Matemática do ensino médio · Grades 10–12

2Álgebra: equações e inequações

A álgebra é a arte de calcular com letras. Este capítulo revê e aprimora os dois movimentos básicos — expandir e fatorar — e usa-os para resolver equações e inequações de modo sistemático, tendo o quadro de sinais como ferramenta central.

2.1 Expandir e fatorar

Definição 2.1 (Expandir, fatorar)

Expandir uma expressão é transformar produtos em somas; fatorar é o inverso, transformar uma soma em um produto. A regra básica é a distributividade:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemplo 2.2

Expanda $(2x + 3)(x - 5)$ passo a passo:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Teorema 2.3 (Produtos notáveis)

Para quaisquer números reais $a$ e $b$ :

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2, \qquad (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2, \qquad (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 .

Demonstração. Cada uma delas é uma expansão direta. Para a primeira:

(a+b)^2 = (a+b)(a+b) = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2 .

A segunda segue trocando $b$ por $-b$ : $(a-b)^2 = a^2 + 2a(-b) + (-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ . E, para a terceira, $(a+b)(a-b) = a^2 - ab + ba - b^2 = a^2 - b^2$ . ∎

Por que (a+b)2 = a2 + 2ab + b2: um quadrado de lado a + b decompõe-se em um quadrado de lado a, um quadrado de lado b e dois retângulos a × b. — Por que $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : um quadrado de lado $a + b$ decompõe-se em um quadrado de lado $a$ , um quadrado de lado $b$ e dois retângulos $a \times b$ .

Exemplo 2.4

Usados no sentido direto (expandindo) e no inverso (fatorando):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

O cálculo mental também ganha: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Método 2.5 (Fatorar uma expressão)

Tente, nesta ordem:

Fator comum: identifique um fator presente em todos os termos e coloque-o em evidência, por exemplo $6x^2 + 4x = 2x(3x + 2)$ . O fator comum pode ser um parêntese inteiro: $(x+1)(2x-3) + (x+1)(x+7) = (x+1)(3x+4)$ .
Produto notável: reconheça $a^2 - b^2$ ou $a^2 \pm 2ab + b^2$ , por exemplo $9x^2 - 16 = (3x)^2 - 4^2 = (3x+4)(3x-4)$ .
Combine os dois e confira o resultado expandindo-o de volta.

Exemplo 2.6

Fatore $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . Trata-se de uma diferença de dois quadrados $a^2 - b^2$ com $a = 2x+1$ e $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Atenção ao segundo colchete: subtrair $x - 3$ é subtrair $x$ e somar $3$ .

2.2 Equações

Definição 2.7 (Equação, solução)

Uma equação é uma igualdade que contém um número desconhecido $x$ ; uma solução é um valor de $x$ que torna a igualdade verdadeira. Resolver a equação é encontrar todas as suas soluções.

Duas equações são equivalentes quando têm exatamente as mesmas soluções. Somar o mesmo número aos dois lados, ou multiplicar os dois lados pelo mesmo número não nulo, produz uma equação equivalente.

Exemplo 2.8 (Equação do primeiro grau)

Resolva $5x - 7 = 2x + 8$ , um movimento de cada vez:

\begin{align*} 5x - 7 &= 2x + 8 \\ 5x - 2x &= 8 + 7 && \text{(some $7 - 2x$ aos dois lados)} \\ 3x &= 15 \\ x &= 5 && \text{(divida os dois lados por $3$).} \end{align*}

A única solução é $5$ . Verificação: $5 \times 5 - 7 = 18$ e $2 \times 5 + 8 = 18$ .

Teorema 2.9 (Regra do produto nulo)

Um produto de números reais é nulo se, e somente se, pelo menos um dos seus fatores é nulo:

A \times B = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad A = 0 \ \text{ ou } \ B = 0 .

