O que é Expandir, fatorar? — Matemática

Definição 2.1 Matemática do ensino médio · Capítulo 2 — Álgebra: equações e inequações

Expandir uma expressão é transformar produtos em somas; fatorar é o inverso, transformar uma soma em um produto. A regra básica é a distributividade:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemplos

Exemplo 2.2

Expanda $(2x + 3)(x - 5)$ passo a passo:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Exemplo 2.4

Usados no sentido direto (expandindo) e no inverso (fatorando):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

O cálculo mental também ganha: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Exemplo 2.6

Fatore $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Trata-se de uma diferença de dois quadrados $a^2 - b^2$ com $a = 2x+1$ e $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Atenção ao segundo colchete: subtrair $x - 3$ é subtrair $x$ e somar $3$ .

Ler no capítulo →