7Estruturas Algébricas

Exemplo 7.4

$(\Z, +)$, $(\Q, +)$, $(\R, +)$, $(\C, +)$; $(\Q^*, \times)$, $(\R^*, \times)$, $(\C^*, \times)$, $(\mathbb{U}_n, \times)$ (raízes da unidade, Definição 3.17); o conjunto $\mathfrak{S}(E)$ das bijeções de um conjunto $E$ sobre si mesmo, com a composição — o grupo simétrico de $E$, não abeliano assim que $\abs E \geq 3$. Não são grupos: $(\N, +)$ (sem inversos), $(\Z, \times)$ (só $\pm 1$ é invertível).

Exemplo 7.6 (As simetrias de um retângulo)

Um retângulo (não quadrado) admite exatamente quatro isometrias sobre si mesmo: a identidade $e$, a reflexão no eixo horizontal $h$, a reflexão no eixo vertical $v$ e a meia-volta $r$ em torno do centro. A composição faz desse conjunto de quatro elementos um grupo: cada elemento é o seu próprio inverso ($h^2 = v^2 = r^2 = e$), e o produto de dois elementos distintos e diferentes do neutro é o terceiro ($hv = vh = r$: refletir nos dois eixos é a meia-volta). A tabela completa é simétrica, de modo que o grupo é abeliano — e no entanto ele não é o mesmo grupo que as rotações $\mathbb U_4$ do Exemplo 7.15: lá, $\iu$ tem ordem $4$, ao passo que aqui todo elemento tem ordem $\leq 2$. Dois grupos do mesmo tamanho podem, assim, ter estruturas multiplicativas genuinamente diferentes — a figura abaixo exibe as duas tabelas lado a lado. Este grupo de quatro elementos volta como $\{\pm1\} \times \{\pm1\}$, e o Exercício 7.7 explica por que todo grupo em que os quadrados são triviais deve, como este, ser abeliano.

Exemplo 7.8

$\mathbb{U}_n \leq (\C^*, \times)$: é não vazio e, para $z, w \in \mathbb{U}_n$, $(zw^{-1})^n = z^n (w^n)^{-1} = 1$. Os subgrupos de $(\Z, +)$ são exatamente os $n\Z$ (demonstrado no Teorema 6.4). Uma interseção de subgrupos é sempre um subgrupo, mas uma união quase nunca é (Exercício 7.6).

Exemplo 7.12

$\exp \colon (\R, +) \to (\R_+^*, \times)$ é um morfismo ($\eu^{x+y} = \eu^x \eu^y$), bijetivo (Proposição 4.1): as estruturas aditiva e multiplicativa são isomorfas — a razão de ser histórica dos logaritmos. Outro morfismo: $\theta \mapsto \eu^{\iu\theta}$ de $(\R, +)$ sobre o círculo unitário $(\mathbb{U}, \times)$, com núcleo $2\pi\Z$.

Exemplo 7.13 (O morfismo sinal)

A aplicação $s \colon (\R^*, \times) \to (\{\pm1\}, \times)$ que envia $x$ ao seu sinal é um morfismo: o sinal de um produto é o produto dos sinais. O seu núcleo é $\intoo0{+\infty}$ (um subgrupo, como a Definição 7.10 promete), e a sua imagem é todo o $\{\pm1\}$: sobrejetivo, maciçamente não injetivo. Duas lições gerais em miniatura. Primeira, um morfismo pode esmagar informação: $s$ nada guarda de $x$ além de um bit, e isso é a sua virtude — argumentos de sinal são exatamente os cálculos que se fatoram por $s$. Segunda, os morfismos para $\{\pm1\}$ são os “invariantes” mais simples: o sinal das permutações, construído no problema de fim de semana deste capítulo, é o mesmo fenômeno no grupo $\mathfrak S_n$, e os argumentos de paridade que ele alimenta descem todos por um morfismo de dois valores desse tipo.

