norm{x(t)}^2$ tem $g'(t) = 2\langle x(t), F(x(t))\rangle \leq 0$ (a hipótese se aplica: $\norm{x(t)} \geq R$ ), de modo que $g(t_2) \leq g(t_1) = R^2$ : contradição. A bola é positivamente invariante. (b) Uma solução presa na bola compacta não pode ter $T_+ < \infty$ (Teorema 19.5(2)): global para a frente. Sistema gradiente: $\frac{\dd}{\dd t}G(x(t)) = \langle\nabla G, -\nabla G\rangle = -\norm{\nabla G(x(t))}^2 \leq 0$ : $G$ decresce, de modo que a solução permanece em $\{G \leq G(x_0)\}$ , que é limitado (coercividade: fora de uma bola grande, $G > G(x_0)$ ) e fechado: compacto. A fuga é impossível: toda solução de um sistema gradiente coercivo é global para a frente, deslizando ladeira abaixo para sempre.

Exercício 19.11 ★★

(Explosão por comparação) Considere $x' = x^2 + t^2$ , $x(0) = 1$ . (a) Mostre que a solução maximal existe em algum $\intco0{T_+}$ com $T_+ < \infty$ : compare com $y' = y^2$ , $y(0) = 1$ (demonstre o lema de comparação de que precisa: se $x' \geq F(x)$ e $y' = F(y)$ com $x(0) \geq y(0)$ , então $x \geq y$ onde ambas vivem), e deduza $T_+ \leq 1$ . (b) Limite $T_+$ por baixo: em $\intcc01$ , $x' \leq x^2 + 1$ ; compare com a supersolução $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1$ , resolvida por $z(t) = \tan\bigl(t + \frac\pi4\bigr)$ , e conclua $T_+ \geq \frac\pi4$ . (c) Reúna $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ e formule a moral: o crescimento superlinear do membro direito é o que mata a existência global (sendo o Exercício 19.3 o contraponto), estando a fronteira na convergência de $\int^{\infty}\frac{\dd s}{F(s)}$ .

Solução

Solução de Exercício 19.11.

(a) Lema de comparação: seja $w = x - y$ no intervalo comum; $w(0) \geq 0$ e $w' = x' - y' \geq F(x) - F(y) = c(t)w$ com $c(t) = \frac{F(x) - F(y)}{x - y}$ limitada em intervalos de tempo compactos ( $F$ localmente lipschitziana); então $(w\eu^{-\int c})' \geq 0$ , de modo que $w \geq 0$ em toda parte. Com $F(x) = x^2$ : $y(t) = \frac1{1 - t}$ explode em $1$ , e $x \geq y$ enquanto $x$ viver; se $T_+ > 1$ , então $x$ seria finita em $t = 1$ enquanto domina $y \to \infty$ : absurdo. $T_+ \leq 1$ .

(b) A comparação invertida (mesmo lema, papéis trocados): em $\intcc01\cap\intco0{T_+}$ , $t^2 \leq 1$ dá $x' \leq x^2 + 1$ , ao passo que $z(t) = \tan(t + \frac\pi4)$ satisfaz $z' = z^2 + 1$ , $z(0) = 1 = x(0)$ : logo $x \leq z$ enquanto ambas estiverem definidas. Como $z$ é finita em $\intco0{\frac\pi4}$ , $x$ não pode explodir antes de $\frac\pi4$ : $T_+ \geq \frac\pi4$ .

(c) Juntas: $\frac\pi4 \leq T_+ \leq 1$ (numericamente $T_+ \approx 0.96$ ). Moral: para $x' = F(t, x)$ com $F$ superlinear em $x$ , as soluções explodem em tempo finito sempre que $\int^\infty\frac{\dd s}{F(s)} < \infty$ (a solução de comparação atinge o infinito nesse tempo finito); o crescimento linear, em que a integral diverge, força a existência global (Exercício 19.3). É a mesma integral de Osgood do Problema 7.1, governando agora a fuga para o infinito em vez da fuga a partir do zero.

Exercício 19.12 ★★★

(Teorema de comparação de Sturm) Sejam $q_1 \leq q_2$ contínuas em um intervalo $I$ , e sejam $u \neq 0$ solução de $u'' + q_1u = 0$ e $v \neq 0$ solução de $v'' + q_2v = 0$ . (a) Estabeleça a identidade do wronskiano: com $W = uv' - u'v$ , $W' = (q_1 - q_2)\,uv$ . (b) (Sturm) Mostre que, entre dois zeros consecutivos $a < b$ de $u$ , ou $v$ se anula em algum ponto de $\intoo ab$ , ou $q_1 = q_2$ e $v \propto u$ ali (suponha $u > 0$ em $\intoo ab$ e $v > 0$ também; integre (a) de $a$ a $b$ e examine os sinais dos termos de fronteira $W(a), W(b)$ ). (c) Deduza: as soluções de $u'' + qu = 0$ com $q \geq m > 0$ se anulam ao menos uma vez em todo intervalo de comprimento $\pi/\sqrt m$ (compare com $v'' + mv = 0$ ); as soluções com $q \leq 0$ se anulam no máximo uma vez em $\R$ . Teste ambas em $q \equiv \pm1$ .

Solução

Solução de Exercício 19.12.

(a) $W' = uv'' - u''v = u(-q_2v) - (-q_1u)v = (q_1 - q_2)\,uv$ .

