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Matemáticas · Glosario

¿Qué es grupo simple?

Definición 1.31 Matemáticas universitarias — Grado 3 · Capítulo 1 — Teoría de grupos

Un grupo $G \neq \{e\}$ es simple si sus únicos subgrupos normales son $\{e\}$ y $G$ . Un grupo simple no abeliano no es resoluble: $D(G) \trianglelefteq G$ no es $\{e\}$ (si lo fuera, $G$ sería abeliano), luego $D(G) = G$ y la serie derivada es constante. Los grupos simples abelianos son exactamente los $\Z/p\Z$ con $p$ primo (un grupo abeliano es simple si y solo si no tiene ningún subgrupo propio no trivial, si y solo si es cíclico de orden primo, por Lagrange).

Los diez subgrupos del grupo diédrico D_4 = r, s r4 = s2 = e,\ srs-1 = r-1. Los tres subgrupos de índice 2 (fila central) son normales, al igual que el centro r2 (resaltado); los cuatro subgrupos de reflexión se reparten en dos clases de conjugación de dos elementos. Las cadenas de abajo arriba dan series de composición, por ejemplo \e\ r2 r D_4: factores ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ, ℤ/2ℤ — siempre el mismo multiconjunto, como exige Jordan–Hölder. — Los diez subgrupos del grupo diédrico $D_4 = \langle r, s \mid r^4 = s^2 = e,\ srs^{-1} = r^{-1}\rangle$ . Los tres subgrupos de índice $2$ (fila central) son normales, al igual que el centro $\langle r^2\rangle$ (resaltado); los cuatro subgrupos de reflexión se reparten en dos clases de conjugación de dos elementos. Las cadenas de abajo arriba dan series de composición, por ejemplo $\{e\} \trianglelefteq \langle r^2\rangle \trianglelefteq \langle r\rangle \trianglelefteq D_4$ : factores $\Z/2\Z, \Z/2\Z, \Z/2\Z$ — siempre el mismo multiconjunto, como exige Jordan–Hölder.

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