¿Qué es Límite en el infinito?

Sea $f$ definida en un intervalo $\intco{a}{+\infty}$ y sea $\ell \in \R$. Decimos que $f$ tiende a $\ell$ en $+\infty$, y escribimos $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$, si todo intervalo abierto que contiene a $\ell$ contiene todos los valores $f(x)$ para $x$ suficientemente grande: para todo $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que, para todo $x \geq A$, $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

Decimos que $f$ tiende a $+\infty$ en $+\infty$ si para todo $M \in \R$ existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todo $x \geq A$. Los límites en $-\infty$ y los límites iguales a $-\infty$ se definen de forma análoga.