(b) Sejam $a < b$ zeros consecutivos de $u$ ; normalize $u > 0$ em $\intoo ab$ (de modo que $u'(a) > 0$ , $u'(b) < 0$ — não nulos por unicidade, já que $u(a) = u'(a) = 0$ forçaria $u \equiv 0$ ). Suponha que $v$ não tenha zero em $\intoo ab$ ; normalize $v > 0$ ali (logo $v(a), v(b) \geq 0$ por continuidade). Integre (a):

W(b) - W(a) = \int_a^b(q_1 - q_2)\,uv \;\leq\; 0 .

Mas $W(a) = u(a)v'(a) - u'(a)v(a) = -u'(a)v(a) \leq 0$ e $W(b) = -u'(b)v(b) \geq 0$ : logo $W(b) - W(a) \geq 0$ . Igualdade em toda a cadeia: $\int(q_1 - q_2)uv = 0$ com $uv > 0$ no intervalo aberto força $q_1 = q_2$ ali; e $W(a) = W(b) = 0$ força $v(a) = v(b) = 0$ ; então $W \equiv 0$ em $\intcc ab$ (sua derivada se anula), isto é, $(v/u)' = -W/u^2 = 0$ em $\intoo ab$ : $v \propto u$ .

(c) Tome $q_1 = m$ e $u = \sin(\sqrt m(t - t_0))$ , cujos zeros consecutivos distam $\pi/\sqrt m$ , e $q_2 = q \geq m$ : por (b), toda solução $v$ de $v'' + qv = 0$ se anula em cada intervalo aberto de comprimento $\pi/\sqrt m$ (na alternativa degenerada $q \equiv m$ , $v \propto u$ também se anula). Se, em vez disso, $q \leq 0$ : aplique (b) com $q_1 = q$ , $u = v$ e $q_2 = 0$ com a solução sem zeros $\mathbf 1$ de $v'' = 0$ . Se $v$ tivesse dois zeros consecutivos, (b) forçaria ou um zero de $\mathbf 1$ entre eles, ou o caso degenerado $\mathbf 1 \propto v$ — ambos absurdos: $v$ se anula no máximo uma vez. Testes: para $q = 1$ , $\sin t$ se anula a cada $\pi = \pi/\sqrt1$ , como previsto; para $q = -1$ , $\sinh t$ se anula exatamente uma vez e $\eu^t$ nunca — no máximo um zero, como previsto.

19.6 Problema: o pêndulo, completamente resolvido

Problema 19.1

Problema de fim de semana — oscilações, rotações, separatriz e o período

A equação do pêndulo $x'' = -\sin x$ — como sistema: $x' = y$ , $y' = -\sin x$ em $\R^2$ — é a drosófila da dinâmica: simples de escrever, impossível de resolver por fórmulas elementares e, ainda assim, inteiramente compreensível pelo método qualitativo. Seja $E(x, y) = \frac{y^2}2 - \cos x$ (a energia).

Parte I — Estrutura global.

Mostre que todas as soluções maximais são globais (definidas em $\R$ ): use $\dot E = 0$ e o Teorema 19.5. Equilíbrios: $(k\pi, 0)$ ; classifique suas linearizações (do tipo centro para $k$ par, sela para $k$ ímpar).
Mostre que as trajetórias estão contidas nos conjuntos de nível $\{E = E_0\}$ , e esboce-as ou descreva-as pelo valor de $E_0 \in \intco{-1}{+\infty}$ : $E_0 = -1$ (equilíbrios), $-1 < E_0 < 1$ (curvas fechadas em torno de $(2k\pi, 0)$ ), $E_0 = 1$ (a separatriz por $(\pm\pi, 0)$ ), $E_0 > 1$ (gráficos sobre $x$ : rotações).
Demonstre que o equilíbrio inferior $(0,0)$ é estável mas não assintoticamente estável. (Lyapunov com $V = E + 1$ ; não assintótico: a conservação de energia aprisiona as órbitas em curvas de nível afastadas da origem.)

Parte II — Oscilações e seu período. Fixe $-1 < E_0 < 1$ e escreva $E_0 = -\cos a$ com $a \in \intoo0\pi$ (a amplitude).

Mostre que a solução com $x(0) = a$ , $y(0) = 0$ oscila: $x(t) \in \intcc{-a}a$ , e que a órbita é a curva fechada $y^2 = 2(\cos x - \cos a)$ . Justifique que a solução é periódica: a órbita é uma curva compacta sem equilíbrios, percorrida com velocidade limitada inferiormente — transforme isso em um argumento (a solução volta a seu ponto inicial em tempo finito e, então, a unicidade força a periodicidade).
Estabeleça a fórmula do período

$T(a) = 4\int_0^{a}\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}}$

(em um quarto de órbita, $y = \frac{\dd x}{\dd t} > 0$ e separe variáveis; justifique a convergência imprópria em $x = a$ ).
(Pequenas oscilações) Substitua $\sin\frac x2 = \sin\frac a2\,\sin\varphi$ e mostre que

$T(a) = 4\int_0^{\pi/2}\frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}}, \qquad k = \sin\frac a2$

(uma integral elíptica completa). Deduza por convergência dominada que $T(a) \to 2\pi$ quando $a \to 0^+$ : o limite harmônico, independente da amplitude — o isocronismo aproximado de Galileu, com sua correção exata $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + O(k^4)\bigr)$ (expanda o integrando e integre termo a termo, justificando pela convergência normal).
Mostre que $T(a) \to +\infty$ quando $a \to \pi^-$ (limite o integrando por baixo perto de $\varphi = \frac\pi2$ quando $k \to 1$ , ou aplique a convergência monótona): ao se aproximar da separatriz, o pêndulo desacelera sem limite.

