حول GitHub المدرب تسجيل الدخول ابدأ القراءة

الرياضيات · المسرد

ما معنى زمرة بسيطة؟

تعريف 1.31 الرياضيات الجامعية — السنة 3 · الفصل 1 — نظرية الزمر

تكون الزمرة G≠{e}G \neq \{e\} بسيطة إذا لم تكن لها زمر جزئية ناظمية سوى {e}\{e\} و GG. والزمرة البسيطة غير الأبيلية ليست قابلة للحل: إذ إن D(G)⊴GD(G) \trianglelefteq G ليست {e}\{e\} (وإلا كانت GG أبيلية)، ومنه D(G)=GD(G) = G وتكون السلسلة المشتقة ثابتة. أما الزمر البسيطة الأبيلية فهي بالضبط الزمر Z/pZ\Z/p\Z حيث pp أولي (فالزمرة الأبيلية بسيطة إذا وفقط إذا لم تكن لها زمرة جزئية فعلية غير تافهة، أي إذا وفقط إذا كانت دائرية ذات رتبة أولية حسب لاغرانج).

الزمر الجزئية العشر للزمرة ثنائية السطوح D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. والزمر الجزئية الثلاث ذات الدليل 2 (في الصف الأوسط) ناظمية، وكذلك المركز r2 (المميَّز بالتظليل)؛ أما زمر الانعكاسات الأربع فتنقسم إلى صنفَي اقتران من زمرتين. وتعطي السلاسل الممتدة من الأسفل إلى الأعلى سلاسل تركيبية، مثل \e\ r2 r D_4: وعواملها ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — وهي دائمًا المجموعة المتعدّدة نفسها، كما تقتضي مبرهنة جوردان–هولدر.
الزمر الجزئية العشر للزمرة ثنائية السطوح D4=⟨r,s∣r4=s2=e, srs−1=r−1⟩D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle. والزمر الجزئية الثلاث ذات الدليل 22 (في الصف الأوسط) ناظمية، وكذلك المركز ⟨r2⟩\langle r^2\rangle (المميَّز بالتظليل)؛ أما زمر الانعكاسات الأربع فتنقسم إلى صنفَي اقتران من زمرتين. وتعطي السلاسل الممتدة من الأسفل إلى الأعلى سلاسل تركيبية، مثل {e}⊴⟨r2⟩⊴⟨r⟩⊴D4\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4: وعواملها Z/2Z,Z/2Z,Z/2Z\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z — وهي دائمًا المجموعة المتعدّدة نفسها، كما تقتضي مبرهنة جوردان–هولدر.
اقرأ في الفصل ←

مصطلحات ذات صلة