O que é Limite no infinito?

Seja $f$ definida em um intervalo $\intco{a}{+\infty}$ e seja $\ell \in \R$. Dizemos que $f$ tende a $\ell$ em $+\infty$, o que se escreve $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, se todo intervalo aberto que contém $\ell$ contém todos os valores $f(x)$ para $x$ suficientemente grande: para todo $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que, para todo $x \geq A$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Dizemos que $f$ tende a $+\infty$ em $+\infty$ se, para todo $M \in \R$, existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todo $x \geq A$. Os limites em $-\infty$ e os limites iguais a $-\infty$ definem-se de modo análogo.