Parte III — A separatriz.

Para $E_0 = 1$ , $y = 2\cos\frac x2$ no ramo superior: separe variáveis e integre para encontrar a solução explícita

$x(t) = 4\arctan\bigl(\eu^{t}\bigr) - \pi$

(com $x(0) = 0$ , $y(0) = 2$ ). Verifique diretamente que ela resolve a equação do pêndulo e calcule seus limites e os limites de $y(t)$ quando $t \to \pm\infty$ .
Conclua: a órbita separatriz liga a sela $(-\pi, 0)$ (quando $t \to -\infty$ ) à sela $(\pi, 0)$ (quando $t \to +\infty$ ), mas não alcança nenhuma delas em tempo finito — coerentemente com a unicidade (por que alcançar uma sela em tempo finito contradiria o Corolário 19.4?).

Parte IV — Rotações e o quadro completo.

Para $E_0 > 1$ : mostre que $y$ nunca se anula, que $x$ é estritamente monótona e global com $x(t) \to \pm\infty$ , e que $t \mapsto y(t)$ é periódica de período

$\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} .$
Monte o retrato de fase completo (a figura do capítulo), com justificativa integral de cada característica, e escreva um resumo de dez linhas do método: energia, conjuntos de nível, compacidade, unicidade — como cada teorema do capítulo entrou. Em que momento precisamos de uma fórmula para a solução geral?

Parte V — A função período sob o microscópio.

Demonstre os momentos de Wallis

$W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n}\varphi\,\dd\varphi = \frac\pi2\cdot\frac{(2n)!}{4^n\,(n!)^2}$

por indução (integre por partes), expanda o integrando da questão 6 pela série binomial e justifique a integração termo a termo para obter a série completa

$T(a) = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\Bigr), \qquad k = \sin\frac a2 .$
Converta para a amplitude:

$T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6)\Bigr)$

(substitua a expansão de $\sin\frac a2$ e agrupe). O isocronismo falha na ordem $a^2$ , e a falha está agora quantificada até a ordem $a^4$ .
Mostre que $a \mapsto T(a)$ é contínua e estritamente crescente em $\intoo0\pi$ , e conclua, com as questões 6–7, que $T$ é uma bijeção de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$ : todo período supercrítico é realizado por exatamente uma amplitude.
(Aritmética do relojoeiro) Um pêndulo regulado a amplitude infinitesimal marca o tempo ideal; mostre que, operando a amplitude $a$ , ele atrasa a fração $\frac{a^2}{16} + O(a^4)$ do tempo ideal, e calcule a deriva para $a = 0.2$ rad: cerca de $216$ segundos por dia. (As bochechas cicloidais de Huygens e as pequenas amplitudes constantes dos escapamentos são ambas respostas a esse número.)
Volte ao período de rotação $\tau$ da questão 10: mostre que $\tau$ é estritamente decrescente em $\intoo1{+\infty}$ , que $\tau(E_0) \to +\infty$ quando $E_0 \to 1^+$ (convergência monótona) e que $\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) \to 2\pi$ quando $E_0 \to +\infty$ (convergência dominada): o giro rápido é assintoticamente uma rotação livre de velocidade angular $\sqrt{2E_0}$ .

Parte VI — O método exportado: Lotka–Volterra. A receita do pêndulo — integral primeira, curvas de nível compactas, unicidade — resolve um ecossistema. Fixe $\alpha, \beta, \gamma, \delta > 0$ e considere, no quadrante aberto $Q = \intoo0{+\infty}\times\intoo0{+\infty}$ ,

x' = x\,(\alpha - \beta y), \qquad y' = y\,(\delta x - \gamma)

( $x$ presas, $y$ predadores).

Mostre que $Q$ é invariante — os eixos são reuniões de órbitas, explicitamente calculáveis, que nenhuma solução pode cruzar (Corolário 19.4) — e que o único equilíbrio em $Q$ é $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .
Mostre que

$H(x, y) = \delta x - \gamma\ln x + \beta y - \alpha\ln y$

é uma integral primeira, que $H = f(x) + g(y)$ com $f, g$ estritamente convexas e próprias em $\intoo0{+\infty}$ com mínimos em $x_*$ , $y_*$ , e deduza que todas as soluções maximais em $Q$ são globais.
Mostre que, para $h > h_* = H(x_*, y_*)$ , o conjunto de nível $\{H = h\}\cap Q$ é uma curva fechada em torno do equilíbrio: dois ramos contínuos $y_\pm(x)$ sobre um intervalo compacto $\intcc{x_-}{x_+} \ni x_*$ , colados nas extremidades — o análogo dos ovais do pêndulo.
Demonstre que toda órbita não estacionária em $Q$ é periódica: estabeleça a circulação anti-horária pelas quatro regiões recortadas pelas retas $x = x_*$ e $y = y_*$ , limite o tempo de travessia de cada arco por uma integral com singularidade de raiz quadrada convergente (como na questão 5) e feche com a unicidade (como na questão 4).
(Lei das médias de Volterra) Se $T$ é o período de uma tal órbita, mostre que

