Wat is enkelvoudige groep? — Wiskunde

Definitie 1.31 Universitaire wiskunde — Bachelor jaar 3 · Hoofdstuk 1 — Groepentheorie

Een groep $G \neq \{e\}$ heet enkelvoudig als haar enige normaaldelers $\{e\}$ en $G$ zijn. Een niet-abelse enkelvoudige groep is niet oplosbaar: $D(G) \trianglelefteq G$ is niet $\{e\}$ (anders was $G$ abels), dus $D(G) = G$ en is de afgeleide reeks constant. De abelse enkelvoudige groepen zijn precies de $\Z/p\Z$ met $p$ priem (een abelse groep is enkelvoudig dan en slechts dan als ze geen echte niet-triviale deelgroep heeft, dan en slechts dan als ze cyclisch van priemorde is, volgens Lagrange).

De tien deelgroepen van de diëdergroep D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. De drie deelgroepen van index 2 (middelste rij) zijn normaal, net als het centrum r2 (gemarkeerd); de vier spiegelingsdeelgroepen vallen uiteen in twee conjugatieklassen van twee. Ketens van onder naar boven geven compositiereeksen, bijvoorbeeld \e\ r2 r D_4: factoren ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — steeds dezelfde multiverzameling, zoals Jordan–Hölder eist. — De tien deelgroepen van de diëdergroep $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ . De drie deelgroepen van index $2$ (middelste rij) zijn normaal, net als het centrum $\langle r^2\rangle$ (gemarkeerd); de vier spiegelingsdeelgroepen vallen uiteen in twee conjugatieklassen van twee. Ketens van onder naar boven geven compositiereeksen, bijvoorbeeld $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$ : factoren $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — steeds dezelfde multiverzameling, zoals Jordan–Hölder eist.

Lees in het hoofdstuk →

Verwante begrippen