Exemplo 7.15

Em $(\C^*, \times)$: $\iu$ tem ordem $4$, com $\langle \iu \rangle = \{1, \iu, -1, -\iu\} = \mathbb{U}_4$; mais geralmente, $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$ tem ordem $n$ e $\langle\omega\rangle = \mathbb{U}_n$. Em $(\Z, +)$, todo $x \neq 0$ tem ordem infinita. Por que valem as afirmações da definição: se $x$ tem ordem $m$, divida qualquer $k$ por $m$ ($k = mq + r$, $0 \leq r < m$, Teorema 6.2): $x^k = (x^m)^q x^r = x^r$, de modo que as potências se repetem com período $m$, os elementos listados são dois a dois distintos pela minimalidade de $m$, e $x^k = e$ força $r = 0$. As ordens de permutações são calculadas no problema de fim de semana abaixo.

Exemplo 7.16 (Ordens dentro de $\mathbb U_{12}$)

Qual é a ordem de $\omega^k$ em $\mathbb U_n$, para $\omega = \eu^{2\iu\pi/n}$? Tem-se $(\omega^k)^m = 1$ se, e somente se, $n \mid km$ e, escrevendo $d = \gcd(n, k)$, $n = dn'$, $k = dk'$ com $\gcd(n', k') = 1$: $n \mid km \iff n' \mid k'm \iff n' \mid m$ (lema de Gauss, Teorema 6.8). O menor $m \geq 1$ desses é $n' = \frac{n}{\gcd(n,k)}$. Em $\mathbb U_{12}$, por exemplo, $\omega^8$ tem ordem $\frac{12}{\gcd(12,8)} = 3$ (com efeito, $\omega^8 = \eu^{4\iu\pi/3} \in \mathbb U_3$), ao passo que $\omega^5$ tem ordem $12$: ele gera o grupo inteiro, embora não seja o gerador “padrão”. Contar os geradores — os $k$ com $\gcd(k, n) = 1$ — recupera as contagens de números primos entre si do Exemplo 2.25: a teoria de grupos e a contagem se encontram.

Exemplo 7.18

$\Z, \Q, \R, \C$ são anéis comutativos; $\Z^\times = \{1, -1\}$, $\Q^\times = \Q^*$. Mais adiante: os anéis de polinômios $K[X]$ (Capítulo 8), os anéis de matrizes (não comutativos, Capítulo 21) e $\Z/n\Z$ abaixo. Em todo anel, $0 \times a = 0$ (por distributividade: $0a = (0+0)a = 0a + 0a$) e $(-1)a = -a$.

Exemplo 7.19 (Idempotentes: fenômenos novos em anéis novos)

Em $\Z$, a equação $x^2 = x$, isto é, $x(x - 1) = 0$, só tem as soluções $0$ e $1$. Em $\Z/6\Z$, testando todas as classes: $\overline0^2 = \overline0$, $\overline1^2 = \overline1$, $\overline3^2 = \overline9 = \overline3$ e $\overline4^2 = \overline{16} = \overline4$ — quatro idempotentes. Os dois exóticos vêm dos divisores de zero: $\overline3\,(\overline3 - \overline1) = \overline3 \times \overline2 = \overline6 = \overline0$, sem que nenhum dos fatores seja nulo. Cálculos assim calibram os instintos: fatos familiares sobre equações sobrevivem em domínios de integridade e corpos, mas um anel geral pode se comportar — e se comporta — de outro modo; veja também os anéis booleanos do Exercício 7.10, em que todo elemento é idempotente.

Exemplo 7.21 (O teorema binomial num anel pouco familiar)

Dois dividendos rápidos da generalidade. Em $\Z/p\Z$ ($p$ primo), os coeficientes binomiais intermediários se anulam (primeiro passo do Teorema 6.23), de modo que o teorema colapsa no sonho do calouro

uma identidade genuína ali, por mais criminosa que pareça sobre $\R$. E, em qualquer anel comutativo que contenha um elemento $\varepsilon$ com $\varepsilon^2 = 0$, o teorema se trunca: $(a + \varepsilon)^n = a^n + n\,a^{n-1}\varepsilon$, com todos os termos superiores carregando um fator $\varepsilon^2 = 0$. O coeficiente $n\,a^{n-1}$ de $\varepsilon$ é a derivada de $x^n$ — o que não é acidente, e é um primeiro indício de que as derivadas são tanto álgebra quanto análise (compare com a derivada formal do Capítulo 8).

