ما معنى النشر والتحليل إلى عوامل؟ — الرياضيات

تعريف 2.1 رياضيات المرحلة الثانوية · الفصل 2 — الجبر: المعادلات والمتراجحات

نشرُ عبارةٍ هو تحويل الجداءات إلى مجاميع؛ وتحليلُها إلى عوامل هو العكس، أي تحويل المجموع إلى جداء. والقاعدة الأساسية هي التوزيعية:

k(a + b) = ka + kb, \qquad (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd .

أمثلة

مثال 2.2

انشر $(2x + 3)(x - 5)$ خطوة خطوة:

\begin{align*} (2x + 3)(x - 5) &= 2x \times x + 2x \times (-5) + 3 \times x + 3 \times (-5) \\ &= 2x^2 - 10x + 3x - 15 \\ &= 2x^2 - 7x - 15 . \end{align*}

مثال 2.4

مستعملة طردًا (نشرًا) وعكسًا (تحليلًا إلى عوامل):

\begin{align*} (3x + 2)^2 &= 9x^2 + 12x + 4, & x^2 - 25 &= (x+5)(x-5), \\ (x - 4)^2 &= x^2 - 8x + 16, & 4x^2 + 4x + 1 &= (2x + 1)^2 . \end{align*}

والحساب الذهني يستفيد منها أيضًا: $101 \times 99 = (100+1)(100-1) = 10000 - 1 = 9999$ .

مثال 2.6

حلّل $E = (2x + 1)^2 - (x - 3)^2$ إلى عوامل. إنه فرق مربعين $a^2 - b^2$ حيث $a = 2x+1$ و $b = x-3$ :

\begin{align*} E &= \bigl[(2x+1) + (x-3)\bigr] \times \bigl[(2x+1) - (x-3)\bigr] \\ &= (3x - 2)(2x + 1 - x + 3) \\ &= (3x - 2)(x + 4). \end{align*}

انتبه إلى القوس الثاني: طرح $x - 3$ يعني طرح $x$ وإضافة $3$ .