¿Qué es Interior, clausura, frontera?

Ejemplo 12.12

$\overline{\intoo{0}{1}} = \intcc{0}{1}$; $\mathring{\intcc{0}{1}} = \intoo{0}{1}$; $\partial\intoo{0}{1} = \{0, 1\}$. Para $A = \{\frac 1n : n \in \N^*\}$: $\overline A = A \cup \{0\}$, $\mathring A = \emptyset$, $\partial A = A \cup \{0\}$. Para $\Q$: por densidad (Teorema 10.14), todo real es adherente a $\Q$, luego $\overline{\Q} = \R$, mientras que $\mathring{\Q} = \emptyset$ (todo intervalo contiene irracionales): la frontera de $\Q$ es todo $\R$.

Ejemplo 12.13 (Una anatomía completa)

Sea $A = \intoc{0}{1} \,\cup\, \bigl(\Q \cap \intoo{2}{3}\bigr) \,\cup\, \{4\}$. Calculemos los tres conjuntos de la Definición 12.10, pieza a pieza.

Interior. Un punto de $\intoo{0}{1}$ tiene todo un intervalo dentro de $A$: es interior. El punto $1$: todo intervalo a su alrededor se escapa a la derecha de $1$, donde $A$ no tiene nada hasta $2$: no es interior. Ningún punto de $\Q \cap \intoo{2}{3}$ es interior (todo intervalo contiene irracionales, Teorema 10.14); tampoco el aislado $4$. Luego $\mathring A = \intoo{0}{1}$.

Clausura. Límites de puntos de $A$: todo $\intcc{0}{1}$ ($0 = \lim \frac1n$ con $\frac 1n \in A$); todo $\intcc{2}{3}$ (todo real de ahí es límite de racionales del intervalo, otra vez la densidad); y $4$. Nada más: un punto fuera de $\intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$ está a distancia positiva de ese cerrado. Luego $\overline A = \intcc{0}{1} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

Frontera. $\partial A = \overline A \setminus \mathring A = \{0, 1\} \cup \intcc{2}{3} \cup \{4\}$.

La idea de cierre: las tres operaciones actúan localmente — cada pieza de $A$ aporta según su propia naturaleza (un intervalo macizo conserva su interior, una pieza densa pero porosa se convierte enteramente en frontera, un punto aislado es pura frontera) — y un dibujo de $A$ de dos líneas predice todas las respuestas antes de escribir demostración alguna.

Ejemplo 12.15 (Una clausura calculada exactamente)

Sea $G = \bigl\{\frac1m + \frac1n : m, n \in \N^*\bigr\}$ (del Ejemplo 12.7). Afirmación:

($\supseteq$) $\frac1m = \lim_n \bigl(\frac1m + \frac1n\bigr)$ y $0 = \lim_n \frac2n$: adherentes por la caracterización secuencial. ($\subseteq$) Sea $x = \lim_k \bigl(\frac{1}{m_k} + \frac{1}{n_k}\bigr)$; ordénese cada par de modo que $m_k \leq n_k$. Si $(m_k)$ no está acotada, una subsucesión tiene $m_k \to \infty$, luego también $n_k \to \infty$ y $x = 0$. En caso contrario, $(m_k)$ toma finitos valores, uno de ellos, digamos $m$, infinitas veces; a lo largo de esa subsucesión, $\frac{1}{n_k} \to x - \frac1m$: si $(n_k)$ está acotada, toma algún valor $n$ infinitas veces y $x = \frac1m + \frac1n \in G$; y si no, $x = \frac1m$. Todos los casos caen en el conjunto anunciado. La idea de cierre: calcular una clausura es un análisis por casos al estilo de la compacidad sobre los índices — índice acotado significa finitos valores (palomar), índice no acotado significa que un límite se escapa — y la respuesta exhibe la típica estructura en dos capas de los puntos límite: el conjunto, sus límites de primera generación y el límite de estos, $0$.