Demonstração. Se $A = 0$ ou $B = 0$ , o produto é claramente $0$ . Reciprocamente, suponha $AB = 0$ e $A \neq 0$ . Dividindo os dois lados por $A$ , obtemos $B = 0$ . ∎

Método 2.10 (Resolver fatorando)

Para resolver uma equação cujo lado direito é $0$ e cujo lado esquerdo pode ser fatorado:

passe tudo para a esquerda, de modo que a equação fique $E = 0$ ;
fatore $E$ em um produto de fatores do primeiro grau;
aplique a regra do produto nulo e resolva cada equação pequena;
reúna todas as soluções encontradas.

Exemplo 2.11

Resolva $(x - 2)(3x + 6) = 0$ : ou $x - 2 = 0$ , o que dá $x = 2$ , ou $3x + 6 = 0$ , o que dá $x = -2$ . Soluções: $-2$ e $2$ .

Resolva $x^2 = 9x$ . Não divida por $x$ (ele pode ser nulo!); passe tudo para um lado e fatore:

x^2 - 9x = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x(x - 9) = 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x = 0 \ \text{ ou } \ x = 9 .

Exemplo 2.12 (Equação com quociente)

Resolva $\dfrac{x - 1}{x + 2} = 0$ . Um quociente é nulo exatamente quando o numerador é nulo e o denominador não é. Aqui $x - 1 = 0$ dá $x = 1$ , e $1 + 2 = 3 \neq 0$ : a única solução é $1$ . O valor $x = -2$ é proibido (divisão por zero) e deve sempre ser excluído de saída.

2.3 Inequações e quadros de sinais

Proposição 2.13 (Regras das desigualdades)

Seja $a \leq b$ .

Para qualquer $c$ : $a + c \leq b + c$ (somar preserva a ordem).
Se $c > 0$ : $ac \leq bc$ (multiplicar por um número positivo preserva a ordem).
Se $c < 0$ : $ac \geq bc$ (multiplicar por um número negativo inverte a ordem).

Demonstração. 1. $(b + c) - (a + c) = b - a \geq 0$ . 2. $bc - ac = (b-a)c$ é o produto de dois números não negativos, logo $bc \geq ac$ . 3. Agora $(b-a)c \leq 0$ , por ser o produto de um número não negativo por um número negativo, logo $bc \leq ac$ . ∎

Exemplo 2.14

Resolva $-2x + 3 > 9$ :

\begin{align*} -2x + 3 &> 9 \\ -2x &> 6 && \text{(subtraia 3)} \\ x &< -3 && \text{(divida por $-2 < 0$: inverta a desigualdade).} \end{align*}

O conjunto solução é $\intoo{-\infty}{-3}$ .

Definição 2.15 (Quadro de sinais)

Um quadro de sinais registra, uma linha por fator, o sinal ( $+$ ou $-$ ) de cada fator de uma expressão quando $x$ percorre $\R$ , com um $0$ em cada valor onde o fator se anula; uma linha final dá o sinal do produto, aplicando a regra dos sinais coluna a coluna.

Exemplo 2.16

Sinal de $P(x) = (x - 2)(3 - x)$ . O fator $x - 2$ anula-se em $2$ e é positivo depois; o fator $3 - x$ anula-se em $3$ e é positivo antes:

$x$	$-\infty$	$2$		$3$	$+\infty$
$x - 2$	$-$	$0$	$+$		$+$
$3 - x$	$+$		$+$	$0$	$-$
$P(x)$	$-$	$0$	$+$	$0$	$-$

Assim, $P(x) > 0$ exatamente em $\intoo{2}{3}$ , e $P(x) \leq 0$ em $\intoc{-\infty}{2} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

O gráfico de P(x) = (x-2)(3-x) confirma o quadro de sinais: positivo entre as raízes 2 e 3, negativo fora delas. — O gráfico de $P(x) = (x-2)(3-x)$ confirma o quadro de sinais: positivo entre as raízes $2$ e $3$ , negativo fora delas.

