Matemática do ensino médio · Grades 10–12

21Limites e continuidade

Este capítulo estende a noção de limite das sequências para as funções de uma variável real e apresenta a continuidade. O resultado central é o teorema do valor intermediário, que transforma informação qualitativa (“ $f$ é contínua e muda de sinal”) na existência de soluções de equações.

21.1 Limites de funções

Ao longo do capítulo, $f$ é uma função definida em um intervalo ou em uma união de intervalos $D \subseteq \R$ .

Definição 21.1 (Limite no infinito)

Seja $f$ definida em um intervalo $\intco{a}{+\infty}$ e seja $\ell \in \R$ . Dizemos que $f$ tende a $\ell$ em $+\infty$ , o que se escreve $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ , se todo intervalo aberto que contém $\ell$ contém todos os valores $f(x)$ para $x$ suficientemente grande: para todo $\varepsilon > 0$ existe $A$ tal que, para todo $x \geq A$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Dizemos que $f$ tende a $+\infty$ em $+\infty$ se, para todo $M \in \R$ , existe $A$ tal que $f(x) \geq M$ para todo $x \geq A$ . Os limites em $-\infty$ e os limites iguais a $-\infty$ definem-se de modo análogo.

Definição 21.2 (Limite em um ponto)

Seja $a \in \R$ e seja $f$ definida perto de $a$ (exceto, talvez, em $a$ ). Dizemos que $f$ tende a $\ell \in \R$ em $a$ , o que se escreve $\lim\limits_{x \to a} f(x) = \ell$ , se, para todo $\varepsilon > 0$ , existe $\delta > 0$ tal que, para todo $x \in D$ com $\abs{x - a} \leq \delta$ , $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$ .

Dizemos que $f$ tende a $+\infty$ em $a$ se, para todo $M$ , existe $\delta > 0$ tal que $f(x) \geq M$ sempre que $x \in D$ e $\abs{x - a} \leq \delta$ . Os limites laterais ( $x \to a^+$ , $x \to a^-$ ) restringem $x$ a $x > a$ ou $x < a$ .

Exemplo 21.3

$\lim\limits_{x\to+\infty} \frac{1}{x} = 0$ , $\lim\limits_{x\to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty$ , $\lim\limits_{x\to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty$ . A função $x \mapsto \frac1x$ não tem limite (bilateral) em $0$ .

Definição 21.4 (Assíntotas)

A reta $y = \ell$ é uma assíntota horizontal da curva de $f$ em $+\infty$ (resp. $-\infty$ ) se $\lim_{x\to+\infty} f(x) = \ell$ (resp. em $-\infty$ ). A reta $x = a$ é uma assíntota vertical se $f$ tem um limite lateral infinito em $a$ .

A curva de f(x) = 2 + 1/x-1 com sua assíntota horizontal y = 2 (em ±∈fty) e sua assíntota vertical x = 1. — A curva de $f(x) = 2 + \frac{1}{x-1}$ com sua assíntota horizontal $y = 2$ (em $\pm\infty$ ) e sua assíntota vertical $x = 1$ .

Proposição 21.5 (Operações com limites)

As regras da Proposição 20.14 (somas, produtos, quocientes) valem literalmente para limites de funções, em um ponto ou no infinito, com as mesmas quatro formas indeterminadas $(+\infty)+(-\infty)$ , $0\times\infty$ , $\frac{\infty}{\infty}$ , $\frac{0}{0}$ .

Demonstração. As demonstrações são idênticas às do caso das sequências, trocando “para $n \geq N$ ” por “para $x \geq A$ ” ou “para $\abs{x-a} \leq \delta$ ”. ∎

Teorema 21.6 (Limite de uma composta)

Sejam $f, g$ funções e $a, b, c$ números reais ou $\pm\infty$ . Se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = b$ e $\lim\limits_{y \to b} g(y) = c$ , então

\lim_{x \to a} g\bigl(f(x)\bigr) = c .

O mesmo enunciado vale com uma sequência no lugar de $f$ : se $u_n \to b$ e $\lim_{y\to b} g(y) = c$ , então $g(u_n) \to c$ .