$\frac1T\int_0^Tx(t)\,\dd t = \frac\gamma\delta, \qquad \frac1T\int_0^Ty(t)\,\dd t = \frac\alpha\beta :$

as médias temporais são iguais aos valores de equilíbrio, qualquer que seja a amplitude (integre $(\ln x)' = \alpha - \beta y$ ao longo de um período).
(O paradoxo da pesca) Colha as duas espécies à taxa $\varepsilon \in \intoo0\alpha$ : o sistema mantém sua forma, com $\alpha - \varepsilon$ e $\gamma + \varepsilon$ no lugar de $\alpha$ e $\gamma$ . O que acontece com as populações médias? Explique a observação de d’Ancona (1914–1918): quando a pesca no Adriático diminuiu durante a guerra, a proporção de predadores (tubarões) na captura aumentou — e por que a pesca moderada favorece as presas.
Escreva a moral em dez linhas: que teoremas do capítulo movem cada etapa, o que substitui a energia do pêndulo, e por que nenhum dos dois sistemas precisou — ou admite — uma solução elementar em forma fechada.
(Modulação da velocidade) No regime de rotação $E_0 > 1$ , mostre que $y = x'$ oscila entre $\sqrt{2(E_0 - 1)}$ (em $x \equiv \pi \bmod 2\pi$ ) e $\sqrt{2(E_0 + 1)}$ (em $x \equiv 0$ ), que a média temporal de $y$ ao longo de um período vale exatamente $\frac{2\pi}{\tau(E_0)}$ , e que a razão de modulação $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} \to 1$ quando $E_0 \to \infty$ : a rotação rápida é assintoticamente uniforme.
(Monotonicidade do período de rotação) Mostre que $\tau(E_0)$ é $\mathcal C^1$ e estritamente decrescente em $\intoo1{+\infty}$ (derive sob o sinal de integral, com dominação em todo $\intco{1 + \delta}\infty$ ), com $\tau \to \infty$ quando $E_0 \to 1^+$ e $\tau \to 0$ quando $E_0 \to \infty$ . Monte o quadro completo de bifurcação do pêndulo ao longo do eixo da energia: equilíbrios em $E_0 = -1$ , librações com período crescendo de $2\pi$ a $\infty$ em $-1 < E_0 < 1$ , a separatriz em $E_0 = 1$ e as rotações com período decrescendo de $\infty$ a $0$ além dela.

Solução

Solução de Problema 19.1.

1. $\dot E = yy' + \sin x\cdot x' = -y\sin x + y\sin x = 0$ : a energia é uma integral primeira. Numa solução maximal, $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \leq 2(E_0 + 1)$ : $y$ é limitada; então $\abs{x(t)} \leq \abs{x(0)} + t\sup\abs y$ cresce no máximo linearmente: em qualquer intervalo de tempo finito a trajetória permanece num compacto de $\R^2$ , de modo que o Teorema 19.5(2) força $T_\pm = \pm\infty$ . Equilíbrios $(k\pi, 0)$ ; linearização $\bigl(\begin{smallmatrix}0&1\\ \mp1&0\end{smallmatrix}\bigr)$ com $-\cos(k\pi) = \mp1$ : autovalores $\pm\iu$ para $k$ par (tipo centro, inconclusivo por si só) e $\pm1$ para $k$ ímpar (sela).

2. $E$ constante ao longo das soluções confina cada trajetória a um conjunto de nível $\{y^2 = 2(E_0 + \cos x)\}$ . Para $E_0 = -1$ : apenas os pontos $(2k\pi, 0)$ . Para $-1 < E_0 < 1$ : escrevendo $E_0 = -\cos a$ , o conjunto é uma união disjunta de curvas fechadas $y = \pm\sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ sobre $x \in [2k\pi - a, 2k\pi + a]$ , uma em torno de cada equilíbrio estável. Para $E_0 = 1$ : as curvas $y = \pm2\cos\frac x2$ que ligam selas consecutivas — a separatriz — junto com as próprias selas. Para $E_0 > 1$ : dois gráficos $y = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x)}$ , definidos para todo $x$ , nunca tocando $y = 0$ .

3. $V = E + 1 = \frac{y^2}2 + (1 - \cos x)$ se anula em $(0,0)$ , é positiva numa vizinhança perfurada ( $\abs x < 2\pi$ ), e $\dot V = 0 \leq 0$ : o Teorema 19.11 dá a estabilidade. Não assintótica: a solução por $(a, 0)$ ( $0 < a$ pequeno) permanece na curva de nível $E = -\cos a$ , cuja distância à origem é positiva (a curva encontra o eixo $x$ apenas em $\pm a$ ): $\varphi_t(a, 0) \not\to (0,0)$ .

4. Na curva de nível $C_a$ : sem equilíbrios ( $y = 0$ força $x = \pm a$ com $\sin(\pm a) \neq 0$ para $0 < a < \pi$ ), de modo que a velocidade $\norm{(y, -\sin x)}$ tem mínimo positivo $m$ no compacto $C_a$ . Siga a solução a partir de $(a, 0)$ : no semiplano inferior $x' = y < 0$ , de modo que $x$ decresce de $a$ a $-a$ em tempo finito (as integrais de quarto/meio período convergem: a análise da questão 5), atingindo $(-a, 0)$ ; pela simetria $(x, y) \mapsto (x, -y)$ , $t \mapsto -t$ da equação, a metade superior é percorrida de volta no mesmo tempo $\frac T2$ : a solução retorna a $(a, 0)$ no tempo $T$ . A unicidade (Corolário 19.4) então propaga: $x(t + T) = x(t)$ para todo $t$ : periódica.

5. No ramo em que $y > 0$ : $y = \sqrt{2(\cos x - \cos a)}$ e $\dd t = \frac{\dd x}{y}$ ; integrar $x$ de $-a$ a $a$ dá o meio período, e a simetria $x \mapsto -x$ divide a integral pela metade de novo:

T(a) = 4\int_0^a\frac{\dd x}{\sqrt{2(\cos x - \cos a)}} .