Método 2.17 (Resolver uma inequação com um quadro de sinais)

Para resolver uma inequação como $E(x) \geq 0$ ou $E(x) < 0$ :

passe tudo para o lado esquerdo, de modo que o lado direito seja $0$ (nunca multiplique os dois lados por uma expressão de sinal desconhecido);
fatore o lado esquerdo, ou reduza-o a um denominador comum se for um quociente;
monte o quadro de sinais com uma linha por fator (num quociente, marque os valores proibidos com uma dupla barra na última linha);
leia os intervalos em que o sinal pedido ocorre, verificando se cada extremo está incluído.

Exemplo 2.18

Resolva $\dfrac{x + 1}{x - 3} \leq 0$ . O numerador anula-se em $-1$ e o denominador em $3$ (valor proibido). O quociente é negativo quando os dois têm sinais contrários, o que ocorre para $x$ entre $-1$ e $3$ . Incluindo o extremo em que o numerador se anula e excluindo o valor proibido: o conjunto solução é $\intco{-1}{3}$ .

2.4 Exercícios

Exercício 2.1 ★

Expanda e simplifique:

3(2x - 5) - 2(x - 7), \qquad (x + 4)(2x - 1), \qquad (3x - 2)^2, \qquad (5 - x)(5 + x).

Solução

Solução de Exercício 2.1.

$3(2x-5) - 2(x-7) = 6x - 15 - 2x + 14 = 4x - 1$ .

$(x+4)(2x-1) = 2x^2 - x + 8x - 4 = 2x^2 + 7x - 4$ .

$(3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4$ .

$(5-x)(5+x) = 25 - x^2$ .

Exercício 2.2 ★

Fatore:

x^2 - 49, \qquad x^2 + 10x + 25, \qquad 7x^2 - 14x, \qquad 16x^2 - 8x + 1 .

Solução

Solução de Exercício 2.2.

$x^2 - 49 = (x+7)(x-7)$ (diferença de quadrados).

$x^2 + 10x + 25 = (x+5)^2$ .

$7x^2 - 14x = 7x(x - 2)$ (fator comum).

$16x^2 - 8x + 1 = (4x - 1)^2$ .

Exercício 2.3 ★

Resolva:

4x + 9 = x - 3, \qquad \frac{2x - 1}{3} = 5, \qquad 2(x - 3) = 2x + 1 .

(Uma delas não tem solução — explique por quê.)

Solução

Solução de Exercício 2.3.

$4x + 9 = x - 3$ : $3x = -12$ , logo $x = -4$ .

$\frac{2x-1}{3} = 5$ : $2x - 1 = 15$ , logo $x = 8$ .

$2(x-3) = 2x + 1$ expande para $2x - 6 = 2x + 1$ , isto é, $-6 = 1$ : falso para todo $x$ . Não há solução — os dois lados definem retas paralelas que nunca se encontram.

Exercício 2.4 ★

Resolva usando a regra do produto nulo:

(x + 5)(2x - 8) = 0, \qquad x^2 - 16 = 0, \qquad x^2 + 6x + 9 = 0 .

Solução

Solução de Exercício 2.4.

$(x+5)(2x-8) = 0$ : $x = -5$ ou $x = 4$ .

$x^2 - 16 = (x-4)(x+4) = 0$ : $x = 4$ ou $x = -4$ .

$x^2 + 6x + 9 = (x+3)^2 = 0$ : a única solução $x = -3$ .

Exercício 2.5 ★

Resolva as inequações e escreva os conjuntos solução como intervalos:

3x - 5 \leq 7, \qquad -4x + 1 > 9, \qquad 2(x - 1) \geq 5x + 4 .

Solução

Solução de Exercício 2.5.

$3x - 5 \leq 7$ : $3x \leq 12$ , logo $x \leq 4$ : conjunto solução $\intoc{-\infty}{4}$ .

$-4x + 1 > 9$ : $-4x > 8$ , e dividir por $-4$ inverte a desigualdade: $x < -2$ : conjunto solução $\intoo{-\infty}{-2}$ .

$2(x-1) \geq 5x + 4$ : $2x - 2 \geq 5x + 4$ , logo $-3x \geq 6$ , logo $x \leq -2$ : conjunto solução $\intoc{-\infty}{-2}$ .

