Wat is Beschrijving van Lagrange en van Euler? — Natuurkunde

Definitie 2.2 Universitaire natuurkunde — jaar 2 · Hoofdstuk 2 — Kinematica van fluïda

De beschrijving van Lagrange volgt elk fluïdumdeeltje: zijn plaats $\vect r(t)$ en zijn snelheid $\dd\vect r/\dd t$ als functies van de tijd en van zijn beginplaats. De beschrijving van Euler geeft, in elk vast punt $M$ en op elk tijdstip $t$ , de snelheid $\vect v(M, t)$ van het deeltje dat op dat ogenblik door $M$ komt. Een baanlijn is de baan van een deeltje; een stroomlijn op het tijdstip $t$ is een kromme die in elk punt raakt aan $\vect v(M, t)$ ; een stroombuis is het oppervlak dat de stroomlijnen door een gesloten kromme vormen. Een stroming is stationair wanneer de velden van Euler niet van de tijd afhangen, $\partial\vect v/\partial t = \vect 0$ ; stroomlijnen en baanlijnen vallen dan samen en liggen vast.

Links: een stationaire samentrekkende stroming — de stroomlijnen liggen vast, een gemerkt deeltje volgt er één van en versnelt waar de buis nauwer wordt. Rechts: de beschrijving van Euler tekent de snelheidsvector in vaste punten op; die van Lagrange volgt een deeltje langs zijn baanlijn.

Voorbeelden

Voorbeeld 2.3 (Twee beschrijvingen van één stroming)

Water in een tuinslang met doorsnede $S$ en debiet $Q$ beweegt overal met $v = Q/S$ : het veld van Euler is uniform en de beweging van elk deeltje in de zin van Lagrange is eenparig. In het toelopende mondstuk is het veld van Euler nog altijd stationair, maar neemt $v$ langs de as toe: elk deeltje versnelt tijdens de doorgang, terwijl er in geen enkel vast punt iets met de tijd verandert. Dat is het eerste wat de beschrijving van Euler moet leren uitdrukken.

Voorbeeld 2.15 (Drie vlakke stromingen)

(i) Stuwpuntstroming $\vect v = k(x, -y)$ : $\operatorname{div}\vect v = 0$ , $\vect\omega = \vect 0$ , $\varphi = \tfrac12k(x^2 - y^2)$ ; stroomlijnen $xy =$ const, hyperbolen — een straal die een wand treft, dicht bij de as. (ii) Puntwervel $\vect v = \dfrac{\Gamma}{2\pi r}\vect e_\theta$ (vlakke poolcoördinaten): onsamendrukbaar en overal rotatievrij behalve in $r = 0$ , $\varphi = \Gamma\theta/2\pi$ (meerwaardig), en de circulatie op elke cirkel om het middelpunt is $\Gamma$ — de vorticiteit zit geconcentreerd op de as. (iii) Wervel van Rankine: een kern $r < a$ die als star lichaam draait, $v_\theta = \Omega r$ (vorticiteit $2\Omega$ ), aangesloten op de puntwervel $v_\theta = \Omega a^2/r$ daarbuiten: het model van een tornado, van een draaikolk in het bad of van de wervel achter de brugpijler — de snelheid is maximaal aan de rand van de kern.

Lees in het hoofdstuk →

Voorbeelden

Verwante begrippen