Convergência em $x = a^-$ : $\cos x - \cos a = \sin(a)(a - x) + O((a-x)^2)$ com $\sin a > 0$ : o integrando se comporta como $\bigl(2\sin a\,(a - x)\bigr)^{-1/2}$ , integrável.

6. Com $\sin\frac x2 = k\sin\varphi$ , $k = \sin\frac a2$ : $\cos x - \cos a = 2(k^2 - \sin^2\frac x2) = 2k^2\cos^2\varphi$ e $\frac12\cos\frac x2\,\dd x = k\cos\varphi\,\dd\varphi$ , de modo que

T(a) = 4\int_0^{\pi/2} \frac{\dd\varphi}{\sqrt{1 - k^2\sin^2\varphi}} .

Quando $a \to 0^+$ , $k \to 0$ : para $k \leq k_0 < 1$ o integrando é dominado por $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , contínua em $\intcc0{\pi/2}$ : o TCD dá $T \to 4\cdot\frac\pi2 = 2\pi$ . Expandindo $(1 - u)^{-1/2} = 1 + \frac u2 + \frac{3u^2}8 + \cdots$ com $u = k^2\sin^2\varphi$ (convergência normal para $k < 1$ ) e $\int_0^{\pi/2}\sin^2 = \frac\pi4$ :

T(a) = 2\pi\Bigl(1 + \frac{k^2}{4} + O(k^4)\Bigr) :

o isocronismo vale apenas em primeira ordem; o período cresce com a amplitude.

7. Quando $k \uparrow 1$ , os integrandos crescem até $(1 - \sin^2\varphi)^{-1/2} = \frac1{\cos\varphi}$ , cuja integral diverge: por convergência monótona, $T(a) \to +\infty$ quando $a \to \pi^-$ .

8. No ramo $y = 2\cos\frac x2$ ( $\abs x < \pi$ ): $\frac{\dd x}{2\cos(x/2)} = \dd t$ ; com $u = \frac x2$ , $\int\frac{\dd u}{\cos u} = \ln\tan\bigl(\frac u2 + \frac\pi4\bigr)$ , de modo que $t = \ln\tan\bigl(\frac x4 + \frac\pi4\bigr)$ , isto é,

x(t) = 4\arctan(\eu^t) - \pi, \qquad y(t) = x'(t) = \frac{4\eu^t}{1 + \eu^{2t}} = \frac{2}{\cosh t} .

Verificação pela energia: com $\theta = \arctan\eu^t$ , $\sin2\theta = \frac1{\cosh t}$ , de modo que $\cos x = -\cos4\theta = -1 + \frac{2}{\cosh^2t}$ e $E = \frac{y^2}2 - \cos x = \frac2{\cosh^2t} + 1 - \frac2{\cosh^2t} = 1$ : a trajetória está na separatriz, e derivar $y^2 = 2(1 + \cos x)$ onde $y > 0$ reproduz $y' = -\sin x$ . Limites: $x \to \pm\pi$ e $y \to 0$ quando $t \to \pm\infty$ .

9. A órbita tende à sela $(\pi, 0)$ para a frente e a $(-\pi, 0)$ para trás, mas nunca chega: se ela atingisse $(\pi, 0)$ num tempo finito $t^*$ , duas soluções maximais distintas — a solução separatriz e a solução constante na sela — passariam pelo mesmo ponto $(t^*, (\pi, 0))$ , contradizendo o Corolário 19.4. As selas só são atingidas assintoticamente.

10. Para $E_0 > 1$ : $y^2 = 2(E_0 + \cos x) \geq 2(E_0 - 1) > 0$ : $y$ mantém seu sinal, e $\abs{x'} = \abs y \geq \sqrt{2(E_0 - 1)}$ : $x$ é estritamente monótona, global (questão 1), com $x(t) \to \pm\infty$ . Como $y(t) = \pm\sqrt{2(E_0 + \cos x(t))}$ e $\cos$ é $2\pi$ -periódico, $y$ retorna a seu valor cada vez que $x$ avança $2\pi$ ; o tempo necessário é

\tau(E_0) = \int_{x_0}^{x_0 + 2\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}

(substituição; periodicidade): $y$ é $\tau$ -periódica — o pêndulo gira com taxa de rotação assintoticamente constante $2\pi/\tau \approx \sqrt{2E_0}$ para energias grandes.

11. O método, em ordem: a energia ( $\dot E = 0$ ) reduz o fluxo bidimensional a curvas de nível unidimensionais; a limitação de $y$ em cada nível, mais a fuga de compactos, dá a existência global; a compacidade dos níveis fechados dá cotas de velocidade e, portanto, a periodicidade; a unicidade converte o primeiro retorno em periodicidade exata, proíbe a chegada em tempo finito às selas e separa os tipos de órbita; linearização e Lyapunov classificam os equilíbrios; a integral do período é analisada com os teoremas de convergência do Capítulo 10. Em ponto algum possuímos — ou precisamos de — uma solução geral em forma fechada: a teoria qualitativa extraiu da própria equação todas as características do movimento.

