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Matemática · Glossário

O que é grupo simples?

Definição 1.31 Matemática universitária — Graduação 3 · Capítulo 1 — Teoria dos grupos

Um grupo G≠{e}G \neq \{e\} é simples se seus únicos subgrupos normais são {e}\{e\} e GG. Um grupo simples não abeliano não é solúvel: D(G)⊴GD(G) \trianglelefteq G não é {e}\{e\} (do contrário GG seria abeliano), logo D(G)=GD(G) = G e a série derivada é constante. Os grupos simples abelianos são exatamente os Z/pZ\Z/p\Z, com pp primo (um grupo abeliano é simples se, e somente se, não tem subgrupo próprio não trivial, se, e somente se, é cíclico de ordem prima, por Lagrange).

Os dez subgrupos do grupo diedral D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. Os três subgrupos de índice 2 (linha do meio) são normais, assim como o centro r2 (destacado); os quatro subgrupos de reflexão repartem-se em duas classes de conjugação de dois elementos. As cadeias de baixo para cima dão séries de composição, por exemplo \e\ r2 r D_4: fatores ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — sempre o mesmo multiconjunto, como exige Jordan–Hölder.
Os dez subgrupos do grupo diedral D4=⟨r,s∣r4=s2=e, srs−1=r−1⟩D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle. Os três subgrupos de índice 22 (linha do meio) são normais, assim como o centro ⟨r2⟩\langle r^2\rangle (destacado); os quatro subgrupos de reflexão repartem-se em duas classes de conjugação de dois elementos. As cadeias de baixo para cima dão séries de composição, por exemplo {e}⊴⟨r2⟩⊴⟨r⟩⊴D4\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4: fatores Z/2Z,Z/2Z,Z/2Z\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z — sempre o mesmo multiconjunto, como exige Jordan–Hölder.
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