Apa itu kestabilan (Lyapunov)?

Contoh 19.9 (Bidangnya, yang digolongkan)

Untuk $x' = Ax$ dengan $A \in M_2(\R)$ yang terbalikkan, potret fasenya di dekat $0$ ditentukan oleh $\tau = \operatorname{tr}A$ dan $\delta = \det A$, lewat nilai eigennya $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$:

• $\delta < 0$: nilai eigen real bertanda berlawanan — yakni sebuah pelana; dua lintasan masuk, dua keluar, dan sisanya melintas. Selalu tak stabil.
• $\delta > 0$ dan $\tau^2 \geq 4\delta$: nilai eigen real bertanda sama (yakni $= \operatorname{sign}\tau$) — yakni sebuah simpul, yang stabil jika dan hanya jika $\tau < 0$; dan lintasannya menyinggung arah eigen yang lambat.
• $\delta > 0$, $\tau^2 < 4\delta$, dan $\tau \neq 0$: nilai eigen sekawan kompleks $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — yakni sebuah spiral (atau fokus), yang stabil jika dan hanya jika $\tau < 0$; sedangkan solusinya berupa $\eu^{\tau t/2}\times$ rotasi berperiode $\frac{2\pi}\omega$.
• $\tau = 0$ dan $\delta > 0$: nilai eigen murni imajiner — yakni sebuah pusat: dengan orbit tertutup (elips), yakni kestabilan tanpa kestabilan asimtotik, tepat perbatasan yang tak dapat diputuskan Teorema 19.12 bagi sistem taklinear (sebab kesetimbangan bawah bandulnya, Soal 19.1, duduk di sini).

Sedangkan parabola batasnya $\tau^2 = 4\delta$ membawa simpul yang merosot (yakni blok Jordan: dengan lintasan berarah singgung tunggal). Jadi segalanya terbaca dari dua bilangan — itulah mengapa refleks pertama sebelum menggambar sebuah potret fase bidang adalah menghitung $\operatorname{tr}$ dan $\det$; misalnya $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (yakni osilator teredam): $\delta = 1 > 0$ dan $\tau = -c$: sehingga spiral stabil untuk $0 < c < 2$, dan simpul stabil untuk $c \geq 2$ — yakni redaman kurang lawan redaman lebih, dalam satu pandangan.