Demonstração. Tome $b, c$ finitos (os demais casos são análogos). Seja $\varepsilon > 0$ . Existe $\delta > 0$ tal que $\abs{y - b} \leq \delta$ implica $\abs{g(y) - c} \leq \varepsilon$ ; e existe $\delta' > 0$ tal que $\abs{x - a} \leq \delta'$ implica $\abs{f(x) - b} \leq \delta$ . Encadear os dois dá $\abs{g(f(x)) - c} \leq \varepsilon$ para $\abs{x - a} \leq \delta'$ . ∎

Teorema 21.7 (Comparação e confronto)

Sejam $f, g, h$ funções e $a \in \R \cup \{\pm\infty\}$ .

Se $f \leq g$ perto de $a$ e $f(x) \to +\infty$ quando $x \to a$ , então $g(x) \to +\infty$ .
Se $f \leq g \leq h$ perto de $a$ e $f, h$ tendem ao mesmo limite finito $\ell$ em $a$ , então $g(x) \to \ell$ quando $x \to a$ .

Demonstração. Mesmo argumento do caso das sequências (Teorema 20.16). ∎

Método 21.8 (Calcular limites na prática)

Polinômios e funções racionais em $\pm\infty$ : coloque em evidência a maior potência de $x$ ; o limite é o da razão dos termos dominantes.
$\frac{0}{0}$ em um ponto $a$ : fatore $(x-a)$ no numerador e no denominador, ou reconheça uma derivada $\lim_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a} = f'(a)$ (Capítulo 22).
Raízes quadradas: multiplique pela expressão conjugada.
Fatores oscilantes ( $\cos$ , $\sin$ ): use o teorema do confronto.

21.2 Continuidade

Definição 21.9 (Continuidade)

Seja $f$ definida em um intervalo $I$ e seja $a \in I$ . A função $f$ é contínua em $a$ se $\lim\limits_{x \to a} f(x) = f(a)$ . Ela é contínua em $I$ se for contínua em todo ponto de $I$ .

Intuitivamente, o gráfico de uma função contínua em um intervalo pode ser traçado sem levantar o lápis.

Proposição 21.10 (Continuidade das funções usuais)

Polinômios, funções racionais, $x \mapsto \sqrt{x}$ , $x \mapsto \abs{x}$ , $\cos$ , $\sin$ , $\exp$ e $\ln$ são contínuas em todo intervalo contido em seu domínio. Somas, produtos, quocientes (onde definidos) e composições de funções contínuas são contínuos.

Demonstração parcial. A estabilidade por somas, produtos, quocientes e composição segue dos teoremas correspondentes sobre limites. A continuidade de $x \mapsto x$ e das funções constantes é imediata pela definição, de modo que polinômios e funções racionais são contínuos. A continuidade das demais funções usuais é demonstrada nos capítulos em que elas são construídas, ou admitida. ∎

Exemplo 21.11

A função piso $x \mapsto \floor{x}$ (o maior inteiro $\leq x$ ) não é contínua em nenhum inteiro $n$ : seu limite à esquerda ali é $n - 1$ , enquanto $\floor{n} = n$ .

A função piso salta em cada inteiro: o valor (bolinha cheia) difere do limite à esquerda (bolinha vazia).

Proposição 21.12 (Sequências e continuidade)

Se $u_n \to \ell$ e $f$ é contínua em $\ell$ , então $f(u_n) \to f(\ell)$ . Em particular, se uma sequência definida por $u_{n+1} = f(u_n)$ converge para $\ell$ e $f$ é contínua em $\ell$ , então $f(\ell) = \ell$ .

Demonstração. A primeira afirmação é o Teorema 21.6 aplicado à sequência $(u_n)$ . Para a segunda, passe ao limite nos dois lados de $u_{n+1} = f(u_n)$ : o lado esquerdo tende a $\ell$ , o direito a $f(\ell)$ , e os limites são únicos. ∎

21.3 O teorema do valor intermediário

Teorema 21.13 (Teorema do valor intermediário)

Seja $f$ contínua em $\intcc{a}{b}$ e seja $k$ um número qualquer entre $f(a)$ e $f(b)$ . Então existe $c \in \intcc{a}{b}$ tal que $f(c) = k$ .

O teorema do valor intermediário: uma curva contínua que liga (a, f(a)) a (b, f(b)) tem de cruzar toda reta horizontal y = k situada entre f(a) e f(b). — O teorema do valor intermediário: uma curva contínua que liga $(a, f(a))$ a $(b, f(b))$ tem de cruzar toda reta horizontal $y = k$ situada entre $f(a)$ e $f(b)$ .

