Wat is Inwendige, afsluiting, rand?

Voorbeeld 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Voor $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ is $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$ en $\partial A = A \cup \{0\}$. Voor $\Q$: wegens de dichtheid (Stelling 10.14) is elk reëel getal adherent aan $\Q$, dus $\overline{\Q} = \R$, terwijl $\mathring{\Q} = \emptyset$ (elk interval bevat irrationale getallen): de rand van $\Q$ is heel $\R$.

Voorbeeld 12.13 (Een volledige anatomie)

Zij $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. We berekenen de drie verzamelingen van Definitie 12.10, stuk voor stuk.

Inwendige. Een punt van $\intoo{0}{1}$ heeft een heel interval binnen $A$: inwendig. Het punt $1$: elk interval eromheen lekt rechts van $1$, waar $A$ niets heeft tot $2$: niet inwendig. Geen enkel punt van $\Q \cap \intoo{2}{3}$ is inwendig (elk interval bevat irrationale getallen, Stelling 10.14); en het geïsoleerde punt $4$ evenmin. Dus is $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

Afsluiting. Limieten van punten van $A$: heel $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ met $\frac 1n \in A$); heel $\intcc{2}{3}$ (elk reëel getal daar is een limiet van rationale getallen uit het interval, opnieuw de dichtheid); en $4$. Meer niet: een punt buiten $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ heeft positieve afstand tot die gesloten verzameling. Dus is $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Rand. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Het inzicht tot slot: de drie bewerkingen werken lokaal — elk stuk van $A$ draagt bij naar zijn eigen aard (een massief interval behoudt zijn binnenkant, een dicht-maar-poreus stuk wordt volledig rand, een geïsoleerd punt is zuivere rand) — en een tekening van $A$ van twee regels voorspelt elk antwoord voordat er ook maar één bewijs geschreven is.

Voorbeeld 12.15 (Een exact berekende afsluiting)

Zij $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (uit Voorbeeld 12.7). Bewering:

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ en $0 = \lim_n \frac2n$: adherent wegens de karakterisering met rijen. ($\subseteq$) Zij $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; orden elk paar zó dat $m_k \leq n_k$. Is $(m_k)$ onbegrensd, dan heeft een deelrij $m_k \to \infty$, dus ook $n_k \to \infty$ en $x = 0$. Anders neemt $(m_k)$ eindig veel waarden aan, waarvan er één, zeg $m$, oneindig vaak voorkomt; langs die deelrij gaat $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: is $(n_k)$ begrensd, dan neemt ze een zekere waarde $n$ oneindig vaak aan en is $x = \frac1m + \frac1n \in G$; zo niet, dan is $x = \frac1m$. Elk geval landt in de aangekondigde verzameling. Het inzicht tot slot: een afsluiting berekenen is een gevalsonderzoek op de indices in compactheidsstijl — een begrensde index betekent eindig veel waarden (duivenhok), een onbegrensde index betekent een ontsnappende limiet — en het antwoord vertoont de typische structuur van limietpunten in twee lagen: de verzameling, haar limieten van de eerste generatie, en hun limiet $0$.