Qu'est-ce que « Développement, factorisation » ? — Mathématiques

Définition 2.1 Mathématiques du lycée · Chapitre 2 — Algèbre : équations et inéquations

Développer une expression, c’est transformer des produits en sommes ; factoriser, c’est l’opération inverse, transformer une somme en un produit. La règle de base est la distributivité :

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

Exemples

Exemple 2.2

Développer $(2x + 3)(x - 5)$ étape par étape :

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

Exemple 2.4

Utilisées dans le sens direct (développer) et inverse (factoriser) :

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

Le calcul mental en profite aussi : $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

Exemple 2.6

Factoriser $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ . C’est une différence de deux carrés $a^2 - b^2$ avec $a = 2x+1$ et $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

Attention à la seconde parenthèse : soustraire $x - 3$ , c’est soustraire $x$ et ajouter $3$ .

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