Demonstração. Substituindo $f$ por $f - k$ (e por $k - f$ se preciso), podemos supor $f(a) \leq 0 \leq f(b)$ e procurar um zero de $f$ . Construímos duas sequências por dicotomia: ponha $a_0 = a$ , $b_0 = b$ ; dados $a_n \leq b_n$ com $f(a_n) \leq 0 \leq f(b_n)$ , seja $m = \frac{a_n + b_n}{2}$ e defina

(a_{n+1}, b_{n+1}) = \begin{cases} (a_n, m) & \text{se } f(m) \geq 0,\\ (m, b_n) & \text{se } f(m) < 0. \end{cases}

Nos dois casos $f(a_{n+1}) \leq 0 \leq f(b_{n+1})$ , a sequência $(a_n)$ é crescente, $(b_n)$ é decrescente e $b_n - a_n = \frac{b-a}{2^n} \to 0$ : as sequências são adjacentes (veja o Exercício 20.10) e convergem para um limite comum $c \in \intcc{a}{b}$ . Pela continuidade, $f(a_n) \to f(c)$ e $f(b_n) \to f(c)$ ; passar ao limite em $f(a_n) \leq 0$ e $f(b_n) \geq 0$ dá $f(c) \leq 0 \leq f(c)$ , logo $f(c) = 0$ . ∎

Observação 21.14

A demonstração por dicotomia é um algoritmo: ela fornece aproximações arbitrariamente precisas de uma solução, dividindo o erro pela metade a cada passo. É assim que um computador resolve $f(x) = 0$ sabendo apenas avaliar $f$ .

Teorema 21.15 (Teorema da bijeção)

Seja $f$ contínua e estritamente monótona em um intervalo $I$ . Então, para todo $k$ estritamente entre os limites de $f$ nos extremos de $I$ , a equação $f(x) = k$ tem uma única solução em $I$ .

Demonstração. Existência: escolha $a, b \in I$ com $k$ entre $f(a)$ e $f(b)$ (possível, já que os valores de $f$ se aproximam dos seus limites nos extremos) e aplique o teorema do valor intermediário em $\intcc{a}{b}$ . Unicidade: se $x < y$ , a monotonicidade estrita dá $f(x) \neq f(y)$ , de modo que dois pontos distintos não podem ser ambos soluções. ∎

Método 21.16 (Resolver $f(x) = k$ com o teorema da bijeção)

Para demonstrar que $f(x) = k$ tem exatamente uma solução em um intervalo:

estabeleça um quadro de variação de $f$ (sinal de $f'$ , veja o Capítulo 22);
em cada intervalo em que $f$ é contínua e estritamente monótona, compare $k$ com os valores ou limites nos extremos;
aplique o teorema da bijeção em cada um desses intervalos e conte as soluções.

Uma calculadora ou a dicotomia localizam depois cada solução com a precisão que se quiser.

Exemplo 21.17

A equação $x^3 + x = 1$ tem uma única solução real. De fato, $f(x) = x^3 + x$ é contínua e estritamente crescente em $\R$ (soma de funções estritamente crescentes), $\lim_{-\infty} f = -\infty$ e $\lim_{+\infty} f = +\infty$ , de modo que o teorema da bijeção se aplica com $k = 1$ . Como $f(0.6) = 0.816 < 1$ e $f(0.7) = 1.043 > 1$ , a solução está em $\intoo{0.6}{0.7}$ .

21.4 Exercícios

Exercício 21.1 ★

Calcule os limites seguintes:

\lim_{x\to+\infty} \frac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2}, \qquad \lim_{x\to-\infty} \bigl(x^2 + 3x - 1\bigr), \qquad \lim_{x\to 2^+} \frac{x+1}{x-2}, \qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\cos x}{x}.

Solução

Solução de Exercício 21.1.

Dividindo por $x^3$ : $\dfrac{2x^3 - x + 1}{5x^3 + x^2} = \dfrac{2 - 1/x^2 + 1/x^3}{5 + 1/x} \to \dfrac{2}{5}$ .

$x^2 + 3x - 1 = x^2(1 + 3/x - 1/x^2) \to +\infty$ quando $x \to -\infty$ , pois $x^2 \to +\infty$ e o parêntese tende a $1$ .