Exercício 2.6 ★★

Fatore $E = (x - 1)(x + 3) - (x - 1)(2x - 5)$ e resolva em seguida $E = 0$ .

Solução

Solução de Exercício 2.6.

O fator comum é $(x-1)$ :

E = (x-1)\bigl[(x+3) - (2x - 5)\bigr] = (x-1)(x + 3 - 2x + 5) = (x-1)(8 - x).

Então $E = 0$ quando $x = 1$ ou $x = 8$ (regra do produto nulo).

Exercício 2.7 ★★

Resolva $x^2 = 5x$ e depois $(2x + 1)^2 = (x - 4)^2$ . (Na segunda, passe tudo para a esquerda e fatore a diferença de quadrados.)

Solução

Solução de Exercício 2.7.

$x^2 = 5x$ : $x^2 - 5x = x(x - 5) = 0$ , logo $x = 0$ ou $x = 5$ (nunca divida por $x$ : a solução $0$ se perderia).

$(2x+1)^2 = (x-4)^2$ : passe para a esquerda e fatore a diferença de quadrados:

(2x+1)^2 - (x-4)^2 = \bigl[(2x+1) + (x-4)\bigr]\bigl[(2x+1) - (x-4)\bigr] = (3x - 3)(x + 5).

Regra do produto nulo: $x = 1$ ou $x = -5$ .

Exercício 2.8 ★★

Usando um quadro de sinais, resolva

(x + 2)(4 - x) > 0, \qquad \frac{2x - 6}{x + 1} \geq 0 .

Solução

Solução de Exercício 2.8.

$(x+2)(4-x) > 0$ : o fator $x + 2$ anula-se em $-2$ (positivo depois) e $4 - x$ anula-se em $4$ (positivo antes). O produto é positivo exatamente quando os dois fatores são positivos, isto é, em $\intoo{-2}{4}$ .

$\frac{2x-6}{x+1} \geq 0$ : numerador nulo em $3$ , denominador nulo em $-1$ (proibido). Quadro de sinais: o quociente é positivo quando as duas partes têm o mesmo sinal, isto é, para $x < -1$ ou $x > 3$ ; ele se anula em $x = 3$ . Conjunto solução: $\intoo{-\infty}{-1} \cup \intco{3}{+\infty}$ .

Exercício 2.9 ★★

Um serviço de streaming custa $9$ por mês, mais uma taxa única de adesão de $15$ ; um concorrente custa $12$ por mês, sem taxa. A partir de quantos meses o primeiro serviço passa a ser a escolha mais barata no total? Monte e resolva uma inequação.

Solução

Solução de Exercício 2.9.

Depois de $x$ meses, o primeiro serviço custa $9x + 15$ e o segundo $12x$ . O primeiro sai mais barato quando

9x + 15 < 12x \ \Longleftrightarrow\ 15 < 3x \ \Longleftrightarrow\ x > 5 .

A partir do $6^{\text{o}}$ mês, o primeiro serviço é a escolha mais barata no total.

Exercício 2.10 ★★

Resolva $\dfrac{x+3}{x-1} = 2$ . (Multiplique os dois lados por $x - 1$ depois de excluir o valor proibido, ou passe tudo para a esquerda com denominador comum.)

Solução

Solução de Exercício 2.10.

Valor proibido: $x = 1$ . Para $x \neq 1$ , multiplique os dois lados por $x - 1$ :

x + 3 = 2(x - 1) = 2x - 2 \ \Longleftrightarrow\ x = 5 .

Como $5 \neq 1$ , a solução é $x = 5$ . Verificação: $\frac{5+3}{5-1} = \frac84 = 2$ .

Exercício 2.11 ★★★

Seja $n$ um inteiro. Mostre que $(n + 1)^2 - n^2$ é sempre ímpar e que a diferença entre os quadrados de dois ímpares consecutivos é sempre múltiplo de $8$ .

Solução

Solução de Exercício 2.11.