12. Por partes: $W_n = \int_0^{\pi/2}\sin^{2n-1}\varphi \cdot\sin\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)\int_0^{\pi/2} \sin^{2n-2}\varphi\cos^2\varphi\,\dd\varphi = (2n-1)(W_{n-1} - W_n)$ , de modo que $W_n = \frac{2n-1}{2n}W_{n-1}$ ; com $W_0 = \frac\pi2$ e $\prod_{j=1}^n\frac{2j-1}{2j} = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}$ (separe $(2n)! = 2^nn!\prod(2j-1)$ ), a indução dá o valor em destaque. Série binomial: $(1 - u)^{-1/2} = \sum_{n\geq0}c_nu^n$ com $c_n = \frac{(2n)!}{4^n(n!)^2} \in \intoc01$ , raio $1$ . Para $k \leq k_0 < 1$ e $u = k^2\sin^2\varphi$ , a série $\sum c_nk^{2n}\sin^{2n}\varphi$ converge normalmente em $\varphi$ ( $c_nk^{2n} \leq k_0^{2n}$ ), de modo que a integração termo a termo na fórmula da questão 6 é legítima:

T(a) = 4\sum_{n\geq0}c_nk^{2n}W_n = 4\cdot\frac\pi2\sum_{n\geq0}c_n^2\,k^{2n} = 2\pi\sum_{n\geq0} \Bigl(\frac{(2n)!}{4^n(n!)^2}\Bigr)^{\!2}k^{2n} .

Com $c_0 = 1$ , $c_1 = \frac12$ , $c_2 = \frac38$ : $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{k^2}4 + \frac{9k^4}{64} + O(k^6)\bigr)$ , sendo o resto uniforme para $k \leq k_0$ (cauda dominada por uma série geométrica).

13. $k = \sin\frac a2 = \frac a2 - \frac{a^3}{48} + O(a^5)$ , de modo que

k^2 = \frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48} + O(a^6), \qquad k^4 = \frac{a^4}{16} + O(a^6) ,

\frac{T(a)}{2\pi} = 1 + \frac14\Bigl(\frac{a^2}4 - \frac{a^4}{48}\Bigr) + \frac9{64}\cdot\frac{a^4}{16} + O(a^6) = 1 + \frac{a^2}{16} + \frac{11\,a^4}{3072} + O(a^6) ,

pois $-\frac1{192} + \frac9{1024} = \frac{-16 + 27}{3072} = \frac{11}{3072}$ .

14. Na forma elíptica da questão 6, $a \mapsto k = \sin\frac a2$ é uma bijeção contínua estritamente crescente de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo01$ e, para cada $\varphi \in \intoc0{\pi/2}$ , o integrando $(1 - k^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ é estritamente crescente em $k$ : $T$ é estritamente crescente. Continuidade: em $k \leq k_0 < 1$ , o integrando é dominado pela contínua $(1 - k_0^2\sin^2\varphi)^{-1/2}$ , de modo que a convergência dominada se aplica ao longo de $k' \to k$ . Com os limites $T \to 2\pi$ quando $a \to 0^+$ (questão 6) e $T \to +\infty$ quando $a \to \pi^-$ (questão 7), a monotonicidade estrita e o teorema do valor intermediário fazem de $T$ uma bijeção de $\intoo0\pi$ sobre $\intoo{2\pi}{+\infty}$ .

15. Um relógio conta oscilações; regulado em amplitude nula, ele contabiliza o período harmônico $2\pi$ por oscilação (na unidade de tempo do pêndulo). Operando na amplitude $a$ , o período verdadeiro é $T(a) = 2\pi\bigl(1 + \frac{a^2}{16} + O(a^4)\bigr)$ : o relógio contabiliza $2\pi$ enquanto $T(a)$ de fato transcorre, de modo que ele atrasa pela fração

\frac{T(a) - 2\pi}{T(a)} = \frac{a^2}{16} + O(a^4) .

Para $a = 0.2$ rad (cerca de $11.5$ graus): $\frac{a^2}{16} = \frac{0.04}{16} = \frac1{400}$ , e um dia tem $86400$ s: o relógio perde $86400/400 = 216$ segundos — uns três minutos e meio — por dia. Daí os dois remédios históricos: impor uma amplitude minúscula e constante (o escapamento), ou dobrar o vínculo de modo que o período seja exatamente independente da amplitude (as faces cicloidais de Huygens, 1657).

16. Em $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ , o integrando é, para cada $x$ fixo, estritamente decrescente em $E_0$ : $\tau$ é estritamente decrescente. Quando $E_0 \downarrow 1$ , os integrandos crescem pontualmente até $\bigl(2(1 + \cos x)\bigr)^{-1/2} = \frac1{2\abs{\cos\frac x2}}$ , cuja integral em $\intoo{-\pi}\pi$ diverge ( $\cos\frac x2$ se anula em primeira ordem em $\pm\pi$ ): a convergência monótona dá $\tau(E_0) \to +\infty$ . Quando $E_0 \to +\infty$ :

\sqrt{2E_0}\,\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\dd x}{\sqrt{1 + \cos x/E_0}} \longrightarrow 2\pi

por convergência dominada (para $E_0 \geq 2$ o integrando é no máximo $\sqrt2$ ). Logo $\tau \approx 2\pi/\sqrt{2E_0}$ : uma volta leva o tempo da rotação livre à velocidade $\sqrt{2E_0}$ , reduzido o potencial a uma ondulação — batendo com a taxa de rotação da questão 10.