Quando $x \to 2^+$ , o numerador tende a $3 > 0$ e o denominador a $0^+$ , logo $\dfrac{x+1}{x-2} \to +\infty$ .

Para $x > 0$ , $-\dfrac1x \leq \dfrac{\cos x}{x} \leq \dfrac1x$ , de modo que o limite é $0$ pelo teorema do confronto.

Exercício 21.2 ★

Seja $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 1}$ , definida para $x \neq 1$ .

Mostre que $f(x) = 2x - 1$ para todo $x \neq 1$ .
Deduza $\lim\limits_{x \to 1} f(x)$ . É possível estender $f$ a uma função contínua em $1$ ?

Solução

Solução de Exercício 21.2.

1. $2x^2 - 3x + 1 = (x-1)(2x-1)$ (a raiz $x=1$ salta à vista de $2 - 3 + 1 = 0$ ). Para $x \neq 1$ , cancele $x - 1$ : $f(x) = 2x - 1$ .

2. Logo $\lim_{x\to1} f(x) = 1$ . Definir $f(1) = 1$ estende $f$ à função polinomial $x \mapsto 2x-1$ em $\R$ , que é contínua em $1$ .

Exercício 21.3 ★

Determine as assíntotas da curva de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ e esboce a curva.

Solução

Solução de Exercício 21.3.

Escreva $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2} = \dfrac{3(x+2) - 7}{x+2} = 3 - \dfrac{7}{x+2}$ . Quando $x \to \pm\infty$ , $f(x) \to 3$ : a reta $y = 3$ é assíntota horizontal nos dois infinitos. Quando $x \to (-2)^\pm$ , $f(x) \to \mp\infty$ : a reta $x = -2$ é assíntota vertical. A curva é uma hipérbole, abaixo de $y=3$ para $x > -2$ e acima dela para $x < -2$ .

Exercício 21.4 ★★

Calcule

\lim_{x\to+\infty} \bigl(\sqrt{x^2 + x} - x\bigr) \qquad\text{e}\qquad \lim_{x\to 0} \frac{\sqrt{1+x} - 1}{x}.

Solução

Solução de Exercício 21.4.

Multiplique pelo conjugado:

\sqrt{x^2 + x} - x = \frac{x^2 + x - x^2}{\sqrt{x^2+x} + x} = \frac{x}{x\left(\sqrt{1 + 1/x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1/x} + 1} \xrightarrow[x\to+\infty]{} \frac{1}{2}.

Do mesmo modo,

\frac{\sqrt{1+x} - 1}{x} = \frac{(1+x) - 1}{x\left(\sqrt{1+x} + 1\right)} = \frac{1}{\sqrt{1+x} + 1} \xrightarrow[x\to0]{} \frac{1}{2}.

Exercício 21.5 ★★

Seja $f(x) = x + \sin x$ .

Mostre que $f(x) \to +\infty$ quando $x \to +\infty$ , embora $f$ não seja monótona em nenhum intervalo $\intco{A}{+\infty}$ .
Mostre que $g(x) = \dfrac{x + \sin x}{x - \sin x}$ tende a $1$ em $+\infty$ .

Solução

Solução de Exercício 21.5.

1. Como $\sin x \geq -1$ , $f(x) \geq x - 1 \to +\infty$ , e concluímos por comparação. E, no entanto, $f'(x) = 1 + \cos x$ anula-se em todo múltiplo ímpar de $\pi$ , e em todo intervalo $\intco{A}{+\infty}$ a função alterna trechos de crescimento estrito; ela é crescente, mas não estritamente, e — o que mais importa — seu crescimento nem é necessário: a comparação basta.

2. Para $x > 1$ , divida por $x$ :

g(x) = \frac{1 + \frac{\sin x}{x}}{1 - \frac{\sin x}{x}},

e $\frac{\sin x}{x} \to 0$ pelo teorema do confronto ( $\abs{\sin x} \leq 1$ ). Logo $g(x) \to \frac{1+0}{1-0} = 1$ .

Exercício 21.6 ★★

Mostre que a equação $x^3 - 3x + 1 = 0$ tem exatamente três soluções reais e dê, para cada uma, um intervalo de comprimento $1$ que a contenha. (Sugestão: estude a variação de $f(x) = x^3 - 3x + 1$ ; sua derivada é $3x^2 - 3$ .)