$(n+1)^2 - n^2 = n^2 + 2n + 1 - n^2 = 2n + 1$ , que é ímpar para todo inteiro $n$ .

Dois ímpares consecutivos podem ser escritos como $2n - 1$ e $2n + 1$ . Então

(2n+1)^2 - (2n-1)^2 = \bigl[(2n+1)+(2n-1)\bigr]\bigl[(2n+1)-(2n-1)\bigr] = 4n \times 2 = 8n,

um múltiplo de $8$ .

2.5 Problema: Da Babilônia à razão áurea

Problema 2.1

Problema de fim de semana — problemas de soma e produto, completar o quadrado como al-Khwarizmi o desenhou, e a equação $x^2 = x + 1$

Há quatro mil anos, escribas babilônios resolviam isto em argila: achar dois números conhecendo sua soma e seu produto. O truque deles — procurar os números simetricamente em torno da metade da soma — ainda hoje resolve toda equação do segundo grau, sob o nome moderno de completar o quadrado. Este problema aprende o truque, vê al-Khwarizmi completar literalmente um quadrado e põe o método a trabalhar na mais célebre de todas as proporções.

Parte I — O problema babilônico.

Aquecimento (Teorema 2.3): fatore $x^2 - 10x + 25$ , depois $9x^2 - 49$ , depois — combinando um produto notável com uma diferença de quadrados — $x^2 + 6x + 9 - 4$ .
Resolva $(x + 1)(x + 5) = 0$ e $(3x - 7)(3x + 7) = 0$ (Teorema 2.9).
O problema do escriba: dois números têm soma $10$ e produto $21$ . Seguindo a Babilônia, escreva-os como $5 - t$ e $5 + t$ (simétricos em torno da metade da soma) e encontre $t$ , depois os dois números.
Mesmo método: soma $14$ , produto $33$ .
A receita geral: para soma $s$ e produto $p$ , mostre que os dois números são

$\frac s2 - t \quad\text{e}\quad \frac s2 + t, \qquad\text{onde}\quad t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p ,$

e enuncie a condição sobre $s$ e $p$ para que o problema tenha solução.

Parte II — Completar o quadrado.

Expanda $(x - a)(x - b)$ e conclua: as soluções de $x^2 - sx + p = 0$ são exatamente os pares de números com soma $s$ e produto $p$ . (Os escribas resolviam equações do segundo grau sem o saber.)
Verifique que $x^2 - 10x + 21 = (x - 5)^2 - 4$ e resolva $x^2 - 10x + 21 = 0$ fatorando o lado direito como uma diferença de quadrados. Compare com a questão 3.
Resolva $x^2 + 6x - 7 = 0$ completando o quadrado.
Complete o quadrado em $x^2 + 4x + 5$ e explique por que a equação $x^2 + 4x + 5 = 0$ não tem solução real. Enuncie o critério geral: uma vez escrita na forma $(x + h)^2 + k$ , quando uma expressão do segundo grau se anula?
O nome é literal. Na Bagdá do século IX, al-Khwarizmi desenhou $x^2 + 6x = 7$ como um quadrado de lado $x$ com dois retângulos $3 \times x$ colados a dois de seus lados e completou o quadrado com o canto $3 \times 3$ que faltava. Faça a figura e explique como ela transforma a equação em $(x + 3)^2 = 16$ — e resolva.

Parte III — Sinais, quadros e duas promessas antigas.

Monte o quadro de sinais de $(x - 3)(x + 2)$ (Definição 2.15) e resolva $(x - 3)(x + 2) < 0$ .
Resolva $x^2 \leq 10x - 21$ (passe tudo para um lado e reaproveite a questão 7).
Resolva $\dfrac{x - 1}{x + 2} \geq 0$ com um quadro de sinais, atento ao valor proibido.
Uma promessa antiga cumprida: para o fazendeiro do problema de fim de semana sobre a cerca da rainha Dido, no volume do ensino fundamental, com $20$ m de cerca, a área de um curral $x \times (10 - x)$ satisfaz

$A(x) = x(10 - x) = 25 - (x - 5)^2 .$

Verifique a identidade e leia nela uma demonstração do que o ano 6 só podia conjecturar: a área máxima e o único $x$ que a atinge.
Outra: prove que $x + \dfrac1x \geq 2$ para todo $x > 0$ , com igualdade só em $x = 1$ . (Multiplique por $x$ , agrupe, reconheça um quadrado — a desigualdade entre as médias aritmética e geométrica do problema de fim de semana sobre as relações de Euclides, no volume do ensino fundamental, com nova roupagem.)