17. Os eixos carregam as soluções explícitas $t \mapsto (x_0\eu^{\alpha t}, 0)$ e $t \mapsto (0, y_0\eu^{-\gamma t})$ , junto com o equilíbrio $(0, 0)$ : eles são uniões de órbitas. O campo é $\mathcal C^1$ , logo localmente lipschitziano; uma solução que comece em $Q$ e tocasse um eixo passaria por um ponto de uma dessas órbitas e, pelo Corolário 19.4, coincidiria com ela — impossível, uma vivendo no eixo e a outra não. Logo $Q$ é invariante nas duas direções do tempo. Equilíbrios em $Q$ : $x > 0$ força $\alpha - \beta y = 0$ e $y > 0$ força $\delta x - \gamma = 0$ : o único ponto $(x_*, y_*) = \bigl(\frac\gamma\delta, \frac\alpha\beta\bigr)$ .

18. Ao longo de uma solução,

\dot H = \Bigl(\delta - \frac\gamma x\Bigr)x' + \Bigl(\beta - \frac\alpha y\Bigr)y' = (\delta x - \gamma)(\alpha - \beta y) + (\beta y - \alpha)(\delta x - \gamma) = 0 .

$f(x) = \delta x - \gamma\ln x$ tem $f'' = \gamma/x^2 > 0$ , com $f'$ anulando-se apenas em $x_*$ , e $f \to +\infty$ tanto em $0^+$ quanto em $+\infty$ : estritamente convexa e própria, de mínimo $f(x_*)$ ; do mesmo modo, $g(y) = \beta y - \alpha\ln y$ , de mínimo $g(y_*)$ . Logo $H \geq h_*$ , com igualdade apenas em $(x_*, y_*)$ , e cada subnível $\{H \leq h\}\cap Q$ é compacto: $f(x) \leq h - g(y_*)$ confina $x$ a um intervalo compacto de $\intoo0{+\infty}$ por ser própria, do mesmo modo $y$ , e o conjunto é fechado em $\R^2$ , pois $H \to +\infty$ no bordo de $Q$ . Uma solução maximal permanece em seu conjunto de nível compacto, de modo que ela não pode deixar todo compacto em tempo finito: o Teorema 19.5 a torna global.

19. Fixe $h > h_*$ e ponha $c = h - g(y_*) > f(x_*)$ . Como $f$ decresce estritamente de $+\infty$ a $f(x_*)$ em $\intoc0{x_*}$ e cresce estritamente de volta até $+\infty$ em $\intco{x_*}{+\infty}$ , a equação $f(x) = c$ tem exatamente duas raízes $x_- < x_* < x_+$ , e $\{f \leq c\} = \intcc{x_-}{x_+}$ . Para $x \in \intoo{x_-}{x_+}$ : $g(y) = h - f(x) > g(y_*)$ tem exatamente duas raízes $y_-(x) < y_* < y_+(x)$ , contínuas em $x$ (inversas das restrições contínuas estritamente monótonas de $g$ de cada lado de $y_*$ ), com $y_\pm(x) \to y_*$ quando $x \to x_\pm$ ; em $x = x_\pm$ a única solução é $y = y_*$ . Logo $\{H = h\}\cap Q$ é a união dos gráficos de $y_+$ e $y_-$ sobre $\intcc{x_-}{x_+}$ , colados em $(x_\pm, y_*)$ : uma curva fechada em torno de $(x_*, y_*)$ — o análogo dos ovais do pêndulo.

20. Seja $C_h = \{H = h\}\cap Q$ com $h > h_*$ : o único equilíbrio de $Q$ está fora de $C_h$ , de modo que o campo nunca se anula sobre ela. Sinais: $x' = \beta x(y_* - y)$ , $y' = \delta y(x - x_*)$ : o movimento vai para a direita abaixo da reta $y = y_*$ , para cima à direita de $x = x_*$ , para a esquerda acima e para baixo à esquerda — circulação anti-horária. Siga a solução a partir de um ponto $(x_0, y_-(x_0))$ do ramo inferior aberto, em que $x' > 0$ : o tempo para atingir o canto direito $B = (x_+, y_*)$ é

\int_{x_0}^{x_+}\frac{\dd x}{\beta x\,\bigl(y_* - y_-(x)\bigr)} .

Perto de $x_+$ , escolha $x' \in \intoo{x_*}{x_+}$ ; para $x \in \intcc{x'}{x_+}$ , $f(x_+) - f(x) \geq f'(x')\,(x_+ - x)$ ( $f'$ é crescente e positiva além de $x_*$ ), ao passo que a relação de nível e a desigualdade de Taylor dão $g(y_-(x)) - g(y_*) \leq \frac12\,\bigl(\max g''\bigr)\,(y_* - y_-(x))^2$ na faixa compacta de $y$ de $C_h$ : logo $y_* - y_-(x) \geq c\,\sqrt{x_+ - x}$ com $c > 0$ , e o integrando é $O\bigl((x_+ - x)^{-1/2}\bigr)$ : integrável — a convergência da questão 5, transposta. No resto do ramo, o integrando é contínuo. Logo $B$ é atingido em tempo finito; ali $y' = \delta y_*(x_+ - x_*) > 0$ , a órbita entra na região $x > x_*$ , $y > y_*$ , sobe até o canto superior $(x_*, y_+)$ pela estimativa simétrica (papéis de $f$ e $g$ trocados), e assim por diante ao longo dos quatro arcos: após um tempo finito $T > 0$ a solução retorna a seu ponto de partida. Pelo Corolário 19.4, ela é $T$ -periódica — o argumento da questão 4, literalmente.