Solução

Solução de Exercício 21.6.

$f(x) = x^3 - 3x + 1$ é contínua, com $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x-1)(x+1)$ : $f$ cresce em $\intoc{-\infty}{-1}$ , decresce em $\intcc{-1}{1}$ e cresce em $\intco{1}{+\infty}$ , com máximo local $f(-1) = 3 > 0$ e mínimo local $f(1) = -1 < 0$ , $\lim_{-\infty} f = -\infty$ e $\lim_{+\infty} f = +\infty$ .

Em cada um dos três intervalos de monotonicidade, $f$ é contínua, estritamente monótona, e $0$ está estritamente entre os valores ou limites nos extremos, de modo que o teorema da bijeção dá exatamente um zero por intervalo: três zeros ao todo. Verificações de sinal: $f(-2) = -1 < 0 < f(-1) = 3$ , logo um zero em $\intoo{-2}{-1}$ ; $f(0) = 1 > 0 > f(1) = -1$ , um zero em $\intoo{0}{1}$ ; $f(1) = -1 < 0 < f(2) = 3$ , um zero em $\intoo{1}{2}$ .

Exercício 21.7 ★★

Seja $f \colon \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ contínua. Mostre que $f$ tem um ponto fixo: existe $c \in \intcc{0}{1}$ com $f(c) = c$ . (Sugestão: aplique o teorema do valor intermediário a $g(x) = f(x) - x$ .)

Solução

Solução de Exercício 21.7.

Seja $g(x) = f(x) - x$ , contínua em $\intcc{0}{1}$ . Como $f(0) \in \intcc{0}{1}$ , $g(0) = f(0) \geq 0$ ; como $f(1) \in \intcc{0}{1}$ , $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Pelo teorema do valor intermediário, $g$ se anula em algum $c \in \intcc{0}{1}$ , isto é, $f(c) = c$ .

Exercício 21.8 ★★★

Uma caminhante sobe uma trilha na montanha, partindo às 8h e chegando às 20h. No dia seguinte ela desce a mesma trilha, de novo partindo às 8h e chegando às 20h. Mostre que existe um horário do dia em que ela está exatamente no mesmo ponto da trilha nos dois dias. (Sugestão: introduza a diferença das duas funções de posição.)

Solução

Solução de Exercício 21.8.

Sejam $u(t)$ e $d(t)$ as posições (medidas como distância desde a base da trilha) no instante $t \in \intcc{8}{20}$ , na subida e na descida. As duas são contínuas, com $u(8) = 0$ , $u(20) = L$ (o comprimento da trilha), $d(8) = L$ e $d(20) = 0$ . A função $g = u - d$ é contínua com $g(8) = -L \leq 0$ e $g(20) = L \geq 0$ , de modo que $g(c) = 0$ para algum instante $c$ , pelo teorema do valor intermediário: no instante $c$ , as posições dos dois dias coincidem.

Exercício 21.9 ★★★

Seja $f(x) = x^5 + x^3 + x - 1$ .

Mostre que $f$ tem um único zero real $\alpha$ e que $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .
Descreva um procedimento de dicotomia que calcule $\alpha$ com precisão $10^{-6}$ e dê o número de iterações necessárias partindo de $\intcc{0}{1}$ .

Solução

Solução de Exercício 21.9.

1. $f'(x) = 5x^4 + 3x^2 + 1 > 0$ , de modo que $f$ é estritamente crescente em $\R$ ; com $\lim_{\pm\infty} f = \pm\infty$ e continuidade, o teorema da bijeção dá um único zero real $\alpha$ . Como $f(0) = -1 < 0$ e $f(1) = 2 > 0$ , $\alpha \in \intoo{0}{1}$ .

2. Mantenha um intervalo $\intcc{a_n}{b_n}$ com $f(a_n) < 0 < f(b_n)$ , partindo de $\intcc{0}{1}$ ; a cada passo avalie $f$ no ponto médio $m$ e conserve a metade em que a mudança de sinal persiste. Após $n$ passos o intervalo tem comprimento $2^{-n}$ , de modo que o ponto médio aproxima $\alpha$ com erro $2^{-(n+1)}$ . Precisamos de $2^{-(n+1)} \leq 10^{-6}$ , isto é, $n + 1 \geq \frac{6}{\log_{10} 2} \approx 19.93$ : $n = 20$ iterações bastam.