Exemplo 7.23

$\Q$, $\R$, $\C$ são corpos; $\Z$ é um domínio de integridade, mas não é corpo. Num domínio de integridade vale o cancelamento para $\times$: $ab = ac$ e $a \neq 0$ implicam $b = c$.

Exemplo 7.26 (Quantas raízes quadradas de $1$?)

Resolva $x^2 = \overline 1$ em $\Z/8\Z$ e em $\Z/7\Z$. Testando as oito classes módulo $8$: $1^2 = 1$, $3^2 = 9 \equiv 1$, $5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$ — quatro soluções $\{\overline1, \overline3, \overline5, \overline7\}$, embora o polinômio $X^2 - 1$ tenha grau $2$. No corpo $\Z/7\Z$, em contrapartida, $x^2 = \overline1$ significa $(x - \overline1)(x + \overline1) = \overline0$, e um corpo não tem divisores de zero: $x = \pm\overline1$, apenas duas soluções. A falha módulo $8$ é rastreável: $(3-1)(3+1) = 2 \times 4 = 8 \equiv 0$, sem que nenhum dos fatores se anule. Moral: a regra familiar “uma equação de grau $d$ tem no máximo $d$ raízes” é um teorema sobre domínios de integridade (o Corolário 8.8 a demonstra sobre corpos); em anéis com divisores de zero ela falha silenciosamente — e é exatamente por isso que a demonstração por emparelhamento do teorema de Wilson (Exercício 6.11) precisou de $p$ primo.

Exemplo 7.27 (Calculando em $\Z/n\Z$)

Em $\Z/12\Z$: as unidades são $\overline 1, \overline 5, \overline 7, \overline{11}$ (as classes primas com $12$), e cada uma é a sua própria inversa ($5^2 = 25 \equiv 1$, $7^2 = 49 \equiv 1$, $11^2 = 121 \equiv 1$). A equação $\overline 3\, x = \overline 6$ tem três soluções ($x \in \{\overline 2, \overline 6, \overline{10}\}$): sem invertibilidade, não há cancelamento. Em $\Z/11\Z$, em contrapartida, toda equação $\overline a x = \overline b$ com $\overline a \neq \overline 0$ tem exatamente uma solução.

Exemplo 7.28 (Os axiomas de grupo como licença para resolver)

No grupo $\bigl((\Z/7\Z)^*, \times\bigr)$, resolva $\overline 3\,x = \overline 5$. Pela Proposição 7.5 (3), a solução existe, é única e vale $\overline3^{-1}\, \overline5$; como $\overline3 \times \overline5 = \overline{15} = \overline1$, o inverso de $\overline 3$ é $\overline 5$, de modo que

O ponto não é tanto a resposta quanto a garantia: num grupo, toda equação desse tipo é solúvel de modo único antes de qualquer cálculo, de sorte que um procedimento de resolução nunca pode esbarrar em “nenhuma solução” ou “várias”. Compare com $\overline3\,x = \overline6$ em $\Z/12\Z$ acima, em que a garantia falha — saber em que estrutura se está é saber o que se pode dar por certo.

Exemplo 7.29 (Produtos diretos)

Se $G$ e $H$ são grupos, o conjunto produto $G \times H$ com a lei componente a componente $(g, h)(g', h') = (gg', hh')$ é um grupo: os axiomas se verificam coordenada a coordenada, com neutro $(e_G, e_H)$ e inversos $(g^{-1}, h^{-1})$. As ordens se combinam pelo mmc: $(g, h)^m = (g^m, h^m)$ é o neutro se, e somente se, a ordem de $g$ e a ordem de $h$ dividem ambas $m$. Assim, em $\Z/2\Z \times \Z/2\Z$ (aditivo) todo elemento não nulo tem ordem $2$ — este é exatamente o grupo do retângulo do Exemplo 7.6 em coordenadas — ao passo que $\Z/4\Z$ tem um elemento de ordem $4$: uma segunda demonstração, sem cálculo, de que os dois grupos de tamanho $4$ não são isomorfos (um isomorfismo preserva as ordens). Os produtos são o modo mais fácil de fabricar grupos novos a partir de antigos, e o plano $\R^2 = \R \times \R$ do Capítulo 18 é a instância mais importante da construção.