Parte IV — A seção áurea. Divida um segmento de comprimento $1$ em uma parte grande $x$ e uma parte pequena $1 - x$ de modo que o todo esteja para a parte grande assim como a grande está para a pequena: $\frac{1}{x} = \frac{x}{1 - x}$ .

Mostre que a condição se escreve $x^2 + x - 1 = 0$ .
Resolva completando o quadrado e fique com a raiz que é um comprimento: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .
A razão áurea é $\varphi = \frac1x = \frac{2}{\sqrt5 - 1}$ . Racionalize o denominador (multiplique numerador e denominador por $\sqrt5 + 1$ , um produto notável em ação) e mostre que $\varphi = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .
Verifique exatamente as duas identidades mágicas de $\varphi$ :

$\varphi^2 = \varphi + 1, \qquad \frac{1}{\varphi} = \varphi - 1 .$
Final: explique por que $\varphi$ é irracional (o problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental fornece o fato-chave sobre $\sqrt5$ ) e calcule com três casas decimais as razões $\frac53$ , $\frac85$ , $\frac{13}{8}$ , $\frac{21}{13}$ de números de Hemachandra–Fibonacci consecutivos (o problema de fim de semana sobre contagem de ritmos, no mesmo volume). O que elas parecem perseguir? (A demonstração de que alcançam o alvo pertence aos capítulos sobre sequências.)

Solução

Solução de Problema 2.1.

1. $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ ; $9x^2 - 49 = (3x - 7)(3x + 7)$ ; $x^2 + 6x + 9 - 4 = (x + 3)^2 - 2^2 = (x + 1)(x + 5)$ .

2. $x = -1$ ou $x = -5$ ; $x = \frac73$ ou $x = -\frac73$ .

3. $(5 - t)(5 + t) = 25 - t^2 = 21$ dá $t^2 = 4$ , $t = 2$ : os números são $3$ e $7$ (soma $10$ , produto $21$ : confere).

4. $(7 - t)(7 + t) = 49 - t^2 = 33$ : $t = 4$ , números $3$ e $11$ .

5. $\left(\frac s2 - t\right)\left(\frac s2 + t\right) = \left(\frac s2\right)^2 - t^2 = p$ obriga $t^2 = \left(\frac s2\right)^2 - p$ . Existe solução exatamente quando isso é $\geq 0$ , isto é, quando $p \leq \left(\frac s2\right)^2$ — o produto de dois números de soma dada nunca supera o quadrado da metade da soma (como já sabia o problema de fim de semana sobre a cerca da rainha Dido, no volume do ensino fundamental).

6. $(x - a)(x - b) = x^2 - (a + b)x + ab$ : a equação $x^2 - sx + p = 0$ diz exatamente “ $x$ é um de dois números de soma $s$ e produto $p$ ”.

7. $(x-5)^2 - 4 = x^2 - 10x + 25 - 4 = x^2 - 10x + 21$ . Diferença de quadrados: $(x - 5 - 2)(x - 5 + 2) = (x - 7)(x - 3) = 0$ : soluções $3$ e $7$ — os números do escriba da questão 3.

8. $x^2 + 6x - 7 = (x + 3)^2 - 16 = 0$ dá $(x + 3)^2 = 16$ , $x + 3 = \pm 4$ : $x = 1$ ou $x = -7$ .

