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गणित · शब्दावली

प्रसार, गुणनखंडन क्या है?

अन्य नाम: प्रसार · गुणनखंडन

परिभाषा 2.1 उच्च माध्यमिक गणित · अध्याय 2 — बीजगणित: समीकरण और असमिकाएँ

किसी व्यंजक का प्रसार करने का अर्थ है गुणनफलों को योगों में बदलना; गुणनखंडन इसका उल्टा है, अर्थात् योग को गुणनफल में बदलना। बुनियादी नियम वितरण का नियम है:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

उदाहरण

उदाहरण 2.2

$(2x + 3)(x - 5)$ का चरण-दर-चरण प्रसार कीजिए:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

उदाहरण 2.4

आगे की ओर (प्रसार) और पीछे की ओर (गुणनखंडन), दोनों तरह से प्रयोग:

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

मौखिक गणना को भी लाभ होता है: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ ।

उदाहरण 2.6

$E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ का गुणनखंडन कीजिए। यह दो वर्गों का अंतर $a^2 - b^2$ है, जिसमें $a = 2x+1$ और $b = x-3$ हैं:

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

दूसरे कोष्ठक पर ध्यान दीजिए: $x - 3$ घटाने का अर्थ है $x$ घटाना और $3$ जोड़ना।

अध्याय में पढ़ें →