ما معنى النهاية عند ما لا نهاية؟

لتكن $f$ معرَّفة على فترة $\intco{a}{+\infty}$ وليكن $\ell \in \R$. نقول إن $f$ تؤول إلى $\ell$ عند $+\infty$، ونكتب $\lim\limits_{x\to+\infty} f(x) = \ell$، إذا كانت كل فترة مفتوحة تحوي $\ell$ تحوي كل القيم $f(x)$ من أجل $x$ كبير بما يكفي: أي إنه من أجل كل $\varepsilon > 0$ يوجد $A$ بحيث يكون من أجل كل $x \geq A$، $\abs{f(x) - \ell} \leq \varepsilon$.

ونقول إن $f$ تؤول إلى $+\infty$ عند $+\infty$ إذا وُجد، من أجل كل $M \in \R$، عدد $A$ بحيث يكون $f(x) \geq M$ من أجل كل $x \geq A$. وتُعرَّف النهايات عند $-\infty$ والنهايات المساوية $-\infty$ بصورة نظيرة.