O que é Interior, fecho, fronteira?

Exemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Para $\Q$: pela densidade (Teorema 10.14), todo real é aderente a $\Q$, de modo que $\overline{\Q} = \R$, ao passo que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo intervalo contém irracionais): a fronteira de $\Q$ é todo o $\R$.

Exemplo 12.13 (Uma anatomia completa)

Seja $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. Calculamos os três conjuntos da Definição 12.10, peça por peça.

Interior. Um ponto de $\intoo{0}{1}$ tem um intervalo inteiro dentro de $A$: é interior. O ponto $1$: todo intervalo em torno dele vaza à direita de $1$, onde $A$ nada tem até $2$: não é interior. Nenhum ponto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ é interior (todo intervalo contém irracionais, Teorema 10.14); nem o ponto isolado $4$. Logo, $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

Fecho. Limites de pontos de $A$: todo $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$, com $\frac 1n \in A$); todo $\intcc{2}{3}$ (todo real ali é limite de racionais do intervalo, densidade de novo); e $4$. Nada mais: um ponto fora de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ tem distância positiva a esse conjunto fechado. Logo, $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Fronteira. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

A ideia de fechamento: as três operações agem localmente — cada peça de $A$ contribui conforme a sua própria natureza (um intervalo maciço guarda o seu interior, uma peça densa mas porosa se transforma inteiramente em fronteira, e um ponto isolado é pura fronteira) — e um desenho de duas linhas de $A$ prevê todas as respostas antes de escrita qualquer demonstração.

Exemplo 12.15 (Um fecho calculado exatamente)

Seja $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (do Exemplo 12.7). Afirmação:

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ e $0 = \lim_n \frac2n$: aderentes, pela caracterização sequencial. ($\subseteq$) Seja $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; ordene cada par de modo que $m_k \leq n_k$. Se $(m_k)$ é ilimitada, uma subsequência tem $m_k \to \infty$, donde $n_k \to \infty$ também, e $x = 0$. Caso contrário, $(m_k)$ assume finitos valores, um deles, digamos $m$, infinitas vezes; ao longo dessa subsequência, $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: se $(n_k)$ é limitada, ela assume algum valor $n$ infinitas vezes e $x = \frac1m + \frac1n \in G$; se não, $x = \frac1m$. Todos os casos caem no conjunto anunciado. A ideia de fechamento: calcular um fecho é uma análise de casos ao estilo da compacidade sobre os índices — índice limitado significa finitos valores (casa dos pombos), índice ilimitado significa um limite que escapa — e a resposta exibe a típica estrutura em duas camadas dos pontos-limite: o conjunto, os seus limites de primeira geração e o limite deles, $0$.