Qu'est-ce que « Intérieur, adhérence, frontière » ?

Exemple 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$ ; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$ ; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Pour $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$ : $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Pour $\Q$ : par densité (Théorème 10.14) tout réel est adhérent à $\Q$, donc $\overline{\Q} = \R$ tandis que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (tout intervalle contient des irrationnels) : la frontière de $\Q$ est $\R$ tout entier.

Exemple 12.13 (Une anatomie complète)

Soit $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. Calculons les trois ensembles de la Définition 12.10, morceau par morceau.

Intérieur. Un point de $\intoo{0}{1}$ possède tout un intervalle contenu dans $A$ : il est intérieur. Le point $1$ : tout intervalle autour de lui déborde à droite de $1$, où $A$ ne contient rien jusqu’à $2$ : il n’est pas intérieur. Aucun point de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ n’est intérieur (tout intervalle contient des irrationnels, Théorème 10.14) ; le point isolé $4$ non plus. Donc $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

Adhérence. Les limites de points de $A$ : tout $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ avec $\frac 1n \in A$) ; tout $\intcc{2}{3}$ (tout réel de cet intervalle est limite de rationnels de l’intervalle, densité encore) ; et $4$. Rien d’autre : un point hors de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ est à distance strictement positive de ce fermé. Donc $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Frontière. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

L’idée à retenir : les trois opérations agissent localement — chaque morceau de $A$ contribue selon sa nature propre (un intervalle plein garde son intérieur, un morceau dense mais poreux se transforme entièrement en frontière, un point isolé est frontière pure), et un croquis de $A$ en deux traits prédit toutes les réponses avant qu’aucune démonstration ne soit écrite.

Exemple 12.15 (Une adhérence calculée exactement)

Soit $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (venu de l’Exemple 12.7). Affirmation :

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ et $0 = \lim_n \frac2n$ : adhérents par la caractérisation séquentielle. ($\subseteq$) Soit $x = \lim_k \bigl( \frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$ ; ordonnons chaque couple de sorte que $m_k \leq n_k$. Si $(m_k)$ n’est pas bornée, une suite extraite vérifie $m_k \to \infty$, donc $n_k \to \infty$ aussi et $x = 0$. Sinon $(m_k)$ ne prend qu’un nombre fini de valeurs, dont l’une, disons $m$, une infinité de fois ; le long de cette suite extraite, $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$ : si $(n_k)$ est bornée, elle prend une valeur $n$ une infinité de fois et $x = \frac1m + \frac1n \in G$ ; sinon, $x = \frac1m$. Tous les cas retombent dans l’ensemble annoncé. L’idée à retenir : calculer une adhérence, c’est mener une disjonction de cas sur les indices à la manière de la compacité — un indice borné signifie un nombre fini de valeurs (principe des tiroirs), un indice non borné signifie qu’une limite s’échappe — et la réponse fait apparaître la structure typique à deux étages des points limites : l’ensemble, ses limites de première génération, et leur limite $0$.