21.5 Problema: Não se atravessa um rio sem se molhar

Problema 21.1

Problema de fim de semana — o teorema do valor intermediário força pontos fixos, antípodas de mesma temperatura e mesas firmes: três teoremas de aparência impossível a partir de uma única ideia

Amasse um mapa do Brasil e deixe-o cair em qualquer ponto do território brasileiro: algum ponto do mapa fica exatamente acima do lugar que representa. A cada instante, dois pontos diametralmente opostos do equador têm exatamente a mesma temperatura. E uma mesa quadrada bamba, em chão irregular, sempre pode ser firmada girando-a. Três truques de festa, um teorema: uma grandeza contínua não passa de negativa a positiva sem se anular (Teorema 21.13). Este problema treina limites, constrói em seguida as três maravilhas — e sabe exatamente o que o teorema não promete.

Parte I — Fluência com limites.

Calcule $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{3x^2 - x}{x^2 + 5}$ , $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{2x + 1}{x^2 + 1}$ e $\lim_{x \to +\infty} (x^3 - x^2)$ (Método 21.8).
Dê as assíntotas de $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ (Definição 21.4), calculando os limites relevantes.
Calcule $\lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - 9}{x - 3}$ (fatore) e $\lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 1} - 1}{x}$ (conjugado).
Pelo teorema do confronto (Teorema 21.7): calcule $\lim_{x \to 0} x \sin\frac1x$ e $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sin x}{x}$ .
Por composição e termos dominantes: $\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{4x^2 + x}}{x}$ .

Parte II — Raízes, certificadas.

Mostre que a equação $x^3 + x = 5$ tem pelo menos uma solução em $\intcc{1}{2}$ .
Mostre que a solução é única em $\R$ (Teorema 21.15).
Demonstre o clássico: todo polinômio de grau ímpar tem pelo menos uma raiz real. (Escreva o argumento para $p(x) = x^3 + a x^2 + b x + c$ : calcule os dois limites infinitos pelo termo dominante e aplique em seguida o teorema do valor intermediário em um intervalo grande.)
Localizando a raiz da questão 6 por dicotomia: quantas divisões ao meio de $\intcc{1}{2}$ garantem um erro abaixo de $10^{-6}$ (Exercício 21.9)? Compare com a duplicação de dígitos do método de Newton (Problema 12.1): de quantos passos ele precisaria, aproximadamente?
O contraexemplo que guarda o teorema: $g(x) = \frac1x$ satisfaz $g(-1) = -1 < 0$ e $g(1) = 1 > 0$ e, no entanto, nunca se anula. Que hipótese do teorema falha — e o que o exemplo ensina sobre conferir hipóteses?

Parte III — Três teoremas de aparência impossível.

O teorema do ponto fixo no segmento: se $f : \intcc{0}{1} \to \intcc{0}{1}$ é contínua, demonstre que algum $c$ satisfaz $f(c) = c$ . (Estude $g(x) = f(x) - x$ nas duas extremidades.)
Traduza a questão 11 para o mapa amassado: o que faz o papel de $f$ , por que ele cai em $\intcc{0}{1}$ (figurativamente: dentro do país) e qual é o ponto que fica exatamente acima da própria localização? (Uma dimensão é admitida em silêncio — o enunciado honesto em duas dimensões é o teorema de Brouwer, dos volumes de graduação.)
O equador: seja $T$ uma temperatura contínua sobre um círculo, vista como uma função $2\pi$ -periódica com $T(0) = T(2\pi)$ . Ponha $g(t) = T(t) - T(t + \pi)$ . Calcule $g(0) + g(\pi)$ , deduza que $g$ se anula em algum ponto de $\intcc{0}{\pi}$ e enuncie o teorema sobre pontos antípodas.
A mesa bamba: uma mesa quadrada perfeitamente rígida apoia-se em um chão irregular contínuo (sem degraus!); três pés sempre tocam o chão e um fica no ar a uma altura $h(\theta)$ que depende continuamente do ângulo de rotação $\theta$ da mesa. Explique por que girar um quarto de volta força a folga do pé suspenso a mudar de sinal — e conclua que algum ângulo $\theta^*$ firma os quatro pés. (Esse argumento foi publicado como teorema legítimo em 2005; os donos de café já conheciam o truque antes.)
A caminhante do Exercício 21.8 usou o mesmo esquema. Enuncie em três linhas o modelo comum às questões 11, 13, 14 e à caminhante — construir que função, verificar o quê nas extremidades, invocar o quê.
O que o teorema do valor intermediário não dá: a existência veio de graça, mas que duas perguntas ele deixa em aberto, e quais ferramentas deste problema as respondem (questões 7 e 9)?

