Qu'est-ce que « stabilité (Lyapunov) » ?

Exemple 19.9 (Le plan, classifié)

Pour $x' = Ax$ avec $A \in M_2(\R)$ inversible, le portrait de phase près de $0$ est décidé par $\tau = \operatorname{tr}A$ et $\delta = \det A$, via les valeurs propres $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ :

• $\delta < 0$ : valeurs propres réelles de signes opposés — un col ; deux trajectoires entrent, deux sortent, toutes les autres passent. Toujours instable.
• $\delta > 0$, $\tau^2 \geq 4\delta$ : valeurs propres réelles de même signe ($= \operatorname{sign}\tau$) — un nœud, stable ssi $\tau < 0$ ; les trajectoires sont tangentes à la direction propre lente.
• $\delta > 0$, $\tau^2 < 4\delta$, $\tau \neq 0$ : valeurs propres complexes conjuguées $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — une spirale (foyer), stable ssi $\tau < 0$ ; les solutions sont $\eu^{\tau t/2}\times$ rotations de période $\frac{2\pi}\omega$.
• $\tau = 0$, $\delta > 0$ : valeurs propres purement imaginaires — un centre : orbites fermées (ellipses), stabilité sans stabilité asymptotique, exactement la frontière que le Théorème 19.12 ne peut trancher pour les systèmes non linéaires (l’équilibre bas du pendule, Problème 19.1, se situe ici).

La parabole frontière $\tau^2 = 4\delta$ porte les nœuds dégénérés (blocs de Jordan : trajectoires à une seule direction tangente). Tout se lit sur deux nombres — d’où le premier réflexe avant tout portrait de phase plan : calculer $\operatorname{tr}$ et $\det$ ; p.ex. $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscillateur amorti) : $\delta = 1 > 0$, $\tau = -c$ : spirale stable pour $0 < c < 2$, nœud stable pour $c \geq 2$ — sous-amortissement contre sur-amortissement, d’un coup d’œil.