O que é Descrições lagrangiana e euleriana?

Exemplo 2.3 (Duas descrições de um mesmo escoamento)

A água numa mangueira de jardim de seção $S$ com vazão $Q$ anda a $v = Q/S$ em toda parte: o campo euleriano é uniforme e o movimento lagrangiano de cada partícula é uniforme. No bico que se estreita o campo euleriano continua permanente, mas $v$ cresce ao longo do eixo: cada partícula acelera ao atravessá-lo, embora nada mude com o tempo em nenhum ponto fixo. É a primeira coisa que a descrição euleriana precisa aprender a exprimir.

Exemplo 2.15 (Três escoamentos planos)

(i) Escoamento de estagnação $\vect v = k(x, -y)$: $\operatorname{div}\vect v = 0$, $\vect\omega = \vect 0$, $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$; linhas de corrente $xy =$ const., hipérboles — um jato batendo numa parede, perto do eixo. (ii) Vórtice pontual $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (coordenadas polares planas): incompressível e irrotacional em toda parte exceto em $r = 0$, $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (multivalente), e a circulação sobre qualquer círculo em torno do centro vale $\Gamma$ — a vorticidade está concentrada no eixo. (iii) Vórtice de Rankine: um núcleo $r < a$ em rotação sólida $v_\theta = \Omega r$ (vorticidade $2\Omega$) casado com o vórtice pontual $v_\theta = \Omega a^2/r$ do lado de fora: o modelo de um tornado, do redemoinho de uma banheira ou do vórtice atrás do pilar da ponte — a velocidade é máxima na borda do núcleo.