स्थायित्व (ल्यापुनोव) क्या है?

उदाहरण 19.9 (समतल, वर्गीकृत)

व्युत्क्रमणीय $A \in M_2(\R)$ के साथ $x' = Ax$ के लिए $0$ के निकट प्रावस्था चित्र $\tau = \operatorname{tr}A$ और $\delta = \det A$ से, अभिलक्षणिक मानों $\lambda_\pm = \frac{\tau \pm \sqrt{\tau^2 - 4\delta}}2$ के माध्यम से, तय होता है:

• $\delta < 0$: विपरीत चिह्नों वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान — एक काठी; दो प्रक्षेपपथ भीतर आते हैं, दो बाहर जाते हैं, और शेष सब पास से गुजर जाते हैं। सदा अस्थायी।
• $\delta > 0$, $\tau^2 \geq 4\delta$: एक ही चिह्न वाले वास्तविक अभिलक्षणिक मान ($= \operatorname{sign}\tau$) — एक ग्रंथि, जो स्थायी है तभी और केवल तभी जब $\tau < 0$; प्रक्षेपपथ मंद अभिलक्षणिक दिशा के स्पर्शी होते हैं।
• $\delta > 0$, $\tau^2 < 4\delta$, $\tau \neq 0$: सम्मिश्र संयुग्मी अभिलक्षणिक मान $\frac\tau2 \pm \iu\omega$ — एक सर्पिल (नाभि), जो स्थायी है तभी और केवल तभी जब $\tau < 0$; और हल आवर्तकाल $\frac{2\pi}\omega$ वाले $\eu^{\tau t/2}\times$ घूर्णन हैं।
• $\tau = 0$, $\delta > 0$: विशुद्ध काल्पनिक अभिलक्षणिक मान — एक केंद्र: संवृत कक्षाएँ (दीर्घवृत्त), और स्पर्शोन्मुख स्थायित्व के बिना स्थायित्व, ठीक वही सीमांत स्थिति जिसे प्रमेय 19.12 अरैखिक निकायों के लिए तय नहीं कर सकती (लोलक की निचली साम्यावस्था, समस्या 19.1, यहीं बैठती है)।

परिसीमा परवलय $\tau^2 = 4\delta$ पर अपकर्षित ग्रंथियाँ होती हैं (जॉर्डन खंड: एक ही स्पर्श दिशा वाले प्रक्षेपपथ)। सब कुछ दो संख्याओं में पढ़ लिया जाता है — और इसीलिए किसी भी समतलीय प्रावस्था चित्र से पहले पहली प्रतिक्रिया $\operatorname{tr}$ और $\det$ परिकलित करना ही होती है; उदाहरणार्थ $A = \bigl(\begin{smallmatrix}0 & 1\\ -1 & -c\end{smallmatrix}\bigr)$ (अवमंदित दोलक): $\delta = 1 > 0$, $\tau = -c$: अतः $0 < c < 2$ के लिए स्थायी सर्पिल, और $c \geq 2$ के लिए स्थायी ग्रंथि — एक ही दृष्टि में अल्प-अवमंदन बनाम अति-अवमंदन।