¿Qué es estabilidad (Lyapunov)?

Ejemplo 19.9 (El plano, clasificado)

Para $x' = Ax$ con $A \in M_2(\R)$ invertible, el retrato de fases cerca de $0$ lo deciden $\tau = \operatorname{tr}A$ y $\delta = \det A$, a través de los valores propios $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$:

• $\delta < 0$: valores propios reales de signos opuestos — un punto de silla; dos trayectorias entran, dos salen y todas las demás pasan de largo. Siempre inestable.
• $\delta > 0$, $\tau^2 \geq 4\delta$: valores propios reales del mismo signo ($= \operatorname{sign}\tau$) — un nodo, estable si y solo si $\tau < 0$; las trayectorias son tangentes a la dirección propia lenta.
• $\delta > 0$, $\tau^2 < 4\delta$, $\tau \neq 0$: valores propios complejos conjugados $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — una espiral (foco), estable si y solo si $\tau < 0$; las soluciones son rotaciones $\eu^{\tau t/2}\times$ de periodo $\frac{2\pi}\omega$.
• $\tau = 0$, $\delta > 0$: valores propios imaginarios puros — un centro: órbitas cerradas (elipses), estabilidad sin estabilidad asintótica, exactamente el caso frontera que el Teorema 19.12 no puede decidir para sistemas no lineales (el equilibrio inferior del péndulo, el Problema 19.1, se sitúa aquí).

La parábola frontera $\tau^2 = 4\delta$ alberga los nodos degenerados (bloques de Jordan: trayectorias con una única dirección tangente). Todo se lee en dos números — por eso el primer reflejo ante cualquier retrato de fases plano es calcular $\operatorname{tr}$ y $\det$; por ejemplo, $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (oscilador amortiguado): $\delta = 1 > 0$, $\tau = -c$: espiral estable para $0 < c < 2$, nodo estable para $c \geq 2$ — subamortiguamiento frente a sobreamortiguamiento, de un vistazo.