21. Numa órbita $T$ -periódica em $Q$ , $t \mapsto \ln x(t)$ é $\mathcal C^1$ e $T$ -periódica, de modo que

0 = \int_0^T(\ln x)'\,\dd t = \int_0^T(\alpha - \beta y)\,\dd t = \alpha T - \beta\int_0^Ty\,\dd t ,

dando $\frac1T\int_0^Ty = \frac\alpha\beta$ ; do mesmo modo, $0 = \int_0^T(\ln y)' = \delta\int_0^Tx\,\dd t - \gamma T$ dá $\frac1T\int_0^Tx = \frac\gamma\delta$ . As médias temporais são os valores de equilíbrio, para toda órbita, independentemente da amplitude — uma lei de conservação que ninguém colocou à mão.

22. Com colheita, o sistema é de novo da forma de Lotka–Volterra, com parâmetros $\alpha - \varepsilon$ , $\beta$ , $\gamma + \varepsilon$ , $\delta$ (o equilíbrio interior persiste, pois $\varepsilon < \alpha$ ). A questão 21 aplicada ao novo sistema:

\bar x = \frac{\gamma + \varepsilon}{\delta} \ \ (\text{média de presas sobe}), \qquad \bar y = \frac{\alpha - \varepsilon}{\beta} \ \ (\text{média de predadores cai}) :

a colheita indiscriminada desloca o equilíbrio em favor da presa. Os dados de D’Ancona leem isso ao contrário: a guerra cortou a pesca, $\varepsilon$ caiu, de modo que a média de predadores $(\alpha - \varepsilon)/\beta$ subiu e a média de presas caiu — uma fração maior de tubarões na captura, exatamente o que os mercados de peixe do Adriático registraram. Esse é o princípio de Volterra, o mesmo mecanismo por trás dos paradoxos dos pesticidas: abater os dois níveis tróficos beneficia o nível que é comido.

23. A receita, nas duas vezes: (i) uma integral primeira — $E$ para o pêndulo, $H$ aqui, obtida separando $\dd y/\dd x$ — colapsa o plano em curvas; (ii) a propriedade de ser própria e a compacidade dos conjuntos de nível dão a existência global pelo Teorema 19.5; (iii) a geometria dos níveis — ovais, vindos da forma de $\cos$ lá e da convexidade estrita de $f$ e $g$ aqui — é lida na integral, não no fluxo; (iv) um campo não nulo num oval compacto, mais singularidades integráveis nos cantos, força um tempo de retorno finito; (v) a unicidade (Corolário 19.4) converte retorno em periodicidade e proíbe a chegada em tempo finito aos equilíbrios; (vi) os dividendos — expansões do período, leis de médias — vêm dos teoremas de convergência aplicados às integrais resultantes. Nem $x'' = -\sin x$ nem Lotka–Volterra admite solução elementar em forma fechada (integrais elípticas num caso, curvas de nível transcendentes no outro) e, em ponto algum, foi preciso uma: a própria equação, interrogada qualitativamente, entregou o movimento inteiro.

24. Num nível de energia $E_0 > 1$ , $y^2 = 2(E_0 + \cos x) > 0$ : extremos de $y^2$ em $\cos x = \pm1$ , dando as cotas enunciadas, atingidas em $x \equiv 0, \pi$ . Média temporal num período $\tau = \tau(E_0)$ : $x$ avança exatamente $2\pi$ , de modo que

\frac1\tau\int_0^\tau y\,\dd t = \frac{x(\tau) - x(0)}{\tau} = \frac{2\pi}\tau .

A razão entre as velocidades extremas é $\sqrt{\frac{E_0 + 1}{E_0 - 1}} = 1 + O(E_0^{-1}) \to 1$ : em alta energia, a ondulação $\pm1$ do potencial é desprezível diante de $E_0$ , e o pêndulo gira quase uniformemente — a tábua de lavar se aplaina.

25. Em $E_0 \geq 1 + \delta$ , o integrando de $\tau(E_0) = \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}}$ é dominado por $(2\delta)^{-1/2}$ , e sua derivada em $E_0$ ,

\partial_{E_0}\frac1{\sqrt{2(E_0 + \cos x)}} = -\frac{1}{\bigl(2(E_0 + \cos x)\bigr)^{3/2}}

por $(2\delta)^{-3/2}$ , ambos integráveis no compacto $\intcc{-\pi}\pi$ : a derivação sob o sinal de integral (Teorema 10.15) se aplica e dá $\tau'(E_0) < 0$ (o integrando é estritamente negativo): estritamente decrescente, $\mathcal C^1$ . Limites: quando $E_0 \to \infty$ , $\tau \leq \frac{2\pi}{\sqrt{2(E_0 - 1)}} \to 0$ ; quando $E_0 \to 1^+$ : escreva $E_0 + \cos x = (E_0 - 1) + 2\cos^2\frac x2$ ; o integrando cresce quando $E_0$ decresce, de modo que, por convergência monótona,

\tau(E_0) \;\nearrow\; \int_{-\pi}^{\pi}\frac{\dd x}{2\,\abs{\cos\frac x2}} = +\infty,

divergindo a integral limite em $x = \pm\pi$ (ali $\abs{\cos\frac x2} \sim \frac{\abs{x \mp \pi}}2$ , um $\frac1{\abs\cdot}$ não integrável): o período explode ao se aproximar da separatriz, batendo com o $T(a) \to \infty$ da Parte II pelo lado das librações. O eixo da energia se lê: repouso em $E_0 = -1$ ; librações, $2\pi \nearrow \infty$ , em $\intoo{-1}1$ ; a separatriz infinitamente lenta em $E_0 = 1$ ; rotações, $\infty \searrow 0$ , além. Uma integral, a vida inteira do pêndulo.

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