9. $x^2 + 4x + 5 = (x + 2)^2 + 1 \geq 1 > 0$ para todo $x$ : nenhuma solução real. Na forma $(x + h)^2 + k$ : há soluções exatamente quando $k \leq 0$ (então $(x+h)^2 = -k$ tem as duas raízes $-h \pm \sqrt{-k}$ ); quando $k > 0$ a expressão permanece positiva.

10. O quadrado de lado $x$ (área $x^2$ ) com dois retângulos $3 \times x$ (ao todo $6x$ ) forma um L de área $x^2 + 6x = 7$ ; o canto $3 \times 3$ que falta (área $9$ ) completa um quadrado grande de lado $x + 3$ . Somando $9$ aos dois lados: $(x + 3)^2 = 16$ , logo $x + 3 = 4$ (comprimentos são positivos) e $x = 1$ . A álgebra e o desenho são o mesmo gesto.

11. $(x-3)(x+2)$ : negativo entre as raízes. Solução de $< 0$ : $x \in \intoo{-2}{3}$ .

12. $x^2 - 10x + 21 \leq 0$ , isto é, $(x - 3)(x - 7) \leq 0$ : entre as raízes, extremos incluídos: $x \in \intcc{3}{7}$ .

13. Zero em $x = 1$ , proibido em $x = -2$ ; o quociente é positivo fora das raízes: $x \in \intoo{-\infty}{-2} \cup \intco{1}{+\infty}$ .

14. $25 - (x - 5)^2 = 25 - x^2 + 10x - 25 = x(10 - x)$ : identidade verificada. Como $(x-5)^2 \geq 0$ sempre, $A(x) \leq 25$ , com igualdade exatamente em $x = 5$ : o curral quadrado $5 \times 5$ , máximo de $25$ m $^2$ — a tabela do ano 6, agora uma demonstração de duas linhas.

15. Para $x > 0$ , multiplique a afirmação por $x$ : $x^2 + 1 \geq 2x$ , isto é, $x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 \geq 0$ — verdadeiro, com igualdade só em $x = 1$ . Dividir de volta por $x > 0$ preserva tudo (Proposição 2.13).

16. Multiplicando em cruz $\frac1x = \frac{x}{1 - x}$ (todos os comprimentos positivos): $x^2 = 1 - x$ , isto é, $x^2 + x - 1 = 0$ .

17. $x^2 + x - 1 = \left(x + \frac12\right)^2 - \frac54 = 0$ dá $x + \frac12 = \pm\frac{\sqrt5}{2}$ . A raiz positiva: $x = \frac{\sqrt5 - 1}{2} \approx 0.618$ .

18. $\varphi = \frac{2}{\sqrt5 - 1} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{(\sqrt5 - 1)(\sqrt5 + 1)} = \frac{2(\sqrt5 + 1)}{5 - 1} = \frac{\sqrt5 + 1}{2} \approx 1.618$ .

19. $\varphi^2 = \frac{(\sqrt5 + 1)^2}{4} = \frac{6 + 2\sqrt5}{4} = \frac{3 + \sqrt5}{2}$ , e $\varphi + 1 = \frac{\sqrt5 + 3}{2}$ : iguais. E $\varphi - 1 = \frac{\sqrt5 - 1}{2} = x = \frac1\varphi$ (foi assim que $\varphi$ se definiu). A razão áurea é o número cujo quadrado soma um e cujo inverso subtrai um.

20. $\sqrt5$ é irracional (o problema de fim de semana sobre irracionalidade do volume do ensino fundamental: $5$ não é quadrado perfeito), e somar $1$ e depois dividir por dois preserva a irracionalidade (operações racionais, Problema 1.1). Razões: $\frac53 \approx 1.667$ , $\frac85 = 1.600$ , $\frac{13}{8} = 1.625$ , $\frac{21}{13} \approx 1.615$ : alternadamente acima e abaixo, fechando-se sobre $\varphi = 1.618\ldots$ — os números de contagem de ritmos do problema de fim de semana correspondente, no volume do ensino fundamental, perseguem em segredo a seção áurea; os capítulos sobre sequências vão pegá-los em flagrante.

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