Parte IV — Retratos com assíntotas.

Reescreva $f(x) = \dfrac{3x - 1}{x + 2}$ como $3 - \dfrac{7}{x + 2}$ e use isso para descrever a curva por completo: assíntotas, variação de cada lado, esboço. (Uma hipérbole deslocada — a curva do custo médio do Problema 4.1 também era uma.)
A função $f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x - 1}$ não está definida em $1$ . Que valor atribuído a $f(1)$ a torna contínua ali — e por que os analistas chamam um ponto assim de descontinuidade removível?
A função piso $x \mapsto \lfloor x \rfloor$ (o maior inteiro $\leq x$ ): onde ela é contínua, onde salta, e por que a conclusão do teorema do valor intermediário falha para ela (encontre $a < b$ com $\lfloor a \rfloor < \frac12 < \lfloor b \rfloor$ e, no entanto, sem solução de $\lfloor x \rfloor = \frac12$ )?
Final — as duas faces da continuidade: a promessa local (valor $=$ limite: nada de teletransporte) e o poder global (o teorema do valor intermediário: todo valor intermediário é visitado). Classifique as quatro maravilhas da Parte III na face certa e dê ao lema da travessia do rio seu nome matemático preciso.

Solução

Solução de Problema 21.1.

1. Termos dominantes: $\frac{3x^2}{x^2} \to 3$ ; $\frac{2x}{x^2} = \frac2x \to 0$ ; $x^3 - x^2 = x^3\left(1 - \frac1x\right) \to +\infty$ .

2. $\lim_{x \to \pm\infty} f = 3$ : assíntota horizontal $y = 3$ ; $\lim_{x \to (-2)^\pm} f = \mp\infty$ : assíntota vertical $x = -2$ .

3. $\frac{(x-3)(x+3)}{x - 3} = x + 3 \to 6$ . E $\frac{\sqrt{x+1} - 1}{x} = \frac{x}{x(\sqrt{x+1} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x+1} + 1} \to \frac12$ .

4. $\abs{x \sin\frac1x} \leq \abs x \to 0$ , logo o limite é $0$ . E $\abs{\frac{\sin x}{x}} \leq \frac1x \to 0$ : limite $0$ .

5. $\frac{\sqrt{4x^2 + x}}{x} = \sqrt{4 + \frac1x} \to \sqrt4 = 2$ (continuidade da raiz quadrada, composição).

6. $f(x) = x^3 + x$ é contínua com $f(1) = 2 < 5 < 10 = f(2)$ : pelo teorema do valor intermediário, $f(c) = 5$ para algum $c \in \intoo{1}{2}$ .

7. $f'(x) = 3x^2 + 1 > 0$ : estritamente crescente em $\R$ , contínua, com limites $\mp\infty$ : pelo teorema da bijeção, todo valor — em particular $5$ — é atingido exatamente uma vez.

8. $p(x) = x^3\left(1 + \frac ax + \frac{b}{x^2} + \frac{c}{x^3}\right)$ : quando $x \to +\infty$ , $p \to +\infty$ ; quando $x \to -\infty$ , $p \to -\infty$ . Assim, em algum intervalo enorme $\intcc{-M}{M}$ vale $p(-M) < 0 < p(M)$ : o teorema do valor intermediário entrega uma raiz. O mesmo argumento de termo dominante funciona literalmente para qualquer grau ímpar — as potências ímpares mantêm sinais opostos nos dois infinitos.

9. Dividir ao meio $n$ vezes deixa um intervalo de comprimento $2^{-n}$ ; $2^{-20} \approx 9.5 \times 10^{-7} < 10^{-6}$ : vinte passos. Newton dobra os dígitos corretos a cada passo: partindo de um dígito correto, cerca de $3$ a $4$ passos chegam a seis — a tartaruga e o galgo da busca de raízes.

