Wat is stabiliteit (Lyapunov)?

Voorbeeld 19.9 (Het vlak, geklasseerd)

Voor $x' = Ax$ met $A \in M_2(\R)$ inverteerbaar wordt het faseportret nabij $0$ beslist door $\tau = \operatorname{tr}A$ en $\delta = \det A$, via de eigenwaarden $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$:

• $\delta < 0$: reële eigenwaarden met tegengesteld teken — een zadel; twee banen komen binnen, twee gaan weg, alle andere vliegen voorbij. Altijd instabiel.
• $\delta > 0$, $\tau^2 \geq 4\delta$: reële eigenwaarden met hetzelfde teken ($= \operatorname{sign}\tau$) — een knoop, stabiel dan en slechts dan als $\tau < 0$; de banen raken de trage eigenrichting.
• $\delta > 0$, $\tau^2 < 4\delta$, $\tau \neq 0$: toegevoegd complexe eigenwaarden $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — een spiraal (focus), stabiel dan en slechts dan als $\tau < 0$; de oplossingen zijn $\eu^{\tau t/2}$ maal rotaties met periode $\frac{2\pi}\omega$.
• $\tau = 0$, $\delta > 0$: zuiver imaginaire eigenwaarden — een centrum: gesloten banen (ellipsen), stabiliteit zonder asymptotische stabiliteit, precies het grensgeval dat Stelling 19.12 voor niet-lineaire stelsels niet kan beslissen (het onderste evenwicht van de slinger, Probleem 19.1, zit hier).

De grensparabool $\tau^2 = 4\delta$ draagt de ontaarde knopen (jordanblokken: banen met één enkele raakrichting). Alles wordt van twee getallen afgelezen — daarom is de eerste reflex vóór elk vlak faseportret $\operatorname{tr}$ en $\det$ te berekenen; zo geeft $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (de gedempte oscillator): $\delta = 1 > 0$, $\tau = -c$: een stabiele spiraal voor $0 < c < 2$, een stabiele knoop voor $c \geq 2$ — onderdemping tegenover overdemping, in één oogopslag.