सरल समूह क्या है? — गणित

परिभाषा 1.31 विश्वविद्यालय गणित — स्नातक वर्ष 3 · अध्याय 1 — समूह सिद्धांत

कोई समूह $G \neq \{e\}$ सरल कहलाता है यदि उसके एकमात्र प्रसामान्य उपसमूह $\{e\}$ और $G$ हों। अनाबेली सरल समूह विलेय नहीं होता: $D(G) \trianglelefteq G$ $\{e\}$ नहीं है (अन्यथा $G$ आबेली होता), अतः $D(G) = G$ और व्युत्पन्न श्रेणी अचर रहती है। आबेली सरल समूह ठीक $\Z/p\Z$ हैं, जहाँ $p$ अभाज्य है (कोई आबेली समूह सरल है तभी और केवल तभी जब उसका कोई उचित अतुच्छ उपसमूह न हो, अर्थात् लाग्राँज से वह अभाज्य क्रम का चक्रीय समूह हो)।

द्विफलकी समूह D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1 के दस उपसमूह। सूचकांक 2 वाले तीन उपसमूह (बीच की पंक्ति) प्रसामान्य हैं, और केंद्र r2 (उभारा हुआ) भी। चार परावर्तन उपसमूह दो-दो के दो संयुग्मन वर्गों में बँटते हैं। नीचे से ऊपर तक की शृंखलाएँ संघटन श्रेणियाँ देती हैं, उदाहरणार्थ \e\ r2 r D_4: गुणनखंड ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — सदा वही बहुसमुच्चय, जैसा जॉर्डन–होल्डर माँगती है। — द्विफलकी समूह $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ के दस उपसमूह। सूचकांक $2$ वाले तीन उपसमूह (बीच की पंक्ति) प्रसामान्य हैं, और केंद्र $\langle r^2\rangle$ (उभारा हुआ) भी। चार परावर्तन उपसमूह दो-दो के दो संयुग्मन वर्गों में बँटते हैं। नीचे से ऊपर तक की शृंखलाएँ संघटन श्रेणियाँ देती हैं, उदाहरणार्थ $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$ : गुणनखंड $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — सदा वही बहुसमुच्चय, जैसा जॉर्डन–होल्डर माँगती है।

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