10. $g$ não é contínua em $\intcc{-1}{1}$ : ela explode em $0$ , que o intervalo contém. A conclusão do teorema evapora junto com sua hipótese — confira sempre a continuidade no intervalo inteiro, e não só nos extremos.

11. $g(x) = f(x) - x$ é contínua; $g(0) = f(0) \geq 0$ (os valores estão em $\intcc{0}{1}$ ) e $g(1) = f(1) - 1 \leq 0$ . Pelo teorema do valor intermediário, $g(c) = 0$ para algum $c$ : $f(c) = c$ .

12. Idealizando o país como o segmento $\intcc{0}{1}$ : $f$ leva cada lugar ao lugar mostrado diretamente abaixo dele no mapa amassado; amassar mantém o mapa sobre o país, de modo que $f$ cai em $\intcc{0}{1}$ , e ela é contínua (o papel não se rasga). O ponto fixo $c$ é o ponto que fica precisamente acima da própria imagem — o teorema de Brouwer trata do mapa honesto, em duas dimensões.

13. $g(0) + g(\pi) = \left(T(0) - T(\pi)\right) + \left(T(\pi) - T(2\pi)\right) = T(0) - T(2\pi) = 0$ . Assim, $g(0)$ e $g(\pi)$ são opostos (ou ambos nulos): de qualquer modo $g$ , contínua, anula-se em algum $t^* \in \intcc{0}{\pi}$ : $T(t^*) = T(t^* + \pi)$ — em algum lugar do equador, dois pontos antípodas concordam na temperatura, a cada instante.

14. Girar a mesa um quarto de volta troca os papéis das duas diagonais: o par de pés que pressionava o chão e o par em que um pé pairava trocam de situação, de modo que a altura suspensa — contada com sinal, como “folga da diagonal distinguida” — assume sinais opostos em $\theta$ e em $\theta + \frac\pi2$ . Um chão contínuo torna $h$ contínua, e o teorema do valor intermediário entrega um ângulo $\theta^*$ com $h(\theta^*) = 0$ : quatro pés no chão. (Nada dessa sorte com uma mesa retangular ou com chão em degraus.)

15. Modelo: construa a diferença das duas grandezas que você quer fazer coincidir ( $f(x) - x$ ; $T(t) - T(t + \pi)$ ; posição na subida menos posição na descida, para a caminhante; a folga com sinal, para a mesa); verifique que ela assume valores dos dois sinais (muitas vezes por uma simetria entre as extremidades); invoque o teorema do valor intermediário sobre uma função contínua. A coincidência fica forçada.

16. Perguntas em aberto: quantas soluções (respondida pela monotonicidade estrita e pelo teorema da bijeção, questão 7) e onde elas estão (respondida pela dicotomia ou por Newton, questão 9). O teorema do valor intermediário é um oráculo puro de existência.

17. $3 - \frac{7}{x + 2}$ : assíntota vertical $x = -2$ , horizontal $y = 3$ ; de cada lado de $-2$ a função é crescente ( $-\frac{7}{x+2}$ cresce onde está definida); a curva é a hipérbole de referência $-\frac7x$ deslocada $2$ para a esquerda e $3$ para cima — dois ramos abraçando o cruzamento das assíntotas.

18. Para $x \neq 1$ : $f(x) = x + 1$ , logo $\lim_{x \to 1} f = 2$ : definir $f(1) = 2$ restaura a continuidade. A descontinuidade era um furo, não um salto — preencha o único ponto que falta e a curva cicatriza: removível.

19. Contínua em todo intervalo entre inteiros consecutivos; em cada inteiro $n$ ela salta de $n - 1$ para $n$ . Com $a = 0.9$ e $b = 1.1$ : $\lfloor a \rfloor = 0 < \frac12 < 1 = \lfloor b \rfloor$ e, ainda assim, $\lfloor x \rfloor = \frac12$ não tem solução — o salto se teletransporta por cima de $\frac12$ , que é precisamente o que o teorema proíbe às funções contínuas.

20. Face local: valor $=$ limite em cada ponto — o furo removível (questão 18) a violou de modo curável, e os saltos da função piso (questão 19), de modo incurável. Face global: em um intervalo, todos os valores intermediários são visitados — os certificados de raiz (6–8), o ponto fixo, o equador, a mesa e a caminhante moram todos aqui. O nome oficial do lema: o teorema do valor intermediário.